Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 20/latex

\setcounter{section}{20}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Diciembre.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!} }

\bildlizenz { Diciembre.jpg } {} {Lumentzaspi} {Commons} {PD} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {I} {\R } {} \definitionsverweis {konvexe Funktionen}{}{.} Zeige, dass die Summe $f+g$ ebenfalls konvex ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn $-f$ konkav ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {I} {\R } {} \definitionsverweis {konvexe Funktionen}{}{.} Zeige durch Beispiele, dass die Differenz $f-g$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {I} {\R } {} \definitionsverweis {konvexe Funktionen}{}{.} Zeige durch Beispiele, dass das Produkt $fg$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine stetige Funktion auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar \mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(b,f(b))} {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von $f$ verläuft.

}
{(Bemerkung: Eine konvexe Funktion auf einem offenen Intervall ist übrigens immer stetig.)} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I \subseteq \R$ ein Intervall und \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine zweimal \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung
\mathl{f^{\prime \prime}(x) \geq 0}{} für alle
\mathl{x \in I}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $f \in \R[X]$ ein Polynom mit ungeradem Grad
\mathl{\geq 3}{.} Zeige, dass $f$ weder konvex noch konkav sein kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }$ eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} mit \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} $R>0$. Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe $\sum_{n=1}^\infty na_n z^{n-1}$ ebenfalls $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { z^2 \cdot \exp \left( z^3-4z \right) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Höhere Ableitung/x e hoch x/Induktion/Aufgabe

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {\ln} {\R_+} {\R } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich $2 \%$. Nach welchem Zeitraum \zusatzklammer {in Jahren und Tagen} {} {} haben sich die Preise verdoppelt?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den Grenzwert
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ x-1 }{ \ln x } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ \ln (x+1) }{ \sin \left( 2 x \right) } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} mit den Eigenschaften
\mathdisp {f'=f \text{ und } f(0)=1} { . }
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{\exp x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabb {f} {I} {\R_+ } {} eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den \definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ h \rightarrow 0 } \, { \left( { \frac{ f(x+h) }{ f(x) } } \right) }^{ \frac{ 1 }{ h } }} { }
zu einem Punkt
\mathl{x \in I}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme diesen Limes für die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {a^x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem
\mathl{a \in \R_+}{.} }{Es sei $f$ in
\mathl{x \in I}{} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ h \rightarrow 0 } \, { \left( { \frac{ f(x+h) }{ f(x) } } \right) }^{ \frac{ 1 }{ h } } }
{ =} { \exp \left( { \frac{ f'(x) }{ f(x) } } \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} }{Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2). }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von $e^{ \mathrm i}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Sinus- und der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} über ihre Potenzreihen \zusatzklammer {Satz 20.9} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Sinus- und der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} unter Verwendung von Satz 15.10  (4).

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die $1034871$-te \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = \cos ( \ln x ) } {.}

a) Bestimme die Ableitung $f'$.

b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { ( \sin z )( \cos z ) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für $n \in \N$ die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { (\sin z )^n } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\sum _{ n= 0}^\infty c_n (z-a)^{ n }$ eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} $f^{(k)}(a)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der \definitionsverweis {Funktionslimes}{}{} existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt. \aufzaehlungvier{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \frac{ \sin x }{x}$, }{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \frac{ (\sin x)^2 }{x}$, }{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \frac{ \sin x }{x^2}$, }{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, \frac{x-1}{ \ln x }$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der \definitionsverweis {Funktionslimes}{}{} für
\mathbed {x \in \R \setminus \{0\}} {}
{x \rightarrow 0} {}
{} {} {} {,} existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt. \aufzaehlungdrei{$\sin \frac{1}{x}$, }{$x \cdot \sin \frac{1}{x}$, }{$\frac{1}{x} \cdot \sin \frac{1}{x}$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ ( x-1)^\alpha }{ \ln x } }} { }
in Abhängigkeit von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Sinh-cosh-r-28pt.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.} }

\bildlizenz { Sinh-cosh-r-28pt.svg } {} {Emdee} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Die für $z \in {\mathbb C}$ durch
\mathdisp {\sinh z := \frac{1}{2}(e^z - e^{-z})} { }
definierte \definitionsverweis {Funktion}{}{} heißt \definitionswort {Sinus hyperbolicus}{.}

Die für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cosh z }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( e^z + e^{-z} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte \definitionsverweis {Funktion}{}{} heißt \definitionswort {Kosinus hyperbolicus}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige die folgenden Eigenschaften von \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} und \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{} \zusatzklammer {dabei ist $z \in {\mathbb C}$.} {} {} \aufzaehlungvier{
\mathdisp {\cosh z+ \sinh z = e^z} { . }
}{
\mathdisp {\cosh z - \sinh z = e^{-z}} { . }
}{
\mathdisp {( \cosh z )^2 - ( \sinh z )^2 = 1} { . }
}{
\mathdisp {\cosh { \mathrm i} z = \cos z \text{ und } \sinh { \mathrm i} z = { \mathrm i} \cdot \sin z} { . }
}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} von \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} und \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Additionstheoreme für die \definitionsverweis {Hyperbelfunktionen}{}{,} also

a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sinh (x + y) }
{ =} { \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cosh(x + y) }
{ =} {\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} auf $\R$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{} auf $\R_{\leq 0}$ \definitionsverweis {streng fallend}{}{} und auf $\R_{\geq 0}$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} ist.

}
{} {}

Aufgrund dieser beiden Aufgaben gibt es Umkehrfunktionen, die man \stichwort {Areasinus hyperbolicus} {} bzw. \stichwort {Areakosinus hyperbolicus} {} nennt.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass für
\mathbed {x \in \R} {}
{x \geq 1} {}
{} {} {} {,} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \, \operatorname{arcosh} \, x \, }
{ =} { \ln { \left( x+\sqrt{x^2-1} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie}

\inputaufgabe
{}
{

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge
\mathdisp {1,\,11,\, 21,\, 1211,\, 111221,\, 312211,\, ...} { }
zugrunde?

}
{} {(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {konvexe Funktion}{}{,} seien $x_1 , \ldots , x_n \in I$ und $t_1 , \ldots , t_n \in \R_{\geq 0}$ mit $\sum_{i=1}^n t_i=1$. Zeige die Jensensche Ungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( \sum_{i=1}^n t_i x_i \right) } }
{ \leq} { \sum_{i=1}^n t_i f (x_i) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Konvexitätsverhalten}{}{} und die \definitionsverweis {Wendepunkte}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { 2x^4-x^3-3x^2+7x+5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{,} die nicht linear sei. Zeige, dass $f$ weder konvex noch konkav sein kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{1}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \sin \left( \cos z \right) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R_+ } {\R } {x} { x^x } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {f} {\N} {\N } {,} die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.34 entspricht \zusatzklammer {die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen} {} {.} \aufzaehlungvier{Ist $f$ wachsend? }{Ist $f$ surjektiv? }{Ist $f$ injektiv? }{Besitzt $f$ einen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{?} }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Die Weihnachtsaufgabe}

\inputaufgabe
{10}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {f} {\N} {\N } {,} die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.34 entspricht. Unter einem
\betonung{Zykel}{} von
\mathl{f}{} der Länge $n$ verstehen wir ein
\mathl{x \in \N}{} derart, dass
\mathl{f^n(x) =x}{} (
\mathl{f^n}{} bezeichnet die
\mathl{n}{-}te Hintereinanderschaltung von
\mathl{f}{} mit sich selbst) und
\mathl{f^{i}(x) \neq x}{} ist für
\mathl{i=1,2 , \ldots , n-1}{.} Besitzt $f$ Zykel der Länge
\mathl{n \geq 2}{?}

}
{(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)} {}