Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 69

In diesem Arbeitsblatt geht es ausschließlich um das Lebesgue-Integral, es darf nicht mit dem Riemann-Integral argumentiert werden.

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ Mengen und es seien

$\phi :M⟶N$

und

$f:N⟶ℝ$

Abbildungen. Zeige, dass für die Subgraphen die Beziehung

$(\phi \times {\mathrm{Id}}_{ℝ}{)}^{-1}(S(f))=S(f\circ \phi )$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass das Integral der Nullfunktion gleich $0$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Integral einer messbaren Funktion über einer Nullmenge gleich $0$ ist.

Aufgabe

Es sei $M$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum,

$f:M⟶\overline{ℝ}$

eine messbare Funktion und  $c\in \overline{ℝ}$.  Zeige, dass

$\{(x,c)\mid f(x)=c\}\subseteq M\times \overline{ℝ}$

eine Nullmenge ist.

Aufgabe

Es sei $(M,𝒜,\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum, sei $f$ eine integrierbare nichtnegative numerische Funktion auf $M$ und  $a\in {ℝ}_{\ge 0}$.  Zeige, dass auch $af$ integrierbar ist und dass

${\int }_{M}afd\mu =a\cdot {\int }_{M}fd\mu$

gilt.

Aufgabe

Es sei $M$ eine abzählbare Menge, die mit dem Zählmaß versehen sei, und sei

$f:M⟶ℝ$

eine Funktion. Zeige, dass $f$ genau dann integrierbar ist, wenn die Familie $f(m)$, $m\in M$, summierbar ist, und dass in diesem Fall das Integral gleich der Summe ist.

Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt des Subgraphen zur linearen Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼cx,$

über dem Intervall $[a,b]$ mit $c\ge 0,b\ge a\ge 0$.

Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt des Subgraphen zur Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼1+\sin x,$

über dem Intervall $[0,2\pi ]$.

Aufgabe *

Es sei $M$ eine Menge und es sei $T_n\uparrow M$ eine Ausschöpfung von $M$ mit Teilmengen $T_n\subseteq M$, $n\in \mathbb{N}$. Zu jedem $n\in \mathbb{N}$ sei $A_n\subseteq M\times ℝ$ der Subgraph zur Indikatorfunktion $e_{T_n}$. Zeige, dass die $A_n$, $n\in \mathbb{N}$, eine Ausschöpfung von $M\times [0,1]$ bilden.

Aufgabe

Es seien $(M,𝒜,\mu )$ und $(N,ℬ,\nu )$ zwei endliche Maßräume und es sei

$f:M⟶\overline{ℝ}$

integrierbare Funktion. Zeige

${\int }_{M\times N}fd\mu \otimes \nu =\nu (N)\cdot {\int }_{M}f(x)d\mu (x).$

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f:[-1,1]⟶ℝ,t⟼1-t^2.$

Für welches  $a\in [0,1]$  ist die Tschebyschow-Abschätzung für diese Funktion am besten?

Aufgabe

Es sei

$L:{ℝ}^n⟶{ℝ}^n$

eine lineare Abbildung,  $M\subseteq {ℝ}^n$  eine messbare Teilmenge und  $N=L(M)$.  Es sei

$N⟶\overline{ℝ}$

eine messbare Funktion. Zeige

${\int }_M(f\circ L)d{\lambda }^n={\int }_{N}f{(detL)}^{-1}d{\lambda }^n.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $T\subseteq {ℝ}^n$  eine kompakte Teilmenge und sei

$f:T⟶ℝ$

eine stetige Funktion. Zeige, dass $f$ integrierbar ist. Man gebe auch eine Abschätzung für das Integral ${\int }_{T}fd{\lambda }^n$ an.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $(M,𝒜,\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum. Zeige, dass für jedes  $r\in ℝ$  die Abbildung

$M\times ℝ⟶M\times ℝ,(x,t)⟼(x,t+r),$

maßtreu ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Volumen des Subgraphen zur linearen Funktion

$f:{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼cx+dy,$

(mit $c,d\in {ℝ}_{\ge 0}$) über dem Einheitsquadrat $[0,1]\times [0,1]$.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f:[0,\pi ]⟶ℝ,t⟼\sin t.$

Für welches  $a\in [0,1]$  ist die Tschebyschow-Abschätzung für diese Funktion am besten? Bestimme $a$ numerisch bis auf $5$ Nachkommastellen.