Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 20

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Übungsaufgaben
Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!

Aufgabe

Es seien

konvexe Funktionen. Zeige, dass die Summe ebenfalls konvex ist.


Aufgabe

Es sei

eine Funktion. Zeige, dass genau dann konvex ist, wenn konkav ist.


Aufgabe

Es seien

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass die Differenz konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.


Aufgabe

Es seien

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass das Produkt konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion auf einem Intervall . Zeige, dass genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar und mit die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von verläuft.

(Bemerkung: Eine konvexe Funktion auf einem offenen Intervall ist übrigens immer stetig.)

Aufgabe

Es sei ein Intervall und

eine zweimal differenzierbare Funktion. Zeige, dass genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung für alle gilt.


Aufgabe

Es sei ein Polynom mit ungeradem Grad . Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.


Aufgabe

Es sei eine Potenzreihe mit Konvergenzradius . Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe ebenfalls ist.


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung () von gleich

ist.


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?


Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert


Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert


Aufgabe

Es sei

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

Zeige, dass ist für alle .


Aufgabe *

Es sei eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes

zu einem Punkt .

  1. Bestimme diesen Limes für die Funktion

    mit einem .

  2. Es sei in differenzierbar. Zeige
  3. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).


Aufgabe

Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 20.9.


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 15.10  (4).


Aufgabe

Bestimme die -te Ableitung der Sinusfunktion.


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Bestimme für die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Es sei eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen .


Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für , , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

in Abhängigkeit von .


Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.


Die für durch

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.


Die für durch

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.


Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist .)


Aufgabe


Aufgabe

Beweise die Additionstheoreme für die Hyperbelfunktionen, also

a)

b)


Aufgabe

Zeige, dass der Sinus hyperbolicus auf streng wachsend ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Kosinus hyperbolicus auf streng fallend und auf streng wachsend ist.


Aufgrund dieser beiden Aufgaben gibt es Umkehrfunktionen, die man Areasinus hyperbolicus bzw. Areakosinus hyperbolicus nennt.

Aufgabe *

Zeige, dass für , , die Gleichheit

gilt.




Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine konvexe Funktion, seien und mit . Zeige die Jensensche Ungleichung


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine ungerade Funktion, die nicht linear sei. Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.34 entspricht.

  1. Ist wachsend?
  2. Ist surjektiv?
  3. Ist injektiv?
  4. Besitzt einen Fixpunkt?




Die Weihnachtsaufgabe

Aufgabe (10 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.34 entspricht. Unter einem Zykel von der Länge verstehen wir ein derart, dass ( bezeichnet die -te Hintereinanderschaltung von mit sich selbst) und ist für . Besitzt Zykel der Länge ?

(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)


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