Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 41/latex

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\setcounter{section}{41}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die \definitionsverweis {Differentialgleichung zweiter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime} }
{ =} { y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Löse damit das Anfangswertproblem
\mathdisp {y^{\prime \prime} = y \text{ mit } y(0)=3 \text{ und } y^\prime (0) = -2} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'=y} { }
mit der Anfangsbedingung $y(0)=1$. Bestimme zur Schrittweite
\mathl{s= { \frac{ 1 }{ k } }}{} die approximierenden Punkte $P_n$ gemäß dem Polygonzugverfahren. Bestimme insbesondere $P_k$. Was passiert mit $P_k$ für
\mathl{k \rightarrow \infty}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} \sin t & 0 \\ 0 & { \frac{ 1 }{ t } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\sin t \\t^5 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} t & 1-t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 2 & t \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 3 & t \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen \zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{t }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & t^3-t \\ 0 & { \frac{ 1 }{ t } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 3 & t^2-t+5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{I \subseteq \R}{} ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und seien \maabbdisp {f_{11},f_{12},f_{21},f_{22}} {I} { \R } {} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_{11}(t)f_{22}(t)- f_{21}(t)f_{12}(t) }
{ \neq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{t \in I}{.} Wir betrachten das \definitionsverweis {lineare Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ f'_{11} f_{22} -f'_{12} f_{21} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } & { \frac{ -f'_{11} f_{12} + f'_{12} f_{11} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } \\ { \frac{ f'_{21} f_{22} - f'_{22} f_{21} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } & { \frac{ -f_{12} f'_{21} + f'_{22} f_{11} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass sowohl
\mathl{\begin{pmatrix} f_{11} \\f_{21} \end{pmatrix}}{} als auch
\mathl{\begin{pmatrix} f_{12} \\f_{22} \end{pmatrix}}{} Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v' }
{ =} {Mv }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem}{}{} auf
\mathl{I \times \R^n}{} \zusatzklammer {$I$ ein reelles Intervall} {} {} mit einer Funktionenmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M(t) }
{ =} {(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein \definitionsverweis {Zentralfeld}{}{} sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M(t) }
{ =} { \varphi(t) \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer geeigneten Funktion \maabbdisp {\varphi} {I} {\R } {} besitzt.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

a) Schreibe ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus Beispiel 41.3 zu einem Startzeitpunkt $t_0$, einem Startpunkt
\mathl{P_0= \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}}{} und einer vorgegebenen Schrittweite
\mathl{s >0}{} die approximierenden Punkte
\mathl{P_n}{} berechnet.

b) Berechne mit diesem Programm die Punkte $P_n$ für \aufzaehlungacht{$t_0=0$, $P_0=\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}$, $s= { \frac{ 1 }{ 10 } }$,
\mathl{n=0,1,2,3,4,5, 10}{.} }{$t_0=0$, $P_0=\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}$, $s= { \frac{ 1 }{ 100 } }$,
\mathl{n=100}{.} }{$t_0=0$, $P_0=\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}$, $s= { \frac{ 1 }{ 1000 } }$,
\mathl{n=1000}{.} }{$t_0=0$, $P_0=\begin{pmatrix} 1,001 \\0,999 \end{pmatrix}$, $s= { \frac{ 1 }{ 1000 } }$,
\mathl{n=1000}{.} }{$t_0=0$, $P_0=\begin{pmatrix} 1,01 \\0,99 \end{pmatrix}$, $s= { \frac{ 1 }{ 1000 } }$,
\mathl{n=1000}{.} }{$t_0=0$, $P_0=\begin{pmatrix} 1,1 \\0,9 \end{pmatrix}$, $s= { \frac{ 1 }{ 1000 } }$,
\mathl{n=1000}{.} }{$t_0=-3$, $P_0=\begin{pmatrix} -2 \\5 \end{pmatrix}$, $s= { \frac{ 1 }{ 10 } }$,
\mathl{n=100}{.} }{$t_0=0$, $P_0=\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}$, $s= { \frac{ 1 }{ 1000 } }$,
\mathl{n=1000}{.} }

}
{\zusatzklammer {Abzugeben ist lediglich Teil b), und zwar in einer leserfreundlichen Form.} {} {}} {}




\inputaufgabe
{5 (1+2+2)}
{

a) Übersetze das \definitionsverweis {Anfangswertproblem zweiter Ordnung}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} =- y \text{ mit } y(0)=0 \text{ und } y'(0) = 1} { }
in ein \definitionsverweis {Differentialgleichungssystem erster Ordnung}{}{.}

b) Bestimme mit dem Polygonzugverfahren zur Schrittweite
\mathl{s= { \frac{ 1 }{ 2 } }}{} die Näherungspunkte
\mathl{P_0,P_1,P_2,P_3,P_4}{} für dieses System.

c) Berechne den Wert des zugehörigen Streckenzuges an der Stelle $t = \pi/2$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} -2 & -t^2-3t+4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{8 (2+6)}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {lineare Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} \cos t & - \sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Erstelle eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z(t) }
{ = }{ x^2(t)+y^2(t) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu einer Lösung
\mathl{(x,y)}{} erfüllen muss.

b) Finde eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Finde eine nichttriviale Lösung \zusatzklammer {für \mathlk{t>1}{}} {} {} zum \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 4t^4 -1 }{ t^5-t } } & { \frac{ -3t }{ t^4 - 1 } } \\ { \frac{ -t }{ t^4 - 1 } } & { \frac{ 3t^4-2 }{ t^5-t } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe von Aufgabe 41.11.

}
{} {}


Die für
\mathbed {t \in \R} {}
{-1 < t< 1} {}
{} {} {} {,} und ein
\mathl{n\in \N}{} definierte \definitionsverweis {lineare Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} - \frac{2t}{1-t^2}y'+ \frac{n(n+1)}{1-t^2} y =0} { }
heißt \definitionswort {Legendresche Differentialgleichung}{} zum Parameter $n$.





\inputaufgabe
{5}
{

Zeige, dass das $n$-te \stichwort {Legendre-Polynom} {\zusatzfussnote {Hier bedeutet das hochgestellte \mathlk{(n)}{} die $n$-te Ableitung} {.} {}}
\mathdisp {\frac{1}{2^n (n!)} ((t^2-1)^n)^{(n)}} { }
eine Lösung der \definitionsverweis {Legendreschen Differentialgleichung}{}{} zum Parameter $n$ ist.

}
{} {}



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