Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 20

Übungsaufgaben

Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!

Aufgabe

Es seien

$f,g:I⟶ℝ$

konvexe Funktionen. Zeige, dass die Summe $f+g$ ebenfalls konvex ist.

Aufgabe

Es sei

$f:I⟶ℝ$

eine Funktion. Zeige, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn $-f$ konkav ist.

Aufgabe

Es seien

$f,g:I⟶ℝ$

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass die Differenz $f-g$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.

Aufgabe

Es seien

$f,g:I⟶ℝ$

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass das Produkt $fg$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.

Aufgabe

Es sei

$f:I⟶ℝ$

eine stetige Funktion auf einem Intervall  $I\subseteq ℝ$.  Zeige, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ mit  $a,b\in I$  die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von $f$ verläuft.

(Bemerkung: Eine konvexe Funktion auf einem offenen Intervall ist übrigens immer stetig.)

Aufgabe

Es sei $I\subseteq ℝ$ ein Intervall und

$f:I⟶ℝ$

eine zweimal differenzierbare Funktion. Zeige, dass $f$ genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ für alle $x\in I$ gilt.

Aufgabe

Es sei $f\in ℝ[X]$ ein Polynom mit ungeradem Grad $\ge 3$. Zeige, dass $f$ weder konvex noch konkav sein kann.

Aufgabe

Es sei $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R>0$. Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n{z}^{n-1}$ ebenfalls $R$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼z^2\cdot \exp (z^3-4z).$

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f:ℂ⟶ℂ,x⟼f(x)=x{e}^x.$

Zeige durch Induktion, dass die $n$-te Ableitung ($n\ge 1$) von $f$ gleich

$f^{(n)}(x)=(x+n)e^x$

ist.

Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\ln :{ℝ}_{+}⟶ℝ.$

Aufgabe

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich $2\mathrm{\%}$. Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert

${\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{\ln x}.$

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert

${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (x+1)}{\sin \left(2x\right)}.$

Aufgabe

Es sei

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x),$

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

$f^{\prime }=f\text{ und }f(0)=1.$

Zeige, dass  $f(x)=\exp x$  für alle  $x\in ℝ$  ist.

Aufgabe *

Es sei $f:I\to {ℝ}_{+}$ eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes

${\lim }_{h\to 0}{\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}$

zu einem Punkt $x\in I$.

1. Bestimme diesen Limes für die Funktion

   $f(x)=a^x$

   mit einem $a\in {ℝ}_{+}$.

2. Es sei $f$ in $x\in I$ differenzierbar. Zeige

   ${\lim }_{h\to 0}{\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

3. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mithilfe der Formel aus (2).

Aufgabe

Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von $e^{\mathrm{i}}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 20.9).

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 15.10  (4).

Aufgabe

Bestimme die $1034871$-te Ableitung der Sinusfunktion.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼f(x)=\cos (\ln x).$

a) Bestimme die Ableitung $f^{\prime }$.

b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime }$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼(\sin z)(\cos z).$

Aufgabe

Bestimme für $n\in \mathbb{N}$ die Ableitung der Funktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼(\sin z{)}^n.$

Aufgabe

Es sei $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n$ eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen $f^{(k)}(a)$.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$,
2. ${\lim }_{x\to 0}\frac{(\sin x{)}^2}{x}$,
3. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x^2}$,
4. ${\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{\ln x}$.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für $x\in ℝ\setminus \{0\}$, $x\to 0$, existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. $\sin \frac{1}{x}$,
2. $x\cdot \sin \frac{1}{x}$,
3. $\frac{1}{x}\cdot \sin \frac{1}{x}$.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

${\lim }_{x\to 1}\frac{(x-1{)}^{\alpha }}{\ln x}$

in Abhängigkeit von  $\alpha \in {ℝ}_{+}$. 

Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.

Die für  $z\in ℂ$  durch

$\sinh z:=\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})$

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.

Die für  $z\in ℂ$  durch

$\cosh z:=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})$

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist $z\in ℂ$).

1. $\cosh z+\sinh z=e^z.$

2. $\cosh z-\sinh z=e^{-z}.$

3. $(\cosh z{)}^2-(\sinh z{)}^2=1.$

4. $\cosh \mathrm{i}z=\cos z.$

5. $\sinh \mathrm{i}z=\mathrm{i}\cdot \sin z.$

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe

Beweise die Additionstheoreme für die Hyperbelfunktionen, also

a)

$\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y.$

b)

$\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y.$

Aufgabe *

Zeige, dass der Sinus hyperbolicus auf $ℝ$ streng wachsend ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Kosinus hyperbolicus auf ${ℝ}_{\le 0}$ streng fallend und auf ${ℝ}_{\ge 0}$ streng wachsend ist.

Aufgrund dieser beiden Aufgaben gibt es Umkehrfunktionen, die man Areasinus hyperbolicus bzw. Areakosinus hyperbolicus nennt.

Aufgabe *

Zeige, dass für $x\in ℝ$, $x\ge 1$, die Gleichheit

$\mathrm{arcosh}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$

gilt.

Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

$1,11,21,1211,111221,312211,\mathrm{...}$

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f:I⟶ℝ$

eine konvexe Funktion, seien $x_1,\dots ,x_n\in I$ und $t_1,\dots ,t_n\in {ℝ}_{\ge 0}$ mit $\sum _{i=1}^n{t}_i=1$. Zeige die Jensensche Ungleichung

$f\left(\sum _{i=1}^n{t}_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{t}_{i}f(x_i).$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion

$f(x)=2x^4-x^3-3x^2+7x+5.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f:ℝ⟶ℝ$

eine ungerade Funktion, die nicht linear sei. Zeige, dass $f$ weder konvex noch konkav sein kann.

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼\sin (\cos z).$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

${ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼x^x.$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f:\mathbb{N}⟶\mathbb{N},$

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.34 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).

1. Ist $f$ wachsend?
2. Ist $f$ surjektiv?
3. Ist $f$ injektiv?
4. Besitzt $f$ einen Fixpunkt?

Die Weihnachtsaufgabe

Aufgabe (10 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f:\mathbb{N}⟶\mathbb{N},$

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.34 entspricht. Unter einem Zyklus von $f$ der Länge $n$ verstehen wir ein  $x\in \mathbb{N}$  derart, dass  $f^n(x)=x$  ($f^n$ bezeichnet die $n$-te Hintereinanderschaltung von $f$ mit sich selbst) und  $f^i(x)\ne x$  ist für  $i=1,2,\dots ,n-1$.  Besitzt $f$ Zyklen der Länge  $n\ge 2$? 

(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)