Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 56

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien und metrische Räume. Zeige, dass die Menge der stetigen Abbildungen von nach durch

zu einem metrischen Raum wird.


Aufgabe

Es seien und metrische Räume, wobei vollständig sei. Zeige, dass die Menge der stetigen Abbildungen von nach durch

zu einem vollständigen metrischen Raum wird.


Aufgabe *

Sei

fixiert und sei

a) Zeige, dass die Abbildung

wohldefiniert ist.

b) Sei nun zusätzlich . Zeige, dass die Abbildung aus a) eine starke Kontraktion ist (wobei mit der Maximumsnorm versehen sei).

c) Zeige, dass durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird.

d) Bestimme den Fixpunkt von .


Aufgabe

Sei

ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle und die Beziehung gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems

ganz in verläuft.


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

mit der Picard-Lindelöf-Iteration.


Aufgabe

Bestimme in Beispiel 56.5 eine explizite Formel für die Iterationen .


Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

mit der Anfangsbedingung und .


Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung und .


Aufgabe

Wogegen konvergiert die Picard-Lindelöf-Itertion in der Situation von Bemerkung 56.6, wenn ein Eigenvektor von ist?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

Bestimme für jedes die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes
Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

zum ortsunabhängigen Vektorfeld


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

mit der Anfangsbedingung und .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung und .



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