Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Vorlesung 9/latex

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\setcounter{section}{9}






\zwischenueberschrift{Reihen}

Wir haben in der fünften Vorlesung gesagt, dass man eine Dezimalentwicklung, also eine \zusatzklammer {unendliche} {} {} Ziffernfolge mit Ziffern zwischen \mathkor {} {0} {und} {9} {} als eine wachsende Folge von rationalen Zahlen auffassen kann. Dabei hat die $n$-te Nachkommastelle
\mathl{a_{-n}}{} die Bedeutung, dass
\mathl{a_{-n} \cdot 10^{-n}}{} zur vorhergehenden Approximation hinzu zu addieren ist. Die Ziffernfolge gibt also direkt die Differenz der Folgenglieder an, und die Folgenglieder ergeben sich durch Aufsummieren dieser Differenzen. Diese Sichtweise führt zum Begriff der Reihe.


\inputdefinition
{}
{

Sei
\mathl{{ \left( a_k \right) }_{k \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}

Unter der \definitionswort {Reihe}{}
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{} versteht man die Folge
\mathl{{ \left( s_n \right) }_{n \in \N }}{} der \definitionswort {Partialsummen}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_n }
{ =} { \sum_{ k = 0}^n a_{ k } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Falls die Folge
\mathl{{ \left( s_n \right) }_{n \in \N }}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} so sagt man, dass die \definitionswort {Reihe konvergiert}{.} In diesem Fall schreibt man für den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} ebenfalls
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
und nennt ihn die \definitionswort {Summe}{} der Reihe.

} Alle Begriffe für Folgen übertragen sich auf Reihen, indem man eine Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{} als Folge der Partialsummen
\mathl{s_n= \sum_{ k = 0}^n a_{ k }}{} auffasst. Wie schon bei Folgen kann es sein, dass die Summation nicht bei
\mathl{k=0}{,} sondern bei einer anderen Zahl beginnt.




\inputbeispiel{}
{

Wir wollen die Reihe
\mathdisp {\sum_{k=1}^\infty { \frac{ 1 }{ k(k+1) } }} { }
berechnen, wozu wir zuerst eine Formel für die $n$-te Partialsumme angeben. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_n }
{ =} { \sum_{k = 1}^n { \frac{ 1 }{ k(k+1) } } }
{ =} {\sum_{k = 1}^n { \left( { \frac{ 1 }{ k } } - { \frac{ 1 }{ k+1 } } \right) } }
{ =} {1- { \frac{ 1 }{ n+1 } } }
{ =} { { \frac{ n }{ n+1 } } }
} {}{}{.} Diese Folge konvergiert gegen $1$, so dass die Reihe konvergiert und ihre Summe gleich $1$ ist.


}


\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Reihe/Cauchykriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
eine \definitionsverweis {Reihe}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Reihe genau dann \definitionsverweis {konvergent}{}{,} wenn das folgende \stichwort {Cauchy-Kriterium} {} erfüllt ist: Zu jedem
\mathl{\epsilon > 0}{} gibt es ein $n_0$ derart, dass für alle
\mathl{n \geq m \geq n_0}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{k = m}^n a_k } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 9.3. }


\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Reihe/Rechenregeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \text{ und } \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k }} { }
\definitionsverweis {konvergente Reihen}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} mit den Summen \mathkor {} {s} {und} {t} {.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }}{} mit
\mathl{c_n=a_n+b_n}{} ist ebenfalls konvergent mit der Summe
\mathl{s+t}{.} } {Für
\mathl{\lambda \in {\mathbb C}}{} ist auch die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty d_{ k }}{} mit
\mathl{d_n= \lambda a_n}{} konvergent mit der Summe $\lambda s$. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 9.4. }






\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Reihenkonvergenz/Nullkonvergenz der Summanden/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Reihe}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt direkt aus Lemma 9.3.

}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Oresme-Nicole.eps} }
\end{center}
\bildtext {Nikolaus von Oresme (1330-1382) bewies, dass die harmonische Reihe divergiert.} }

\bildlizenz { Oresme-Nicole.jpg } {} {Leinad-Z} {Commons} {PD} {}

Es ist also eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden. Diese Bedingung ist nicht hinreichend, wie die \stichwort {harmonische Reihe} {} zeigt.


\inputbeispiel{}
{

Die \definitionswort {harmonische Reihe}{} ist die Reihe
\mathdisp {\sum^\infty_{k = 1} { \frac{ 1 }{ k } }} { . }
Es geht also um die \anfuehrung{unendliche Summe}{} der Stammbrüche
\mathdisp {1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 4 } } + { \frac{ 1 }{ 5 } } + { \frac{ 1 }{ 6 } } + { \frac{ 1 }{ 7 } } + { \frac{ 1 }{ 8 } } + \ldots} { . }
Diese Reihe divergiert: Für die $2^{n}$ Zahlen
\mathl{k=2^n +1 , \ldots , 2^{n+1}}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 2^n+1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{k} }
{ \geq} { \sum_{k = 2^n+1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{2^{n+1} } }
{ =} { 2^n \frac{1}{2^{n+1} } }
{ =} { \frac{1}{2} }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{k} }
{ =} {1+ \sum_{i = 0}^n \left( \sum_{k = 2^{i} +1 }^{ 2^{i+1} } \frac{1}{k} \right)}
{ } { }
{ \geq} {1 + (n+1) \frac{1}{2} }
{ } { }
} {}{}{.} Damit ist die Folge der Partialsummen \definitionsverweis {unbeschränkt}{}{} und kann nach Lemma 5.9 nicht \definitionsverweis {konvergent}{}{} sein.


}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Harmonischebrueckerp.eps} }
\end{center}
\bildtext {Aus der Divergenz der harmonischen Reihe folgt, dass man einen beliebig weiten Überhang mit gleichförmigen Bauklötzen bauen kann.} }

\bildlizenz { Harmonischebrueckerp.jpg } {} {Anton} {de Wikipedia} {CC-by-sa 2.5} {}


Die folgende Aussage heißt \stichwort {Leibnizkriterium für alternierende Reihen} {.}





\inputfaktbeweis
{Reihen/Reelle Zahlen/Leibnizkriterium/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mathl{{ \left( x_k \right) }_{k \in \N }}{} eine fallende \definitionsverweis {Nullfolge}{}{} von nichtnegativen \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann \definitionsverweis {konvergiert}{}{} die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathl{\sum_{ k= 0}^\infty (-1)^k x_k}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_n }
{ =} { \sum_{ k = 0}^n (-1)^{k} x_k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir betrachten die Teilfolge mit geradem Index. Für jedes $n$ gilt wegen
\mathl{x_{2n+2} \leq x_{2n +1}}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s_{2(n+1)} }
{ =} { s_{2n} - x_{2n+1} + x_{2n+2} }
{ \leq} {s_{2n} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} d.h. diese Teilfolge ist fallend. Ebenso ist die Folge der ungeraden Teilsummen wachsend. Es gelten die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_0 }
{ \geq} {s_{2n} }
{ \geq} {s_{2n-1} }
{ \geq} {s_1 }
{ } { }
} {}{}{.} Daher sind die beiden Teilfolgen fallend und \definitionsverweis {nach unten beschränkt}{}{} bzw. wachsend und \definitionsverweis {nach oben beschränkt}{}{,} und daher wegen Korollar 7.1 \definitionsverweis {konvergent}{}{.} Wegen
\mathl{s_{2n}-s_{2n-1} = x_{2n}}{} und
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = 0}{} stimmen die Grenzwerte überein.

}







\zwischenueberschrift{Absolute Konvergenz}




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} heißt \definitionswort {absolut konvergent}{,} wenn die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty \betrag { a_k }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}





\inputfaktbeweis
{Reihen/Absolute Konvergenz und Konvergenz/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Eine \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Reihe}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}}
\faktfolgerung {\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mathl{\epsilon>0}{} vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium an. Aufgrund der \definitionsverweis {absoluten Konvergenz}{}{} gibt es ein $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{m }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{k = m}^n \betrag { a_k } \, } }
{ =} { \sum_{k = m}^n \betrag { a_k } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{k = m}^n a_k } }
{ \leq} { \betrag { \sum_{k = m}^n \betrag { a_k } \, } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} was die \definitionsverweis {Konvergenz}{}{} bedeutet.

}





\inputbeispiel{}
{

Eine konvergente Reihe muss nicht \definitionsverweis {absolut konvergieren}{}{,} d.h. Satz 9.9 lässt sich nicht umkehren. Aufgrund des Leibnizkriteriums konvergiert die \stichwort {alternierende harmonische Reihe} {}
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty \frac{ (-1)^{n+1} }{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \ldots} { , }
und zwar ist ihr Grenzwert $\operatorname{ln} \,2$, was wir hier aber nicht beweisen. Die zugehörige absolute Reihe ist aber die harmonische Reihe, die nach Beispiel 9.6 divergiert.


}

Die folgende Aussage heißt das \stichwort {Majorantenkriterium} {.}





\inputfaktbeweis
{Reihen/Majorantenkriterium/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Sei
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty b_{ k }}{} eine \definitionsverweis {konvergente Reihe}{}{} von \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} und
\mathl{{ \left( a_k \right) }_{k \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} \definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{} mit
\mathl{\betrag { a_k } \leq b_k}{} für alle $k$.}
\faktfolgerung {Dann ist die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Das folgt direkt aus dem Cauchy-Kriterium.

}





\inputbeispiel{}
{

Wir wollen bestimmen, ob die Reihe
\mathdisp {\sum_{k=1}^\infty { \frac{ 1 }{ k^2 } }} { }
konvergiert oder nicht. Dazu ziehen wir das Majorantenkriterium und Beispiel 9.2 heran, wo wir die Konvergenz von
\mathl{\sum_{k = 1}^n { \frac{ 1 }{ k(k+1) } }}{} gezeigt haben. Für
\mathl{k \geq 2}{} ist
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ k^2 } } \leq { \frac{ 1 }{ k(k-1) } }} { . }
Daher konvergiert
\mathl{\sum_{k=2}^\infty { \frac{ 1 }{ k^2 } }}{} und somit auch
\mathl{\sum_{k=1}^\infty { \frac{ 1 }{ k^2 } }}{.} Über den Wert der Summe ist damit noch nichts gesagt. Mit deutlich aufwändigeren Methoden kann man zeigen, dass diese Summe gleich
\mathl{{ \frac{ \pi^2 }{ 6 } }}{} ist.


}






\zwischenueberschrift{Die geometrische Reihe und das Quotientenkriterium}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Geometric_series_14_square.eps} }
\end{center}
\bildtext {Dieses Bild veranschaulicht das Verhalten der geometrischen Reihe zu $x= \frac{1}{4}$. Die Grundseite des Quadrates sei $2$, dann passt die geometrische Reihe dreimal in dieses Quadrat rein. Der jeweilige Flächeninhalt der drei Reihen ist $\frac{4}{3}$.} }

\bildlizenz { Geometric series 14 square.svg } {} {Melchoir} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}


Die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty z^k}{} heißt \stichwort {geometrische Reihe} {} zu
\mathl{z \in {\mathbb C}}{,} es geht also um die Summe
\mathdisp {1+z+z^2+z^3+ \ldots} { . }
Die Konvergenz hängt wesentlich vom Betrag von $z$ ab.





\inputfaktbeweis
{Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt}
{Satz}
{}
{

Für alle \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} $z$ mit
\mathl{{{|z|}} < 1}{} konvergiert die Reihe
\mathl{\sum^\infty_{k = 0} z^k}{} \definitionsverweis {absolut}{}{} und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum^\infty_{k = 0} z^k }
{ =} { \frac{1}{1 - z} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Für jedes $z$ gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (z-1) { \left( \sum_{ k = 0}^n z^k \right) } }
{ =} { z^{n+1} -1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und daher gilt für die \definitionsverweis {Partialsummen}{}{} die Beziehung \zusatzklammer {bei $z \neq 1$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s_n }
{ =} { \sum_{ k = 0}^n z^k }
{ =} { \frac{ z^{n+1} -1}{ z-1 } }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Für
\mathl{n \rightarrow \infty}{} und
\mathl{\betrag { z } < 1}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{} dies gegen
\mathl{\frac{-1}{z-1}= \frac{1}{1-z}}{.}

}


Die folgende Aussage heißt \stichwort {Quotientenkriterium} {.}





\inputfaktbeweis
{Komplexe Reihe/Quotientenkriterium/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
eine \definitionsverweis {Reihe}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es gebe eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} $q$ mit
\mathl{0 \leq q < 1}{} und ein $k_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \frac{a_{k+1} }{a_k} } }
{ \leq} { q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{k \geq k_0}{} \zusatzklammer {Insbesondere sei \mathlk{a_k \neq 0}{} für \mathlk{k \geq k_0}{}} {} {.}}
\faktfolgerung {Dann konvergiert die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{} \definitionsverweis {absolut}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Konvergenz\zusatzfussnote {Wohl aber die Summe} {.} {} ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir
\mathl{k_0=0}{} annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle $a_k$ \definitionsverweis {nichtnegative}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{} sind. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_k }
{ =} { \frac{a_k}{a_{k-1} } \cdot \frac{a_{k-1} }{a_{k-2} } { \cdots } \frac{a_1}{a_{0} } \cdot a_0 }
{ \leq} {a_0 q^k }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der \definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{.}

}





\inputbeispiel{}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {KochFlake.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { KochFlake.svg } {} {Wxs} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Unter den \stichwort {Kochschen Schneeflocken} {} versteht man die Folge $K_n$ der folgendermaßen rekursiv definierten ebenen Figuren: Die Ausgangsfigur $K_0$ ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Figur
\mathl{K_{n+1}}{} entsteht aus $K_n$, indem man in jeder Begrenzungskante von $K_n$ das mittlere Drittel durch die beiden Schenkel eines darauf aufgesetzten nach außen gerichteten gleichmäßigen Dreiecks ersetzt.

Es sei $A_n$ der Flächeninhalt und $L_n$ die Länge des Randes der $n$-ten Kochschen Schneeflocke. Wir wollen zeigen, dass die Folge $A_n$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und die Folge $L_n$ bestimmt gegen $\infty$ \definitionsverweis {divergiert}{}{.}

Die Anzahl der Kanten von $K_n$ ist
\mathl{3 \cdot 4^n}{,} da bei jedem Unterteilungsschritt eine Kante durch vier Kanten ersetzt wird, deren Länge
\mathl{1/3}{} der Länge der Vorgängerkante ist. Es sei $r$ die Seitenlänge des gleichseitigen Ausgangsdreiecks. Dann besteht $K_n$ aus
\mathl{3 \cdot 4^n}{} Kanten der Länge
\mathl{r \left({ \frac{ 1 }{ 3 } } \right)^n}{} und die Gesamtlänge der Kanten von $K_n$ ist gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L_n }
{ =} {3 \cdot 4^n r \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } \right)^n }
{ =} {3 r \left( { \frac{ 4 }{ 3 } } \right)^n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mathl{\left( { \frac{ 4 }{ 3 } } \right) > 1}{} divergiert dies gegen $\infty$.

Beim Übergang von $K_{n}$ nach
\mathl{K_{n+1}}{} kommt für jede Kante ein neues Dreieck mit gedrittelter Seitenlänge hinzu. Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge $s$ ist
\mathl{{ \frac{ \sqrt{3} }{ 4 } } s^2}{} (Grundseite mal Höhe durch $2$). Im Schritt von
\mathl{K_{n}}{} nach
\mathl{K_{n+1}}{} kommen somit
\mathl{3 \cdot 4^{n}}{} Dreiecke mit dem Flächeninhalt
\mathl{{ \frac{ \sqrt{3} }{ 4 } } \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } \right)^{2(n+1)} r^2 = { \frac{ \sqrt{3} }{ 4 } } r^2 \left( { \frac{ 1 }{ 9 } } \right)^{n+1}}{} hinzu. Daher ist der Gesamtflächeninhalt von $K_n$ gleich
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ }
{ \,} { { \frac{ \sqrt{3} }{ 4 } } r^2 \left( 1 + 3 { \frac{ 1 }{ 9 } } + 12 \left({ \frac{ 1 }{ 9 } }\right)^2 + 48 \left({ \frac{ 1 }{ 9 } }\right)^3 + \cdots + 3\cdot 4^{n-1} \left({ \frac{ 1 }{ 9 } }\right)^{n} \right) }
{ =} {{ \frac{ \sqrt{3} }{ 4 } } r^2 \left( 1 + { \frac{ 3 }{ 4 } } \left ({ \frac{ 4 }{ 9 } } \right)^1 + { \frac{ 3 }{ 4 } } \left({ \frac{ 4 }{ 9 } }\right)^2 + { \frac{ 3 }{ 4 } } \left({ \frac{ 4 }{ 9 } }\right)^3 + \cdots + { \frac{ 3 }{ 4 } } \left({ \frac{ 4 }{ 9 } }\right)^{n} \right) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn wir hinten die erste $1$ und den Faktor
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 4 } }}{} ignorieren, was die Konvergenzeigenschaft nicht ändert, so steht in der Klammer die Partialsumme einer geometrischen Reihe zu ${ \frac{ 4 }{ 9 } }$, welche konvergiert.


}