Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 53/latex

\setcounter{section}{53}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R } {x} {x^3-x^2-2x+2 } {.} Für welche Punkte
\mathl{P\in \R}{} ist $\varphi$ \definitionsverweis {regulär}{}{?} Was besagt der Satz über implizite Abbildungen in dieser Situation? Wie sieht lokal die Faser in einem regulären Punkt aus? Kann es leere Fasern geben? Bestimme die \definitionsverweis {Faser}{}{} über $0$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} zwei \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{,} deren \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} \mathkor {} {f'} {und} {g'} {} stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x)+g(y) } {,} \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} und in jedem Punkt \definitionsverweis {regulär}{}{} ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der \definitionsverweis {Fasern}{}{} von $\varphi$ als \definitionsverweis {Graph}{}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die \definitionsverweis {Fasern}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy } {.} Man gebe, falls dies möglich ist, \definitionsverweis {Diffeomorphismen}{}{} zwischen $\R$ und den Fasern von $\varphi$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe den \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} an die \definitionsverweis {Faser}{}{} in jedem \definitionsverweis {regulären Punkt}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die \definitionsverweis {Fasern}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+y^2 } {.} Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen \definitionsverweis {offenen Intervallen}{}{} $I \subseteq \R$ und \zusatzklammer {möglichst großen} {} {} \definitionsverweis {offenen Teilmengen}{}{} der Fasern von $\varphi$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe den \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} an die \definitionsverweis {Faser}{}{} in jedem \definitionsverweis {regulären Punkt}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+y^2 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für die folgenden Kurven \maabbdisp {\gamma} {\R} {\R^2 } {} Abbildungen \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R } {} derart, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $\gamma$ genau die \definitionsverweis {Faser}{}{} von $\varphi$ über $0$ ist. \aufzaehlungdrei{
\mathl{\gamma(t) =(t,t^3)}{.} }{
\mathl{\gamma(t) =(t^3,t^3+1)}{.} }{
\mathl{\gamma(t) =( \cos t , \sin t )}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine Funktion.

a) Realisiere den \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $f$ als \definitionsverweis {Faser}{}{} zu einer Abbildung \maabbdisp {} {\R^2} {\R } {} über $0$.

b) Es sei $f$ stetig differenzierbar. Zeige, dass die Punkte auf dem Graphen von $f$ \definitionsverweis {regulär}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x^2+y^2+z^2 } {.} Man fertige eine Skizze an, die die \definitionsverweis {Fasern}{}{,} die \definitionsverweis {Tangentialräume}{}{} und lokale \definitionsverweis {Diffeomorphismen}{}{} zwischen Tangentialraum und Faser sichtbar macht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R} {\R } {(x,y)} {x^y } {.} Man fertige Skizzen für den (1) \definitionsverweis {Graph}{}{} und (2) die \definitionsverweis {Fasern}{}{} und die \definitionsverweis {Tangentialräume}{}{} dieser Abbildung an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^m } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} und
\mathl{F \subseteq \R^n}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} über
\mathl{P \in \R^m}{.} Zeige, dass es auch eine stetige Abbildung \maabbdisp {\psi} {\R^n} {\R } {} derart gibt, dass $F$ die Faser von $\psi$ über einem Punkt $a \in \R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} und
\mathl{U \subseteq V}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} in einen weiteren reellen endlichdimensionalen Vektorraum $W$ derart gibt, dass $U$ die \definitionsverweis {Faser}{}{} über
\mathl{0 \in W}{} ist und dass $\varphi$ in jedem Punkt
\mathl{v \in V}{} \definitionsverweis {regulär}{}{} ist.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Soccer_field_-_empty.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Soccer field - empty.svg } {} {Nuno Tavares} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

Ein Fußballfeld soll in einen Park mit Erhebungen und mit Senken umgewandelt werden. Dabei sollen die Linien unverändert bleiben und alle anderen Punkte sollen ihre Höhe ändern. Ist dabei jede Vorgabe, welche umrandeten Gebiete erhöht oder gesenkt werden sollen, möglich? Ist jedes solche Vorhaben durch eine stetige oder eine differenzierbare Höhenfunktion durchführbar? Können im differenzierbaren Fall alle Punkte \definitionsverweis {regulär}{}{} sein?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{G \subseteq \R^n}{} offen und \maabbdisp {\varphi} {G} {\R^m } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{,} die im Punkt
\mathl{P\in G}{} ein surjektives \definitionsverweis {totales Differential}{}{} besitze. Es sei \maabbdisp {\psi} {U} {\R^n } {} \zusatzklammer {mit
\mathl{U \subseteq \R^{n-m}}{} offen} {} {} ein lokaler \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} auf die Faser durch $P$, bei dem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf $P$ abgebildet wird. Zeige, dass man den \definitionsverweis {Tangentialraum an die Faser}{}{} durch $P$ auch als
\mathdisp {{ \left\{ P+ { \left( D\psi \right) }_{Q} { \left( u \right) } \mid u \in \R^{n-m} \right\} }} { }
beschreiben kann.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe knüpft an Aufgabe 34.25 an.


\inputaufgabe
{}
{

Im Nullpunkt $0 \in \R^3$ befinde sich die Pupille eines Auges \zusatzklammer {oder eine Linse} {} {} und die durch $x=-1$ bestimmte Ebene sei die Netzhaut $N \cong \R^2$ \zusatzklammer {oder eine Fotoplatte} {} {.} Bestimme die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {\R_+ \times \R \times \R} { \R^2 } {,} die das Sehen \zusatzklammer {oder Fotografieren} {} {} beschreibt \zusatzklammer {d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet} {} {.} Ist diese Abbildung \definitionsverweis {differenzierbar}{}{?} Für welche Punkte ist diese Abbildung \definitionsverweis {regulär}{}{,} wie sehen die \definitionsverweis {Fasern}{}{} aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R } {(t,x,y)} {-t^2+x^2 +y^2 } {.} Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} und die Fasern dieser Abbildung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} {(xy,yz) } {.} Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{,} die Fasern, das \definitionsverweis {Bild}{}{} und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe den \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} an die \definitionsverweis {Faser}{}{} in jedem \definitionsverweis {regulären Punkt}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x^2+y^2+z^2 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { \R ^3 } {\R^2 } {(x,y,z)} {\left( x^2+y^2+z^2 , \, 2x+3y+4z \right) } {.}

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung $\varphi$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(1,-2,1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} regulär ist.

b) Beschreibe für den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(1,-2,1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den \definitionsverweis {Tangentialraum an die Faser}{}{} $F$ von $\varphi$ durch $P$.

c) Man gebe für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ (1,-2,1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von $P$ in der Faser $F$ durch $P$ an.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2 \cdot \sin y - y \cdot \cos (xy) } {.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Faser}{}{} durch den Punkt
\mathl{P=(2,3)}{} sich lokal durch eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbeledisp {\gamma} {I} {\R^2 } {t} { \gamma(t) } {,} mit
\mathl{\gamma(0)=P}{} parametrisieren lässt, und bestimme die möglichen Werte der \definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mathl{\gamma'(0)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} an die Faser im Punkt
\mathl{(2,-1,3)}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} {\left( x^2e^z-y^3 , \, { \frac{ x }{ e^{yz} } } \right) } {,} und zwar sowohl durch lineare Gleichungen als auch durch eine parametrisierte Gerade.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x^2+y^2+z^2 } {,} im Punkt $P=(1,-1,2)$. Man gebe eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {U} {\R^3 } {} an, wobei $U$ eine möglichst große \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} des \definitionsverweis {Tangentialraumes}{}{}
\mathl{T_PF}{} an die Faser $F_P$ von $\varphi$ durch $P$ ist, die eine Bijektion zwischen $U$ und
\mathl{V \cap F_P}{} stiftet \zusatzklammer {\mathlk{P \in V \subseteq \R^3}{} offen} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien \maabbdisp {\varphi_1, \varphi_2} {\R^n} {\R } {} \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{} und seien \mathkor {} {F_1} {und} {F_2} {} \definitionsverweis {Fasern}{}{} dieser Abbildungen, d.h. es sei
\mathl{F_1= \varphi_1^{-1}(b_1)}{} und
\mathl{F_2= \varphi_2^{-1}(b_2)}{} \zusatzklammer {für gewisse
\mathl{b_1,b_2 \in \R}{}} {} {.} Zeige, dass es eine stetige Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R } {} und ein
\mathl{a \in \R}{} derart gibt, dass $F_1 \cup F_2 = \varphi^{-1} (a)$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe explizit eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R_{\geq 0} } {} derart, dass die \definitionsverweis {Faser}{}{} von $\varphi$ über $0$ gleich
\mathl{I= { \left\{ (x,0) \mid x \in [0,1] \right\} }}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Fasern}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2-y^3 } {,} in jedem Punkt
\mathl{P=(x,y)}{} lokal \definitionsverweis {homöomorph}{}{} zu einem \definitionsverweis {offenen reellen Intervall}{}{} sind. D.h. dass es zu jedem Punkt
\mathl{P=(x,y)}{} eine \definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mathl{(x,y) \in U}{,} ein offenes Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{} und eine \definitionsverweis {stetige Bijektion}{}{} \maabbdisp {} {I} {U \cap F_P } {,} gibt \zusatzklammer {wobei
\mathl{F_P}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} von $\varphi$ durch $P$ bezeichnet} {} {,} deren \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} ebenfalls stetig ist.

}
{} {}