- Übungsaufgaben
Mit diffeomorph ist im Folgenden stets
-diffeomorph gemeint.
Definiere explizit einen
Diffeomorphismus zwischen
und einer offenen Kugel
.
Zeige die folgenden Aussagen.
- Die Identität ist ein Diffeomorphismus.
- Eine lineare bijektive Abbildung ist ein Diffeomorphismus.
- Die Umkehrabbildung eines Diffeomorphismus ist wieder ein Diffeomorphismus.
- Die Hintereinanderschaltung von Diffeomorphismen ist ein Diffeomorphismus.
Es sei
-

und
-

a) Skizziere
und
.
b) Zeige, dass
und
offen
sind.
c) Zeige, dass die Abbildung
-
ein
Diffeomorphismus
ist.
Bestimme die
regulären Punkte
der
Abbildung
-
Zeige, dass
in
regulär ist und bestimme das
totale Differential
der
Umkehrabbildung
von
in
, wobei
eine offene Umgebung von
sei
(die nicht explizit angegeben werden muss).
Man gebe für jedes
eine bijektive,
total differenzierbare
Abbildung
-
an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht
regulär
ist.
Das
komplexe
Quadrieren
-
kann man reell als
-
schreiben. Untersuche
auf
reguläre Punkte.
Auf welchen
(möglichst großen)
offenen Teilmengen ist
umkehrbar?
Wir betrachten die Abbildung
-
a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung
.
b) Zeige, dass
in
lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung
besitzt, und bestimme das totale Differential von
im Punkt
.
c) Man gebe alle Punkte
an, in denen
nicht lokal invertierbar ist.
Zeige, dass die Transformation
-
auf geeigneten offenen Teilmengen ein
Diffeomorphismus
ist und berechne die
Jacobi-Determinante
in jedem Punkt.
Es seien
und
Punkte in der Ebene
. Zeige, dass die beiden offenen Mengen
und
zueinander
diffeomorph
sind.
Es sei
-

-

und
-

Zeige, dass
und
zueinander nicht
homöomorph
sind.
Wir betrachten die Abbildung
-
a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.
b) Zeige, dass
im Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Zeige, dass
in
regulär ist.
Wir betrachten die Abbildung
-
Zeige, dass ein Punkt
genau dann ein
regulärer Punkt
von
ist, wenn die Koordinaten von
paarweise verschieden
(also
,
und
) sind.
Es sei
offen
und
-
eine
stetig differenzierbare
Abbildung. Zeige, dass die Menge der
regulären Punkte
von
offen ist.
Zeige, dass die
Abbildung
-
ein
Diffeomorphismus
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Betrachte die
Abbildung
-
Zeige, dass ein Punkt
genau dann ein
kritischer Punkt
von
ist, wenn in
zwei Zahlen doppelt vorkommen.
Betrachte die
Abbildung
-
Zeige, dass die Menge der
kritischen Punkte
von
eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere
(mindestens einen)
Punkte enthält.
Wir betrachten die Abbildung
-
Bestimme die
regulären Punkte,
die
Fasern
(also die Urbilder zu einem Punkt
),
das
Bild
und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung. Man gebe möglichst große offene Mengen
derart an, dass
-
ein
Diffeomorphismus
ist.