Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Vorlesung 20

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Konvexe Funktionen
Eine konvexe Teilmenge.
Eine nichtkonvexe Teilmenge.



Definition  

Eine Teilmenge heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

ebenfalls zu gehört.


Definition  

Sei eine Teilmenge und

eine Funktion. Dann nennt man die Menge

den Subgraphen und

den Epigraphen der Funktion.

Subgraph und Epigraph sind nach unten bzw. nach oben unbeschränkt. Im Kontext der Integrationstheorie interessiert man sich für den positiven Subgraphen, der durch die -Achse nach unten beschränkt ist. Der Graph der Funktion gehört sowohl zum Subgraphen als auch zum Epigraphen.

Der Graph und der Epigraph einer konvexen Funktion.



Definition  

Sei ein Intervall und

eine Funktion. Man sagt, dass konvex ist, wenn der Epigraph konvex ist.


Definition  

Sei ein Intervall und

eine Funktion. Man sagt, dass konkav ist, wenn der Subgraph konvex ist.

Bei beiden Begriffen muss man lediglich überprüfen, ob die Verbindungsstrecke zwischen je zwei Punkten des Graphen jeweils oberhalb bzw. unterhalb verläuft. Im differenzierbaren Fall gibt es einfache Ableitungskriterien für diese Verhaltensweisen, wobei wir nur den konvexen Fall anführen.



Satz  

Es sei ein Intervall und

eine differenzierbare Funktion.

Dann ist genau dann eine konvexe (konkave) Funktion, wenn die Ableitung wachsend (fallend) ist.

Beweis  

Sei zunächst konvex und seien zwei Punkte aus gegeben. Es sei die lineare Funktion, die und verbindet. Aufgrund der Konvexität ist für . Für die Differenzenquotienten gilt daher

Durch Übergang zum Limes für bzw. folgt


Sei nun als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte aus gegeben mit der Eigenschaft, dass die verbindende Gerade von und nicht vollständig oberhalb des Graphen von verläuft. Es gibt also ein mit , wobei wieder die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu können wir und annehmen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte und mit und , so dass nicht wachsend ist.



Korollar

Es sei ein Intervall und

eine zweimal differenzierbare Funktion.

Dann ist genau dann eine konvexe Funktion, wenn für die zweite Ableitung für alle gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe 20.6.


Die folgende Aussage heißt Jensensche Ungleichung.


Satz

Es sei

eine konvexe Funktion, seien und mit .

Dann ist

Beweis

Siehe Aufgabe 20.34.

Definition  

Es sei

eine auf einem Intervall definierte Funktion und ein innerer Punkt von . Man sagt, dass in ein Wendepunkt von vorliegt, wenn es ein gibt derart, dass auf konvex (konkav) und auf konkav (konvex) ist.

Für eine zweimal differenzierbare Funktion liegt nach Korollar 20.6 genau dann ein Wendepunkt in vor, wenn für und für ist (oder umgekehrt). Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines Wendepunktes ist somit, dass ist. Die Funktion erfüllt im Nullpunkt dieses notwendige Kriterium, es liegt aber kein Wendepunkt vor.



Ableitung von Potenzreihen



Satz  

Es sei

eine

konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius .

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe dargestellte Funktion ist in jedem Punkt differenzierbar mit

Beweis  

Sei , , vorgegeben und sei  mit . Dann konvergiert gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen für hinreichend groß ist

so dass die Potenzreihe in und somit in konvergiert (dafür, dass der Konvergenzradius von nicht größer als ist, siehe Aufgabe 20.8).
Die Potenzreihe

ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach Korollar 16.9 stetige Funktion dar und besitzt in den Wert . Daher zeigt die Gleichung (von Potenzreihen und dargestellten Funktionen)

dass in linear approximierbar, also nach Satz 18.5 differenzierbar ist mit der Ableitung .
Sei nun . Nach dem Entwicklungssatz gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ,

deren dargestellte Funktion mit der durch dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von übereinstimmt, und wobei

gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen (angewendet auf und die formale Potenzreihenableitung )





Korollar  

Eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion

ist in ihrem Konvergenzbereich unendlich oft differenzierbar.

Beweis  

Dies ergibt sich direkt aus Satz 20.9.




Satz  

Die Exponentialfunktion

ist differenzierbar mit

Beweis  

Aufgrund von Satz 20.9 ist



Korollar

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus

ist

Beweis

Siehe Aufgabe 20.11.




Korollar  

Es sei .

Dann ist die Funktion

differenzierbar und ihre Ableitung ist

Beweis  

Nach Aufgabe 17.1 ist

Die Ableitung nach ist aufgrund von Satz 20.11, Korollar 20.12 und der Kettenregel gleich



Korollar

Für die eulersche Zahl gilt die Gleichheit

Beweis

Die äußeren Gleichheiten sind Definitionen. Aufgrund von

Korollar 20.12 ist . Dies bedeutet aufgrund der Definition des Differentialquotienten insbesondere

Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als und wenden darauf die Exponentialfunktion an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der Stetigkeit und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Gleichungskette

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle {{}} \begin{align} \exp 1 & = \exp { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( n \cdot \ln {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex |#default={ \left(\right) } }} \right) } \right) } \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \exp { \left( n \cdot \ln { \left( 1+\frac{1}{n} \right) } \right) } \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }^n \\ & = e . \end{align} }



Satz

Die Sinusfunktion

ist differenzierbar mit

und die

Kosinusfunktion

ist differenzierbar mit

Beweis

Siehe Aufgabe 20.18.



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