Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 21

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

Was ist die Definitionsmenge des Tangens?


Aufgabe *

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

b)

c)


Aufgabe

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

induziert.


Aufgrund von Korollar 21.4 ist die reelle Sinusfunktion und die reelle Kosinusfunktion bijektiv auf gewissen Intervallen. Die Umkehrfunktionen heißen folgendermaßen.


Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist

und heißt Arcus-Sinus.


Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist

und heißt Arcus-Kosinus.


Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Arcus-Sinus und Arcus-Kosinus.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist und unendlich viele Nullstellen besitzt.


Aufgabe *

Wir betrachten die durch

definierte Funktion

Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

gegen konvergiert.


Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe

Zeige, dass die Folge

nicht konvergiert.


Aufgabe *

Zu einem Startwert sei eine Folge rekursiv durch

definiert. Entscheide, ob konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Untersuche die Funktionenfolge

auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. An welchen Punkten existiert die Grenzfunktion, an welchen ist sie stetig, an welchen differenzierbar? Wie verhält sich die abgeleitete Funktionenfolge, also ?


Aufgabe

Es sei . Es sei eine komplexe, auf konvergente Potenzreihe der Form

Zeige, dass für jede -te komplexe Einheitswurzel die Gleichheit für alle gilt.


Aufgabe

Es sei eine komplexe auf konvergente Potenzreihe und . Für jede -te komplexe Einheitswurzel gelte für alle . Zeige, dass für alle gilt, die kein Vielfaches von sind.


Aufgabe *

Es sei und sei eine -te komplexe Einheitswurzel. Es sei

eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit für alle gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung erfüllt.

Was bedeutet die vorstehende Aufgabe für gerade und ungerade Funktionen?

Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Es gibt eine stetige Funtion

    mit für alle .

  2. Für alle -ten Einheitswurzeln (alle ) ist für alle .
  3. Für alle mit ist für alle .


Aufgabe *

Bestimme die Intervalle, auf denen die reelle Sinusfunktion

konvex bzw. konkav ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

unendlich viele isolierte lokale Maxima und unendlich viele isolierte lokale Minima besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion

die unendlich viele Nullstellen und unendlich viele isolierte lokale Maxima besitzt, deren Funktionswert ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass es keine stetige Funktion

gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzt derart, dass zwischen je zwei Nullstellen ein lokales Maximum existiert, dessen Funktionswert ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine Folge von komplexen Zahlen, die wir in Polarkoordinaten als

mit und schreiben. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt.

  1. Die Folge konvergiert gegen .
  2. Die beiden Folgen und konvergieren (in ).
  3. Die Folge konvergiert und die Folge besitzt die Punkte und als einzige Häufungspunkte.


Aufgabe (6 Punkte)

Zu sei der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen -Eckes. Zeige .


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