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Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesung 50/latex

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\setcounter{section}{50}






\zwischenueberschrift{Hinreichende Kriterien für lokale Extrema}

Wir kommen jetzt zu hinreichenden Kriterien für die Existenz von lokalen Extrema einer Funktion \maabbdisp {f} {G} {\R } {,} die auf Eigenschaften der zweiten Richtungsableitungen, genauer der Hesse-Form, beruhen und die entsprechenden Kriterien in einer Variablen verallgemeinern. Zunächst brauchen wir ein Lemma, das beschreibt, wie die Definitheit der Hesse-Form vom Punkt abhängt.




\inputfaktbeweis
{Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Offenheit der positiv definiten Hesse-Form/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene}{}{} Teilmenge und \maabbdisp {f} {G} {\R} {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt, in dem die \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{} \definitionsverweis {positiv (negativ) definit}{}{} sei.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine offene Umgebung
\mathbed {U} {}
{P \in U \subseteq G} {}
{} {} {} {,} derart, dass die Hesse-Form
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} positiv \zusatzklammer {negativ} {} {} definit ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$, und sei
\mathl{H (Q)}{} die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} zur Hesse-Form
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bezüglich dieser Basis. Aufgrund der Differenzierbarkeitsvoraussetzungen hängt
\mathl{H(Q)}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} von $Q$ ab. Daher hängen auch die \definitionsverweis {Determinanten}{}{} der quadratischen Untermatrizen von
\mathl{H(Q)}{} stetig von $Q$ ab. Die Determinanten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_k(P) }
{ =} { \det ((H(P)_{i,j} )_{1 \leq i,j \leq k} ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sind nach Korollar 48.11 alle von $0$ verschieden. Daher gibt es eine offene Umgebung
\mathbed {U} {}
{P \in U \subseteq G} {}
{} {} {} {,} derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Determinanten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_k(Q) }
{ =} { \det ((H (Q)_{i,j} )_{1 \leq i,j \leq k} ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das gleiche Vorzeichen haben wie
\mathl{D_k(P)}{.} Da diese Vorzeichen nach Korollar 48.11 über die Definitheit entscheiden, folgt die Behauptung.

}





\inputfaktbeweis
{Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene}{}{} Teilmenge und \maabbdisp {f} {G} {\R} {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Wenn
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{} \definitionsverweis {negativ definit}{}{} ist, so besitzt $f$ ein \definitionsverweis {isoliertes}{}{} \definitionsverweis {lokales Maximum}{}{} in $P$. }{Wenn
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{} \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist, so besitzt $f$ ein \definitionsverweis {isoliertes}{}{} \definitionsverweis {lokales Minimum}{}{} in $P$. }{Wenn
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{} \definitionsverweis {indefinit}{}{} ist, so besitzt $f$ in $P$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{(1). Aufgrund von Lemma 50.1 gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{ U { \left( P,\delta \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {negativ definit}{}{} ist. Für alle Vektoren
\mathbed {v \in V} {}
{v \in U { \left( 0,\delta \right) }} {}
{} {} {} {,} gibt es nach Satz 49.3 ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ = }{c(v) }
{ \in }{[0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P+v) }
{ =} { f(P) + \sum_{ \betrag { \, r \, } = 2 } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P+c v) \cdot v^r }
{ =} { f(P) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \operatorname{Hess}_{ P+cv } \, f ( v,v) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei die erste Formulierung sich auf eine fixierte Basis bezieht und wobei die zweite Identität auf Aufgabe 49.13 beruht. Da die Hesse-Form negativ definit ist, steht rechts für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Zahl, die echt kleiner als
\mathl{f(P)}{} ist. Daher liegt ein isoliertes lokales Maximum vor.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(2) wird wie (1) bewiesen oder durch Betrachten von $-f$ darauf zurückgeführt.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(3). Es sei
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{} \definitionsverweis {indefinit}{}{.} Dann gibt es Vektoren \mathkor {} {v} {und} {w} {} mit
\mathdisp {\operatorname{Hess}_{ P } \, f ( v,v) > 0 \text{ und } \operatorname{Hess}_{ P } \, f ( w,w) < 0} { . }
Wegen der stetigen Abhängigkeit der Hesse-Form gelten diese Abschätzungen auch für
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} für $Q$ aus einer offenen Umgebung von $P$ \zusatzklammer {mit den gleichen Vektoren $v$ und $w$} {} {.} Wir können durch Skalierung von \mathkor {} {v} {und} {w} {} annehmen, dass \mathkor {} {P+v} {und} {P+w} {} zu dieser Umgebung gehören. Wie im Beweis zu Teil (1) gilt daher \zusatzklammer {$v$ und $w$ sind nicht $0$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P+v) }
{ =} { f(P) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \operatorname{Hess}_{ P+cv } \, f ( v,v) }
{ >} { f(P) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P+w) }
{ =} { f(P) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \operatorname{Hess}_{ P+dw } \, f ( w,w) }
{ <} { f(P) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c,d }
{ \in }{[0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Also kann in $P$ kein lokales Extremum vorliegen.}
{}

}





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x+3x^2-2xy-y^2+y^3 } {.} Die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial f }{ \partial x } } = 1+6x-2y \text{ und } { \frac{ \partial f }{ \partial y } } = -2x-2y+3y^2} { . }
Zur Berechnung der \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} dieser Funktion eliminieren wir $x$ und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{9y^2-8y+1 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{7} }{ 9 } } + { \frac{ 4 }{ 9 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} führt. Die kritischen Punkte sind also
\mathdisp {P_1 = \left( { \frac{ 2 \sqrt{7} -1 }{ 54 } } , \, { \frac{ \sqrt{7} }{ 9 } } + { \frac{ 4 }{ 9 } } \right) \text{ und } P_2 = \left( { \frac{ -2 \sqrt{7} -1 }{ 54 } } , \, { \frac{ - \sqrt{7} }{ 9 } } + { \frac{ 4 }{ 9 } } \right)} { . }
Die \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} ist in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{ (x,y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hess}_{ Q } \, f }
{ =} { \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -2 & -2+6y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zur Bestimmung des Definitheitstyps ziehen wir Satz 48.10 heran, wobei der erste Minor, also $6$, natürlich positiv ist. Die Determinante der Hesse-Matrix ist
\mathdisp {-16 +36 y} { , }
was genau bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ > }{ { \frac{ 4 }{ 9 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} positiv ist. Dies ist im Punkt $P_1$ der Fall, aber nicht im Punkt $P_2$. Daher ist die Hesse-Matrix im Punkt $P_1$ nach Satz 48.10 positiv definit und somit besitzt die Funktion $f$ im Punkt $P_1$ nach Satz 50.2 ein isoliertes \definitionsverweis {lokales Minimum}{}{,} das zugleich ein \definitionsverweis {globales Minimum}{}{} ist. In $P_2$ ist die Determinante negativ, sodass dort die Hesse-Form \definitionsverweis {indefinit}{}{} ist und somit, wiederum nach Satz 50.2, kein Extremum vorliegen kann.


}




\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R} { \R } {(x,y)} { x^y } {.} Nach Aufgabe 17.1 ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^y }
{ =} { e^{ ( \ln x) \cdot y } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial \varphi }{ \partial x } } = { \frac{ y }{ x } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} = { \frac{ y }{ x } } \cdot x^y \text{ und } { \frac{ \partial \varphi }{ \partial y } } = ( \ln x ) \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} = ( \ln x ) \cdot x^y} { . }
Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(1,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der einzige \definitionsverweis {kritische Punkt}{}{.} Die \definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{} in einem Punkt
\mathl{(x,y)}{} ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \begin{pmatrix} { \frac{ -y+y^2 }{ x^2 } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} & { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} \\ { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} & ( \ln x)^2 \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ -y+y^2 }{ x^2 } } \cdot x^y & { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot x^y \\ { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot x^y & ( \ln x)^2 \cdot x^y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} In $P$ ist dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hess}_{ P } \, \varphi }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nach Korollar 48.11 ist daher die Hesse-Form im kritischen Punkt weder \definitionsverweis {positiv definit}{}{} noch \definitionsverweis {negativ definit}{}{.} Man kann direkt zeigen, dass diese Matrix \definitionsverweis {indefinit}{}{} ist \zusatzklammer {vom \definitionsverweis {Typ}{}{} \mathlk{(1,1)}{}} {} {,} da diese Bilinearform auf
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}}{} positiv und auf
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\-1 \end{pmatrix}}{} negativ definit ist. Nach Satz 50.2 liegt in diesem Punkt also kein \definitionsverweis {Extremum}{}{} vor.

Dies kann man auch ohne Differentialrechnung erkennen. Für \mathkor {} {x=1} {oder} {y=0} {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Ansonsten gelten die folgenden Beziehungen. \aufzaehlungvier{Für \mathkor {} {0<x<1} {und} {y>0} {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für \mathkor {} {x>1} {und} {y>0} {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für \mathkor {} {0<x<1} {und} {y<0} {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für \mathkor {} {x>1} {und} {y<0} {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } Daher gibt es in jeder Umgebung von
\mathl{(1,0)}{} Punkte, an denen die Funktionswerte größer bzw. kleiner als $1$ sind.


}






\inputbemerkung
{}
{

Es sei \maabbdisp {g} {[a,b]} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {x_0 }
{ <} { x_1 }
{ <} { x_2 }
{ <} { \ldots }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ <} { x_n }
{ <} { x_{n+1} }
{ =} { b }
{ } {}
}{}{} eine Unterteilung des Intervalls durch $n$ Zwischenpunkte \zusatzklammer {in \mathlk{n+1}{} Teilintervalle} {} {.} Dazu gehört die \definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{,} die auf
\mathl{[x_i,x_{i+1}[}{} den konstanten Wert
\mathl{g(x_i)}{} annimmt. Wenn $g$ \definitionsverweis {monoton wachsend}{}{} ist, so ist dies eine \definitionsverweis {untere Treppenfunktion}{}{,} und das zugehörige \definitionsverweis {Treppenintegral}{}{} ist eine \definitionsverweis {untere Schranke}{}{} für das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathl{\int_a^b g(t)dt}{.} Das Treppenintegral ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x_1 , \ldots , x_n) }
{ =} { \sum_{i = 0}^n g(x_i) { \left( x_{i+1} -x_i \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Wir fragen uns, für welche Intervallunterteilung mit $n$ Teilpunkten das Treppenintegral \definitionsverweis {maximal}{}{} oder \definitionsverweis {minimal}{}{} wird. Dazu kann man die differentiellen Methoden zur Bestimmung von Extrema für Funktionen in mehreren Variablen verwenden \zusatzklammer {nämlich den variablen Unterteilungspunkten \mathlk{x_1 , \ldots , x_n}{}} {} {,} vorausgesetzt, dass $g$ \zusatzklammer {hinreichend oft} {} {} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} \zusatzklammer {in einer Variablen} {} {} ist. In diesem Fall sind die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} von $f$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x_i } } }
{ =} { g'(x_i) { \left( x_{i+1}-x_i \right) } -g(x_i)+g(x_{i-1}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ = }{1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {wobei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x_0 }
{ = }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ x_{n+1} }
{ = }{ b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu lesen ist} {} {.} Als Definitionsbereich von $f$ kann man die offene Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ (x_1 , \ldots , x_n) \mid a <x_1 <x_2 < \ldots < x_n <b \right\} } }
{ \subseteq} { \R^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} oder aber
\mathl{[a,b]^n}{} wählen. Es ist im Allgemeinen schwierig, die kritischen Punkte dieser Abbildung zu bestimmen.

}




\inputbeispiel{}
{

Wir wollen für die Funktion \maabbeledisp {g} {\R} {\R } {t} {g(t) = 1-t^3 } {,} und das \definitionsverweis {Einheitsintervall}{}{}
\mathl{[0,1]}{} bestimmen, für welche zwei Unterteilungspunkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ < }{x }
{ < }{y }
{ < }{1 }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Treppenintegral}{}{} der zugehörigen \zusatzklammer {dreistufigen} {} {} \definitionsverweis {unteren Treppenfunktion}{}{} maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y) }
{ =} { x { \left( 1-x^3 \right) } + { \left( y-x \right) } { \left( 1-y^3 \right) } }
{ =} { x-x^4+y-y^4-x+xy^3 }
{ =} { -x^4+y-y^4 +xy^3 }
{ } { }
} {}{}{} beschrieben. Die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} dieser Funktion sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } } }
{ =} { -4x^3+y^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } } }
{ =} { 1 -4y^3 +3xy^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir bestimmen die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{.} Aus der ersten partiellen Ableitung ergibt sich die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { \sqrt[3]{4} x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und daraus ergibt sich mit der zweiten partiellen Ableitung die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 -16 x^3 +3 \cdot 4^{2/3}x^3 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 16 - 3 \cdot 4^{2/3} \right) } x^3 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt[3]{ 16 - 3 \cdot 4^{2/3} } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} { \left( { \frac{ 1 }{ \sqrt[3]{ 16 - 3 \cdot 4^{2/3} } } } , \, { \frac{ \sqrt[3]{4} }{ \sqrt[3]{ 16 - 3 \cdot 4^{2/3} } } } \right) }
{ \cong} { \left( 0,4911 , \, 0,7796 \right) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der einzige kritische Punkt. Wir bestimmen die \definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{} in diesem Punkt, sie ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hess}_{ P } \, f }
{ =} { \begin{pmatrix} -12x^2 & 3y^2 \\ 3y^2 & -12y^2+6xy \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und in $P$ gleich
\mathdisp {\begin{pmatrix} - 2,8942 & 1,8233 \\ 1,8233 & -4,9961 \end{pmatrix}} { , }
also \definitionsverweis {negativ definit}{}{} nach Korollar 48.11. Daher liegt in $P$ ein Maximum nach Satz 50.2 vor.


}




\inputbeispiel{}
{

Wir wollen für die Funktion \maabbeledisp {g} {\R} {\R } {t} {t } {,} und das \definitionsverweis {Einheitsintervall}{}{}
\mathl{[0,1]}{} bestimmen, für welche $n$ Unterteilungspunkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ < }{ x_1 }
{ < }{ \ldots }
{ < }{x_n }
{ < }{1 }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Treppenintegral}{}{} der zugehörigen \zusatzklammer {\mathlk{(n+1)}{-}stufigen} {} {} \definitionsverweis {unteren Treppenfunktion}{}{} maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ f(x_1 , \ldots , x_n) }
{ =} { x_1(x_2-x_1) +x_2(x_3-x_2) + \cdots + x_{n-1} (x_n-x_{n-1}) + x_n(1-x_n) }
{ =} { \sum_{i = 1}^{n-1} x_{i}x_{i+1} +x_n - \sum_{i = 1}^n x_i^2 }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{} beschrieben. Die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} dieser Funktion sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } } }
{ =} { x_2 -2x_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x_i } } }
{ =} { x_{i-1} +x_{i+1} -2x_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ = }{ 2 , \ldots , n-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x_n } } }
{ =} { x_{n-1} + 1 - 2x_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir bestimmen die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{,} indem wir die partiellen Ableitungen gleich $0$ setzen. Die ersten
\mathl{n-1}{} Gleichungen ergeben sukzessive die Bedingungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_i }
{ =} { i x_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $i$. Dies zeigt man durch \definitionsverweis {Induktion}{}{,} der Induktionsanfang \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{i }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} ist trivial,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt direkt aus der ersten Gleichung und der Induktionsschritt ergibt sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{i+1} }
{ =} { -x_{i-1} +2x_i }
{ =} { -(i-1)x_1 +2ix_1 }
{ =} { (i+1 ) x_1 }
{ } { }
} {}{}{.} Aus der letzen Gleichung folgt schließlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} { x_{n-1} +1 -2x_n }
{ =} { 1 +( n-1 -2n ) x_1 }
{ =} { 1 -(n+1) x_1 }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ n+1 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Der einzige kritische Punkt liegt also in der äquidistanten Unterteilung vor. Die \definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{} ist \zusatzklammer {unabhängig vom Punkt} {} {} gleich
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & -2& 1 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & \ldots & \ldots & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}} { . }
Diese Matrix ist \definitionsverweis {negativ definit}{}{} nach Korollar 48.11. Daher liegt in der äquidistanten Unterteilung nach Satz 50.2 das Maximum vor.


}