Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 68

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Wir definieren auf ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ eine Topologie, indem wir die Mengen

$]a,b[\,\,({\text{mit }}a,b\in \mathbb {R} ),\,[-\infty ,a[\,\,({\text{mit }}a\in \mathbb {R} ){\text{ und }}]a,\infty ]\,\,({\text{mit }}a\in \mathbb {R} )$

als Basis der Topologie nehmen. Zeige, dass ${}\mathbb {R}$ offen in dieser Topologie ist und die Unterraumtopologie zu dieser Topologie trägt.

Aufgabe

Zeige, dass die Borelmengen auf ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ zu der in Aufgabe 68.1 eingeführten Topologie mit den in der Vorlesung direkt eingeführten Borel-Mengen übereinstimmen.

Aufgabe

Zeige, dass ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ mit der in Aufgabe 68.1 eingeführten Topologie homöomorph zum abgeschlossenen Intervall ${}[0,1]$ ist.

Aufgabe

Bestimme das Supremum und das Infimum der Funktionenfolge

${}f_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}x^{k}\,.$

Aufgabe

Beschreibe eine beliebige einfache Funktion mit Hilfe von Indikatorfunktionen.

Aufgabe

Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei einfachen Funktionen auf einem Messraum wieder einfach ist.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ ein Messraum und ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion

${\sqrt {f}}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {f(x)}},$

messbar ist.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein Messraum und es sei

$f_{n}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von messbaren Funktionen, wobei ${}\mathbb {R}$ die ${}\sigma$- Algebra der Borelmengen trägt. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Menge

${}M={\left\{x\in X\mid a{\text{ ist ein H}}{\ddot {\rm {a}}}{\text{ufungspunkt der Folge }}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right\}}\,$

eine messbare Teilmenge von ${}X$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es seien

$f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

messbare Funktionen. Zeige, dass die Menge

${\left\{x\in M\mid f(x)=g(x)\right\}}$

messbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei ${}\sigma$- einfachen Funktionen auf einem Messraum wieder ${}\sigma$-einfach ist.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt periodisch mit Periode ${}L>0$, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=f(x+L)\,$

gilt.

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine periodische Funktion mit der Periode ${}L>0$.

a) Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}f$ ist messbar.
2. Die Einschränkung von ${}f$ auf das Intervall ${}[0,L[$ ist messbar.
3. Die Einschränkung von ${}f$ auf jedes Intervall der Form ${}[a,a+L[$ ist messbar.

b) Zeige, dass diese Äquivalenz für die Stetigkeit nicht gelten muss.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die approximierenden Funktionen ${}f_{0},f_{1},\ldots ,f_{5}$ für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

gemäß dem Beweis zu Lemma 68.11.

Aufgabe (6 (1+2+2+1) Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei die Funktion ${}f_{n}$ durch

${}f_{n}(x)={\frac {\left\lfloor nf(x)\right\rfloor }{n}}\,$

definiert.

a) Zeige, dass die ${}f_{n}$ ${}\sigma$- einfach sind.

b) Zeige, dass die Funktionenfolge ${}f_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, punktweise gegen ${}f$ konvergiert.

c) Zeige, dass diese Funktionenfolge nicht wachsend sein muss.

d) Sind die ${}f_{n}$ messbar?