Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 68/latex

\setcounter{section}{68}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Wir definieren auf $\overline{ \R }$ eine \definitionsverweis {Topologie}{}{,} indem wir die Mengen
\mathdisp {]a,b [ \, \, (\text{mit } a,b \in \R),\, [- \infty, a[ \, \, (\text{mit } a \in \R) \text{ und } ]a, \infty] \, \,(\text{mit }a \in \R)} { }
als \definitionsverweis {Basis der Topologie}{}{} nehmen. Zeige, dass $\R$ \definitionsverweis {offen}{}{} in dieser Topologie ist und die \definitionsverweis {Unterraumtopologie}{}{} zu dieser Topologie trägt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Borelmengen}{}{} auf $\overline{ \R }$ zu der in Aufgabe 68.1 eingeführten \definitionsverweis {Topologie}{}{} mit den in der Vorlesung direkt eingeführten Borel-Mengen übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $\overline{ \R }$ mit der in Aufgabe 68.1 eingeführten Topologie \definitionsverweis {homöomorph}{}{} zum \definitionsverweis {abgeschlossenen Intervall}{}{}
\mathl{[0,1]}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Supremum und das Infimum der Funktionenfolge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_n(x) }
{ =} { \sum_{k = 0 }^n { \frac{ 1 }{ k! } } x^k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe eine beliebige \definitionsverweis {einfache Funktion}{}{} mit Hilfe von \definitionsverweis {Indikatorfunktionen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei \definitionsverweis {einfachen Funktionen}{}{} auf einem \definitionsverweis {Messraum}{}{} wieder einfach ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} und \maabb {f} {M} {\R_{\geq 0} } {} eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion \maabbeledisp {\sqrt{f}} {M} {\R_{\geq 0} } {x} { \sqrt{f(x)} } {,} messbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} und es sei \maabbdisp {f_n} {X} {\R } {} \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} eine Folge von \definitionsverweis {messbaren Funktionen}{}{,} wobei $\R$ die $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} der \definitionsverweis {Borelmengen}{}{} trägt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ x \in X \mid a \text{ ist ein H}\ddot{\rm a}\text{ufungspunkt der Folge } { \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N } \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{} von $X$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} und es seien \maabbdisp {f,g} {M} {\R } {} \definitionsverweis {messbare Funktionen}{}{.} Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ x \in M \mid f(x) = g(x) \right\} }} { }
\definitionsverweis {messbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei $\sigma$-\definitionsverweis {einfachen Funktionen}{}{} auf einem \definitionsverweis {Messraum}{}{} wieder $\sigma$-einfach ist.

}
{} {}

Eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabb {f} {\R} {\R } {} heißt \definitionswort {periodisch}{} mit \definitionswort {Periode}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { f(x+L) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

\inputaufgabe
{5 (3+2)}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {periodische Funktion}{}{} mit der Periode $L>0$.

a) Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$f$ ist \definitionsverweis {messbar}{}{.} }{Die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $f$ auf das Intervall
\mathl{[0,L[}{} ist \definitionsverweis {messbar}{}{.} }{Die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $f$ auf jedes Intervall der Form
\mathl{[a,a+L[}{} ist \definitionsverweis {messbar}{}{.} }

b) Zeige, dass diese Äquivalenz für die \definitionsverweis {Stetigkeit}{}{} nicht gelten muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die approximierenden Funktionen
\mathl{f_0,f_1 , \ldots , f_5}{} für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2 } {,} gemäß dem Beweis zu Lemma 68.11.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6 (1+2+2+1)}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zu
\mathl{n \in \N_+}{} sei die Funktion $f_n$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_n(x) }
{ =} { { \frac{ \left \lfloor nf(x) \right \rfloor }{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert.

a) Zeige, dass die $f_n$ $\sigma$-\definitionsverweis {einfach}{}{} sind.

b) Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\mathbed {f_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} punktweise gegen $f$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

c) Zeige, dass diese Funktionenfolge nicht \definitionsverweis {wachsend}{}{} sein muss.

d) Sind die $f_n$ \definitionsverweis {messbar}{}{?}

}
{} {}