Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 58

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein kompaktes Intervall und

Wir setzen

Berechne auf zwei unterschiedliche Weisen.


Aufgabe

Bestätige Satz 58.3 für die Funktion


Aufgabe

Sei

Berechne die Integrale zum Parameter über und zum Parameter über . Bestimme jeweils die extremalen Integrale.


Die Himmelsscheibe von Nebra. Ist die Mondsichel darauf sternförmig?

Aufgabe

Betrachte zu mit und die „sichelförmige“ Menge

Für welche ist diese Menge sternförmig?


Aufgabe

Zeige, dass eine sternförmige Teilmenge zusammenhängend ist.


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass genau dann ein (nichtleeres) Intervall ist, wenn sternförmig ist.


Aufgabe

Es seien () endlich viele Punkte im . Zeige, dass nicht sternförmig ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine sternförmige Teilmenge an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine offene, sternförmige Teilmenge an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.


Aufgabe

Überprüfe, ob das Vektorfeld

die Integrabilitätsbedingung erfüllt oder nicht.


Aufgabe

Überprüfe, ob das Vektorfeld

die Integrabilitätsbedingung erfüllt oder nicht.


Aufgabe

Zeige, dass das Vektorfeld

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.


Ob ein Vektorfeld auf die Integrabilitätsbedingung erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.


Zu einem partiell differenzierbaren Vektorfeld

auf einer offenen Teilmenge nennt man

die Rotation von .


Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.

Aufgabe

Es sei

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge . Zeige, dass genau dann die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn ist.


Aufgabe

Berechne zum Vektorfeld

die Rotation.


Aufgabe *

Wir betrachten das Vektorfeld

mit

Zeige auf zweifache Weise, dass kein Gradientenfeld ist.

  1. Mit der Integrabilitätsbedingung.
  2. Mit Wegintegralen.


Aufgabe *

Wir betrachten das Vektorfeld

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu .


Aufgabe *

Wir betrachten das Vektorfeld

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu .


Aufgabe *

Es sei

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge

und es sei

Zeige

wobei den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um mit Radius bezeichnet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob zur Funktion

der Subgraph und ob der Epigraph sternförmig ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine sternförmige Teilmenge. Zeige, dass auch der Abschluss sternförmig ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das Vektorfeld

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne zum Vektorfeld

die Rotation.



<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)