- Übungsaufgaben
Mit diffeomorph ist im Folgenden stets -diffeomorph gemeint.
Definiere explizit einen
Diffeomorphismus zwischen und einer offenen Kugel .
Zeige die folgenden Aussagen.
- Die Identität ist ein Diffeomorphismus.
- Eine lineare bijektive Abbildung ist ein Diffeomorphismus.
- Die Umkehrabbildung eines Diffeomorphismus ist wieder ein Diffeomorphismus.
- Die Hintereinanderschaltung von Diffeomorphismen ist ein Diffeomorphismus.
Es sei
-
und
-
a) Skizziere
und .
b) Zeige, dass
und
offen
sind.
c) Zeige, dass die Abbildung
-
ein
Diffeomorphismus
ist.
Bestimme die
regulären Punkte
der
Abbildung
-
Zeige, dass in regulär ist und bestimme das
totale Differential
der
Umkehrabbildung
von in , wobei eine offene Umgebung von sei
(die nicht explizit angegeben werden muss).
Man gebe für jedes eine bijektive,
total differenzierbare
Abbildung
-
an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht
regulär
ist.
Das
komplexe
Quadrieren
-
kann man reell als
-
schreiben. Untersuche auf
reguläre Punkte.
Auf welchen
(möglichst großen)
offenen Teilmengen ist
umkehrbar?
Wir betrachten die Abbildung
-
a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung .
b) Zeige, dass in lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung besitzt, und bestimme das totale Differential von im Punkt .
c) Man gebe alle Punkte an, in denen nicht lokal invertierbar ist.
Zeige, dass die Transformation
-
auf geeigneten offenen Teilmengen ein
Diffeomorphismus
ist und berechne die
Jacobi-Determinante
in jedem Punkt.
Es seien und Punkte in der Ebene . Zeige, dass die beiden offenen Mengen und zueinander
diffeomorph
sind.
Es sei
-
-
und
-
Zeige, dass
und
zueinander nicht
homöomorph
sind.
Wir betrachten die Abbildung
-
a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.
b) Zeige, dass im Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Zeige, dass in regulär ist.
Wir betrachten die Abbildung
-
Zeige, dass ein Punkt genau dann ein
regulärer Punkt
von ist, wenn die Koordinaten von paarweise verschieden
(also , und ) sind.
Es sei
offen
und
-
eine
stetig differenzierbare
Abbildung. Zeige, dass die Menge der
regulären Punkte
von offen ist.
Zeige, dass die
Abbildung
-
ein
Diffeomorphismus
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Betrachte die
Abbildung
-
Zeige, dass ein Punkt genau dann ein
kritischer Punkt
von ist, wenn in zwei Zahlen doppelt vorkommen.
Betrachte die
Abbildung
-
Zeige, dass die Menge der
kritischen Punkte
von eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere
(mindestens einen)
Punkte enthält.
Wir betrachten die Abbildung
-
Bestimme die
regulären Punkte,
die
Fasern
(also die Urbilder zu einem Punkt ),
das
Bild
und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung. Man gebe möglichst große offene Mengen derart an, dass
-
ein
Diffeomorphismus
ist.