Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 52

Übungsaufgaben

Mit diffeomorph ist im Folgenden stets ${}C^{1}$-diffeomorph gemeint.

Aufgabe

Definiere explizit einen Diffeomorphismus zwischen ${}\mathbb {R} ^{n}$ und einer offenen Kugel ${}U{\left(0,r\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe

Zeige, dass eine offene Kreisscheibe ${}U{\left(P,r\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ($r>0$) und ein offenes Rechteck ${}]a,b[\times ]c,d[$ ($b>a,d>c$) diffeomorph sind.

Aufgabe

Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Identität ist ein Diffeomorphismus.
2. Eine lineare bijektive Abbildung ist ein Diffeomorphismus.
3. Die Umkehrabbildung eines Diffeomorphismus ist wieder ein Diffeomorphismus.
4. Die Hintereinanderschaltung von Diffeomorphismen ist ein Diffeomorphismus.

Aufgabe

Es seien ${}U_{1}\subseteq V_{1}$, ${}U_{2}\subseteq V_{2}$, ${}U_{3}\subseteq V_{3}$, und ${}U_{4}\subseteq V_{4}$ offene Teilmengen in reellen endlichdimensionalen Vektorräumen. Es seien

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{3}$

und

$\psi \colon U_{2}\longrightarrow U_{4}$

${}C^{1}$- Diffeomorphismen. Zeige, dass auch die Produktabbildung

$\varphi \times \psi \colon U_{1}\times U_{3}\longrightarrow U_{2}\times U_{4}$

ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei

${}U_{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x>y\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$

und

${}U_{2}={\left\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\mid u^{2}>4v\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,.$

a) Skizziere ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$.

b) Zeige, dass ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ offen sind.

c) Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy),$

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}y,x-\sin y).$

Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}P=(1,0)$ regulär ist und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung von ${}\varphi |_{U}$ in ${}\varphi (P)$, wobei ${}U$ eine offene Umgebung von ${}P$ sei (die nicht explizit angegeben werden muss).

Aufgabe *

Man gebe für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

$\varphi _{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.

Aufgabe

Es seien ${}U,V,W$ euklidische Vektorräume und seien ${}\varphi :U\longrightarrow V$ und ${}\psi :V\longrightarrow W$ differenzierbare Abbildungen. Es sei ${}\varphi$ regulär in ${}P\in U$ und ${}\psi$ regulär in ${}Q=\varphi (P)\in V$. Ist dann ${}\psi \circ \varphi$ regulär in ${}P$? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?

Aufgabe

Das komplexe Quadrieren

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

kann man reell als

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x+{\mathrm {i} }y=(x,y)\longmapsto (x+{\mathrm {i} }y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2{\mathrm {i} }xy=(x^{2}-y^{2},2xy),$

schreiben. Untersuche ${}\varphi$ auf reguläre Punkte. Auf welchen (möglichst großen) offenen Teilmengen ist ${}\varphi$ umkehrbar?

Aufgabe

Finde möglichst große offene Teilmengen ${}G\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ und ${}H\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3},$

einen Diffeomorphismus von ${}G$ nach ${}H$ induziert.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {y^{2}}{x}},\,{\frac {y^{3}}{x^{2}}}\right).$

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung ${}\varphi$.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}P=(1,2)$ lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung ${}\psi =\varphi ^{-1}$ besitzt, und bestimme das totale Differential von ${}\psi$ im Punkt ${}\varphi (P)$.

c) Man gebe alle Punkte ${}Q\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R}$ an, in denen ${}\varphi$ nicht lokal invertierbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Transformation

$[0,2\pi ]\times [0,1]\longrightarrow B\left(0,1\right),\,(\alpha ,w)\longmapsto ({\sqrt {w}}\cos \alpha ,{\sqrt {w}}\sin \alpha ),$

auf geeigneten offenen Teilmengen ein Diffeomorphismus ist und berechne die Jacobi-Determinante in jedem Punkt.

Aufgabe

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ und ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ Punkte in der Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$. Zeige, dass die beiden offenen Mengen ${}U=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$ und ${}V=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{Q_{1},\ldots ,Q_{n}\}$ zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe

Es sei

${}T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\,,$

${}U=\mathbb {R} \setminus T\,$

und

${}V=\mathbb {R} \setminus \mathbb {N} \,.$

Zeige, dass ${}U$ und ${}V$ zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe

Es sei

${}T={\left\{\left({\frac {1}{n}},0\right)\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{(0,0)\}\,,$

${}U=\mathbb {R} ^{2}\setminus T\,$

und

${}V=\mathbb {R} ^{2}\setminus \mathbb {N} \,.$

Zeige, dass ${}U$ und ${}V$ zueinander nicht homöomorph sind.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,(a,b,c,d,u,v)\longmapsto (au+bv+c+d,ad-bc,ac-b^{2},bd-c^{2}).$

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}(1,1,0,0,1,1)$ regulär ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$F\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x+y+z,xy+xz+yz,xyz).$

Zeige, dass ein Punkt ${}P=(x,y,z)$ genau dann ein regulärer Punkt von ${}F$ ist, wenn die Koordinaten von ${}P$ paarweise verschieden (also ${}x\neq y$, ${}x\neq z$ und ${}y\neq z$) sind.

Aufgabe *

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die Menge der regulären Punkte von ${}\varphi$ offen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(u,v)\longmapsto \left({\frac {-u}{u^{2}+v^{2}}},\,{\frac {-v}{u^{2}+v^{2}}}\right),$

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x+y+z,xy+xz+yz,xyz).$

Zeige, dass ein Punkt ${}(x,y,z)$ genau dann ein kritischer Punkt von ${}\varphi$ ist, wenn in ${}(x,y,z)$ zwei Zahlen doppelt vorkommen.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}-y^{2}z,y+\sin xz).$

Zeige, dass die Menge der kritischen Punkte von ${}\varphi$ eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere (mindestens einen) Punkte enthält.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,xy).$

Bestimme die regulären Punkte, die Fasern  (also die Urbilder zu einem Punkt ${}(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}$), das Bild und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung. Man gebe möglichst große offene Mengen ${}U_{1},U_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ derart an, dass

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ und ${}V_{1},V_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen mit ${}0\in V_{1},V_{2}$ und es sei

$\varphi \colon U_{1}\times V_{1}\longrightarrow U_{2}\times V_{2}$

ein Diffeomorphismus, der eine Bijektion zwischen ${}U_{1}\times \{0\}$ und ${}U_{2}\times \{0\}$ induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U_{1}\cong U_{1}\times \{0\}$ nach ${}U_{2}\cong U_{2}\times \{0\}$ ein Diffeomorphismus ist.