Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 41/latex
\setcounter{section}{41}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die
\definitionsverweis {Differentialgleichung zweiter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime}
}
{ =} { y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Löse damit das Anfangswertproblem
\mathdisp {y^{\prime \prime} = y \text{ mit } y(0)=3 \text{ und } y^\prime (0) = -2} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'=y} { }
mit der Anfangsbedingung $y(0)=1$. Bestimme zur Schrittweite
\mathl{s= { \frac{ 1 }{ k } }}{} die approximierenden Punkte $P_n$
gemäß dem Polygonzugverfahren.
Bestimme insbesondere $P_k$. Was passiert mit $P_k$ für
\mathl{k \rightarrow \infty}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen des
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} \sin t & 0 \\ 0 & { \frac{ 1 }{ t } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\sin t \\t^5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen des
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} t & 1-t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen des
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & t \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen des
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & t \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen
\zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{t
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
des
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & t^3-t \\ 0 & { \frac{ 1 }{ t } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen des
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & t^2-t+5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und seien
\maabbdisp {f_{11},f_{12},f_{21},f_{22}} {I} { \R
} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_{11}(t)f_{22}(t)- f_{21}(t)f_{12}(t)
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten das
\definitionsverweis {lineare Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ f'_{11} f_{22} -f'_{12} f_{21} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } & { \frac{ -f'_{11} f_{12} + f'_{12} f_{11} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } \\ { \frac{ f'_{21} f_{22} - f'_{22} f_{21} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } & { \frac{ -f_{12} f'_{21} + f'_{22} f_{11} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass sowohl
\mathl{\begin{pmatrix} f_{11} \\f_{21} \end{pmatrix}}{} als auch
\mathl{\begin{pmatrix} f_{12} \\f_{22} \end{pmatrix}}{} Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem}{}{}
auf
\mathl{I \times \R^n}{}
\zusatzklammer {$I$ ein reelles Intervall} {} {}
mit einer Funktionenmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M(t)
}
{ =} {(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein
\definitionsverweis {Zentralfeld}{}{}
sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M(t)
}
{ =} { \varphi(t) \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer geeigneten Funktion
\maabbdisp {\varphi} {I} {\R
} {}
besitzt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
a) Schreibe ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus
Beispiel 41.3
zu einem Startzeitpunkt $t_0$, einem Startpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer vorgegebenen Schrittweite
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die approximierenden Punkte
\mathl{P_n}{} berechnet.
b) Berechne mit diesem Programm die Punkte $P_n$ für
\aufzaehlungacht{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 0,1,2,3,4,5, 10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 100 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 100
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1000
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1,001 \\0,999 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1000
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1,01 \\0,99 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{1000
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1,1 \\0,9 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1000
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ -3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} -2 \\5 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 100
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1000
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{\zusatzklammer {Abzugeben ist lediglich Teil b), und zwar in einer leserfreundlichen Form.} {} {}} {}
\inputaufgabe
{5 (1+2+2)}
{
a) Übersetze das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem zweiter Ordnung}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} =- y \text{ mit } y(0)=0 \text{ und } y'(0) = 1} { }
in ein
\definitionsverweis {Differentialgleichungssystem erster Ordnung}{}{.}
b) Bestimme
mit dem Polygonzugverfahren
zur Schrittweite
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Näherungspunkte
\mathl{P_0,P_1,P_2,P_3,P_4}{} für dieses System.
c) Berechne den Wert des zugehörigen Streckenzuges an der Stelle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ \pi/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme alle Lösungen des
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} -2 & -t^2-3t+4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{8 (2+2+4)}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {lineare Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} \cos t & - \sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Erstelle eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z(t)
}
{ = }{ x^2(t)+y^2(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einer Lösung
\mathl{(x,y)}{} erfüllen muss.
}{Finde eine Lösung für $z(t)$ aus Teil (1).
}{Finde eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Finde eine nichttriviale Lösung
\zusatzklammer {für \mathlk{t>1}{}} {} {}
zum
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 4t^4 -1 }{ t^5-t } } & { \frac{ -3t }{ t^4 - 1 } } \\ { \frac{ -t }{ t^4 - 1 } } & { \frac{ 3t^4-2 }{ t^5-t } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe von
Aufgabe 41.9.
}
{} {}
Die für
\mathbed {t \in \R} {}
{-1 < t< 1} {}
{} {} {} {,} und ein
\mathl{n\in \N}{} definierte
\definitionsverweis {lineare Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} - \frac{2t}{1-t^2}y'+ \frac{n(n+1)}{1-t^2} y =0} { }
heißt \definitionswort {Legendresche Differentialgleichung}{} zum Parameter $n$.
\inputaufgabe
{5}
{
Zeige, dass das $n$-te \stichwort {Legendre-Polynom} {\zusatzfussnote {Hier bedeutet das hochgestellte \mathlk{(n)}{} die $n$-te Ableitung} {.} {}}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2^n (n!) } } ((t^2-1)^n)^{(n)}} { }
eine Lösung der
\definitionsverweis {Legendreschen Differentialgleichung}{}{}
zum Parameter $n$ ist.
}
{} {}
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