Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 57/latex

\setcounter{section}{57}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die \definitionsverweis {Höhenlinien}{}{} und das \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {h} {\R^2} {\R } {(x,y)} { 2(x-3)^2+3(y-1)^2 } {.}

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {BodyMassIndex.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { BodyMassIndex.png } {} {Thire} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R_+} {\R } {(m,l)} { { \frac{ m }{ l^2 } } } {,} berechnet, wobei $m$ für die Masse und $l$ für die Länge eines Menschen \zusatzklammer {oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes} {} {} steht \zusatzklammer {in den Einheiten Kilogramm und Meter} {} {.} \aufzaehlungsieben{Für welche Punkte ist diese Abbildung \definitionsverweis {regulär}{}{?} }{Skizziere das zugehörige \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{.} }{Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem \definitionsverweis {Gradienten}{}{} dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab? }{Wie lassen sich die \definitionsverweis {Fasern}{}{} dieser Abbildung als \definitionsverweis {Graphen}{}{} von Funktionen beschreiben? }{Berechne die \definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{} von $\varphi$ und bestimme ihren \definitionsverweis {Typ}{}{} in jedem Punkt. }{Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf
\mathl{[30,300] \times [1,2]}{} einschränkt, und welche Werte besitzt er dann? }{Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge $T$ ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, \definitionsverweis {Produktabbildung}{}{} und \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {h} {\R^n} {\R } {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Funktion und
\mathl{P \in \R^n}{} ein \definitionsverweis {kritischer Punkt}{}{} zu $h$. Wie sieht die Lösung des Anfangswertproblems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v(0) }
{ =} {P }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zum zugehörigen \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
\mathl{\operatorname{Grad} \, h ( P )}{} aus?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v' }
{ =} { \operatorname{Grad} \, h ( v ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{v(0)=w}{} \zusatzklammer {\mathlk{w \in\R^2}{}} {} {} zum Gradientenfeld zur Funktion \maabbeledisp {h} {\R^2} {\R } {(x,y)} { x^2+y^2 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v' }
{ =} { \operatorname{Grad} \, h ( v ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{v(0)=w}{} \zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} zum \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {h} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} { x^2-y^2+3yz } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die ersten drei Iterationen der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} zum Anfangswertproblem
\mathdisp {v' = \operatorname{Grad} \, h ( v ) \text{ und } v(0)= \left( 3 , \, 2 \right)} { }
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y) }
{ =} {x^3-xy^2+y^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {G} {\R^n} {\R^n } {} ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {J} {\R^n } {} \zusatzklammer {$J \subseteq \R$ ein offenes Intervall} {} {} eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung $v'=G(v)$. Es gelte
\mathl{\varphi'(t) \neq 0}{} für alle
\mathl{t \in J}{.} Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {h} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(P) }
{ =} { \operatorname{Grad} \, h ( P ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das zugehörige Gradientenfeld. Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R} {\R^n } {} eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser $F$ zu $h$ zu zwei verschiedenen Zeitpunkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0 }
{ < }{t_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} trifft. Zeige, dass
\mathl{\varphi {{|}}_{[t_0,t_1]}}{} konstant ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {h} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(P) }
{ =} { \operatorname{Grad} \, h ( P ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das zugehörige Gradientenfeld. Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R} {\R^n } {} eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Zeitpunkt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi'(t) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Es sei $h$ zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass $\varphi$ konstant ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) $\varphi$ nicht konstant sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Vergleiche Lemma 47.10 und Lemma 57.5.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f:[0,1] \rightarrow \R \mid \text{unendlich oft differenzierbar} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} versehen mit der durch die \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{} gegebenen Metrik. Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} \maabbeledisp {} {M} {M } {f} {f' } {,} keine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {F} {\R^n } { \R^n } {} ein stetiges \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{,} wobei die $i$-te Komponente nur von der $i$-ten Variabeln abhängen möge. Es sei \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U } {} ein \definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma F}{} nur von \mathkor {} {\gamma(a)} {und} {\gamma(b)} {} abhängt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {zeitunabhängige Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {v} {3 v^{2/3} = 3 \sqrt[3]{v^2} } {.} Zeige direkt, dass dieses \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, aber nicht \definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{} genügt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei \maabbdisp {h} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {Linearform}{}{.} Bestimme das zugehörige \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} und die \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der zugehörigen Differentialgleichung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Lösungen der Differentialgleichung}{}{,} die zum \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} der Funktion \maabbeledisp {h} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x+y^2 } {,} gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Welche \definitionsverweis {linearen Vektorfelder}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^n} {\R^n } {v} {Mv } {,} sind \definitionsverweis {Gradientenfelder}{}{?} Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{.} Zeige, dass $U$ genau dann \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist, wenn man je zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch einen \definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{} verbinden kann.

}
{} {Tipp: Man denke an den Beweis von Satz 35.13.}

\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Hochladen}

\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Fertige eine Illustration zu Beispiel 57.6 an.

}
{} {}