Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Test 2/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Gleichmächtigkeit von zwei Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Die Stetigkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
3. Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.

4. Das Cauchy-Produkt von zwei komplexen Reihen.
5. Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.
6. Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.

7. Der Logarithmus zur Basis ${}b\in \mathbb {R} _{+}$, ${}b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl ${}x$.
8. Die Differenzierbarkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f\colon {\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Zwischenwertsatz.
2. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in einem Punkt

   ${}a\in {\mathbb {K} }$.
3. Das Additionstheorem für den Sinus.
4. Die Quotientenregel für die Ableitung, also die Formel für die Ableitung von ${}{\frac {f}{g}}$ (mit den Voraussetzungen an ${}f$ und ${}g$).

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

Aufgabe * (8 Punkte)

Zeige, dass es stetige Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

mit ${}fg=0$ derart gibt, dass für alle ${}\delta >0$ weder ${}f{|}_{[0,\delta ]}$ noch ${}g{|}_{[0,\delta ]}$ die Nullfunktion ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ${}42$ ist?

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-3x+1.$

Bestimme, ausgehend vom Intervall ${}[0,1]$, mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge ${}1/8$, in dem eine Nullstelle von ${}f$ liegen muss.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}b>a$ reelle Zahlen. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon C^{0}([a,b],\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(]a,b[,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f{|}_{]a,b[}.$

Zeige, dass ${}\Psi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

streng wachsende Funktionen, die auf ${}\mathbb {Q}$ übereinstimmen. Folgt daraus ${}f=g$?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion, also die Identität

${}\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,$

für ${}z,w\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}=0$ für alle geraden Indizes eine ungerade Funktion darstellt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe mit Konvergenzradius ${}r>0$. Es sei ${}I\subseteq \mathbb {N}$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$

mit

${}b_{n}:={\begin{cases}a_{n},\,{\text{ falls }}n\in I,\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius ${}\geq r$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine bijektive differenzierbare Funktion mit ${}f'(x)\neq 0$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ und der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$. Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

${}{\left(f\circ f^{-1}\right)}(y)=y\,.$

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

${}f'{\left(f^{-1}(y)\right)}{\left(f^{-1}\right)}'(y)=1\,.$

Also ist

${}{\left(f^{-1}\right)}'(y)={\frac {1}{f'{\left(f^{-1}(y)\right)}}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten das Polynom

$f(x)=x^{4}-x^{3}+5x+2\in {\mathbb {C} }[X].$

Bestimme die ${}x$-Koordinaten sämtlicher Schnittpunkte der Tangente an ${}f$ im Punkt ${}x=1$ mit dem Graphen von ${}f$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\cos(\ln x).$

a) Bestimme die Ableitung ${}f'$.

b) Bestimme die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto 2^{x}+{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{x},$

die Extrema.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),$

eine differenzierbare Funktion mit ${}f(0)=1$ und mit ${}f'(x)=\lambda f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ und ein ${}\lambda \in \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}f$ die Funktionalgleichung

$f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

$f(x)=x^{2}+x-{\frac {7}{4}}.$

Zu jedem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ betrachten wir die reelle Folge

$x_{n}=f^{n}(x_{0}),$

es gilt also die rekursive Beziehung ${}x_{n+1}=f(x_{n})$. Zeige, dass die Folge für ${}x_{0}\in [-2,1]$ einen Häufungspunkt besitzt.

Zur pdf-Version der Testklausur

Zur pdf-Version der Lösungen