Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Vorlesung 32/latex
\setcounter{section}{32}
\zwischenueberschrift{Die Fakultätsfunktion}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Graph t^xe^x x is 2.png} }
\end{center}
\bildtext {$t^2e^{-t}$} }
\bildlizenz { Graph t^xe^x x is 2.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Graph t^xe^x x is 1.png} }
\end{center}
\bildtext {$te^{-t}$} }
\bildlizenz { Graph t^xe^x x is 1.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Graph t^xe^x x is 0,5.png} }
\end{center}
\bildtext {$t^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }e^{-t}$} }
\bildlizenz { Graph t^xe^x x is 0,5.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Graph t^xe^x x is 0.png} }
\end{center}
\bildtext {$e^{-t}$} }
\bildlizenz { Graph t^xe^x x is 0.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Graph t^xe^x x is -0,5.png} }
\end{center}
\bildtext {$t^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } }e^{-t}$} }
\bildlizenz { Graph t^xe^x x is -0,5.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Graph t^xe^x x is -1.png} }
\end{center}
\bildtext {$t^{-1}e^{-t}$} }
\bildlizenz { Graph t^xe^x x is -1.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa} {}
Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n!
}
{ = }{ \cdot(n-1)\cdot(n-2) \cdots 3\cdot 2 \cdot 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei gilt die rekursive Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n!
}
{ = }{ n ((n-1)!)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Gibt es eine Möglichkeit, diese für die natürlichen Zahlen definierte Funktion auf $\R_{\geq 0}$ durch eine differenzierbare Funktion $f$ fortzusetzen? Ist es sogar möglich, dass dabei die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ x f(x-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes $x$ gilt? Wir werden mit Hilfe von uneigentlichen Integralen zeigen, dass dies in der Tat möglich ist.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {} {\R_{+}} {\R
} {t} { t^xe^{-t}
} {.}
Wir behaupten, dass das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } t^xe^{-t} \, d t} { }
existiert. Für den rechten Rand
\zusatzklammer {also $\infty$} {} {}
betrachten wir eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 15.15} {} {,}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t^n e^{ - { \frac{ t }{ 2 } } }
}
{ \leq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \geq }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ a }^{ b } t^x e^{-t} \, d t
}
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } t^n e^{-t} \, d t
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } t^n e^{- { \frac{ t }{ 2 } } } e^{- { \frac{ t }{ 2 } } } \, d t
}
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } e^{- { \frac{ t }{ 2 } } } \, d t
}
{ =} { 2 { \left( e^{ - { \frac{ a }{ 2 } } } - e^{ - { \frac{ b }{ 2 } } } \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { 2 e^{ - { \frac{ a }{ 2 } } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Für
\mathl{b \rightarrow \infty}{} wächst das linke Integral und ist durch
\mathl{2 e^{ - { \frac{ a }{ 2 } } }}{}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{,}
so dass der Grenzwert existiert. Für das Verhalten am linken Rand
\zusatzklammer {das nur bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ -1
}
{ < }{x
}
{ \leq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
problematisch ist} {} {}
müssen wir wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e^{-t}
}
{ \leq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 31.4
nur
\mathl{\int_{ 0 }^{ 1 } t^x \, d t}{} betrachten. Eine Stammfunktion davon ist
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x+1 } } t^{x+1}}{,} deren Exponent positiv ist, so dass der Limes für
\mathl{t \rightarrow 0}{} existiert.
}
Das uneigentliche Integral
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } t^x e^{-t} \, d t} { }
existiert also für
\mathl{x \in \R,\ x > -1}{.} Dies ist der Ausgangspunkt für die Definition der Fakultätsfunktion.
\inputdefinition
{}
{
Für
\mathbed {x \in \R} {}
{x > -1} {}
{} {} {} {,}
heißt die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {x \longmapsto \operatorname{Fak} \, (x) \defeq \int_{ 0 }^{ \infty } t^x e^{-t} \, d t} { }
die \definitionswort {Fakultätsfunktion}{.}
}
Die für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma(x)
}
{ \defeq} { \operatorname{Fak} \, (x-1)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ \infty } t^{x-1} e^{-t} \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Funktion heißt \stichwort {Gammafunktion} {,} mit der häufiger gearbeitet wird. Mit der Fakultätsfunktion werden aber die Formeln etwas schöner und insbesondere wird der Zusammenhang zur Fakultät, der in der folgenden Aussage aufgezeigt wird, deutlicher.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Factorial_plot.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Factorial plot.png } {Mathacw} {} {PD} {} {}
\inputfaktbeweis
{Fakultätsfunktion/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{}
besitzt die folgenden Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (x)
}
{ = }{ x \cdot \operatorname{Fak} \, (x-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (0)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (n)
}
{ = }{ n!
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für natürliche Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, { \left( - \frac{1}{2} \right) }
}
{ = }{ \sqrt{\pi}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) Mittels
partieller Integration
ergibt sich
\zusatzklammer {für reelle Zahlen
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ b
}
{ \geq }{ a
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bei fixiertem
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ x
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_{ a }^{ b } t^x e^{-t} \, d t
}
{ =} { -t^x e^{-t} | _{ a } ^{ b } + \int_{ a }^{ b } x t^{x-1} e^{-t} \, d t
}
{ =} { -b^x e^{-b} + a^x e^{-a} + x \cdot \int_{ a }^{ b } t^{x-1} e^{-t} \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Für
\mathl{b \rightarrow \infty}{} geht
\mathl{b^xe^{-b} \rightarrow 0}{} und für
\mathl{a \rightarrow 0}{} geht
\mathl{a^xe^{-a} \rightarrow 0}{}
\zusatzklammer {da $x$ positiv ist} {} {.}
Wendet man auf beide Seiten diese Grenzwertprozesse an, so erhält man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (x)
}
{ = }{ x \operatorname{Fak} \, (x-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (0)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ \infty } e^{-t} \, d t
}
{ =} { - e^{-t} | _{ 0 } ^{ \infty }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3) folgt aus (1) und (2) durch Induktion.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(4). Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, { \left( -\frac{1}{2} \right) }
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ \infty } t^{- \frac{1}{2} }e^{-t} \, d t
}
{ =} { 2 \int_{ 0 }^{ \infty } e^{-s^2} \, d s
}
{ =} { \int_{ - \infty }^{ \infty } e^{-s^2} \, d s}
{ =} { \sqrt{\pi}
}
}
{}{}{.}
Dies ergibt sich mit der Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ s^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dem sogenannten
Fehlerintegral.}
{}
Die Fakultätsfunktion ist auch stetig und differenzierbar, was wir aber nicht beweisen werden.
\zwischenueberschrift{Euklidische Vektorräume}
Wir beginnen nun mit der höherdimensionalen Analysis. Dazu müssen wir zunächst die topologischen Grundbegriffe \zusatzklammer {Abstand, Folgen, Stetigkeit, Grenzwerte} {} {} auf den $\R^n$ erweitern. Wir beginnen mit Vektorräumen mit einem Skalarprodukt.
Im Anschauungsraum kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des \stichwort {Skalarprodukts} {} präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum oder ein komplexer Vektorräume vorliegen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.}
Ein \definitionswort {Skalarprodukt}{} auf $V$ ist eine Abbildung
\maabbeledisp {} {V \times V } { \R
} { (v,w)} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
mit folgenden Eigenschaften:
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \lambda_1x_1+\lambda_2x_2 , y \right\rangle
}
{ =} { \lambda_1 \left\langle x_1 , y \right\rangle + \lambda_2 \left\langle x_2 , y \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda_1,\lambda_2
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1,x_2
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ebenso in der zweiten Komponente.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle w , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen \stichwort {Bilinearität} {,} \stichwort {Symmetrie} {} und \stichwort {positive Definitheit} {.}
\inputbeispiel{}
{
Auf dem $\R^n$ ist die Abbildung
\maabbeledisp {} {\R^n \times \R^n } { \R
} {(v,w)=({ \left( v_1 , \ldots , v_n \right) },{ \left( w_1 , \ldots , w_n \right) })} { \sum_{i=1}^n v_iw_i
} {,}
ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{,}
das man das
\definitionswortenp{Standard\-skalarprodukt}{} nennt. Einfache Rechnungen zeigen, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.
}
Beispielsweise ist im $\R^3$ mit dem Standardskalarprodukt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\4\\ 6 \end{pmatrix} \right\rangle
}
{ =} {3\cdot(-1) - 5 \cdot 4 +2 \cdot 6
}
{ =} { -11
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {reeller}{}{,} \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} der mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} versehen ist, heißt \definitionswort {euklidischer Vektorraum}{.}
}
Zu einem euklidischen Vektorraum $V$ ist jeder
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
selbst wieder ein euklidischer Vektorraum, da man das Skalarprodukt auf $U$ einschränken kann und dabei die definierenden Eigenschaften erhalten bleiben.
Im komplexen Fall sieht die Definition etwas anders aus. Es liegt keine Bilinearität und keine Symmetrie im strengen Sinne vor, sondern nur bis auf komplexe Konjugation. Diese Variante ist nötig, um die positive Definitheit zu sichern, auf der der Abstandsbegriff beruht.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{.}
Ein \definitionswort {Skalarprodukt}{} auf $V$ ist eine Abbildung
\maabbeledisp {} { V \times V } { {\mathbb C}
} { (v,w)} {\left\langle v , w \right\rangle
} {,}
mit folgenden Eigenschaften:
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \lambda_1x_1+\lambda_2x_2 , y \right\rangle
}
{ =} {\lambda_1 \left\langle x_1 , y \right\rangle + \lambda_2\left\langle x_2 , y \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1,\lambda_2
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1,x_2,y
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle x , \lambda_1 y_1 + \lambda_2y _2 \right\rangle
}
{ =} { \overline{ \lambda_1 } \left\langle x , y_1 \right\rangle + \overline{ \lambda_2 } \left\langle x , y_2 \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1,\lambda_2
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y_1,y_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \overline{ \left\langle w , v \right\rangle }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
\inputdefinition
{}
{
Das auf dem ${\mathbb C}^n$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle u , v \right\rangle
}
{ \defeq} { \sum_{i = 1 }^n u_i \overline{ v_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
heißt
\definitionswort {\zusatzklammer {komplexes} {} {} Standardskalarprodukt}{.}
}
Wir werden die beiden Fälle parallel behandeln. Wenn man zu einem komplexen Vektorraum mit einem Skalarprodukt
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} den zugrunde liegenden reellen Vektorraum betrachten, so ist der Realteil des komplexen Skalarprodukts ein reelles Skalarprodukt, siehe
Aufgabe 32.8.
Daher kann man sich bei Abstandsfragen auf den reellen Fall konzentrieren.
\zwischenueberschrift{Norm und Abstand}
Mit einem Skalarprodukt kann man die Länge eines Vektors und damit auch den Abstand zwischen zwei Vektoren erklären.
\inputdefinition
{
}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Dann nennt man zu einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die reelle Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ =} {\sqrt{ \left\langle v , v \right\rangle }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Norm}{} von $v$.
}
\inputfaktbeweis
{Skalarprodukt/K/Cauchy Schwarz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt die \stichwort {Cauchy-Schwarzsche Abschätz\-ung} {,} nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \left\langle v , w \right\rangle }
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage richtig. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {w} \Vert
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit hat man die Abschätzungen
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{0
}
{ \leq} {\left\langle v - \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {w} \Vert^2 } w , v - \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {w} \Vert^2 } w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle - \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {w} \Vert^2 } \left\langle w , v \right\rangle - \frac{ \overline{ \left\langle v , w \right\rangle } }{ \Vert {w} \Vert^2 } \left\langle v , w \right\rangle + \frac{ \left\langle v , w \right\rangle \overline{ \left\langle v , w \right\rangle } }{ \Vert {w} \Vert^4 } \left\langle w , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle - \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {w} \Vert^2 } \overline{ \left\langle v , w \right\rangle } - \frac{ \overline{ \left\langle v , w \right\rangle } }{ \Vert {w} \Vert^2 } \left\langle v , w \right\rangle + \frac{ \left\langle v , w \right\rangle \overline{ \left\langle v , w \right\rangle } }{ \Vert {w} \Vert^2 }
}
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle - \frac{ \left\langle v , w \right\rangle \overline{ \left\langle v , w \right\rangle } }{ \Vert {w} \Vert^2 }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle - \frac{ \betrag { \left\langle v , w \right\rangle }^2 }{ \Vert {w} \Vert^2 }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Multiplikation mit
\mathl{\Vert {w} \Vert^2}{} und Wurzelziehen ergibt das Resultat.
\inputbemerkung
{}
{
Für von $0$ verschiedene Vektoren
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
in einem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$ folgt aus der
der Ungleichung von Cauchy-Schwarz,
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1
}
{ \leq} { \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert }
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion \stichwort {Kosinus} {}
\zusatzklammer {als bijektive Abbildung
\maabb {} {[0, \pi]} { [-1,1]
} {}} {} {}
bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \angle (v,w)
}
{ \defeq} { \arccos { \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen
\mathkor {} {0} {und} {\pi} {.}
Die obige Gleichung kann man auch als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert \cdot \cos \left( \angle (v,w) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, was die Möglichkeit eröffnet, das Skalarprodukt in dieser Weise zu definieren. Allerdings muss man dann für den Winkel eine unabhängige Definition finden. Dieser Zugang ist etwas intuitiver, hat aber rechnerisch und beweistechnisch viele Nachteile.
}
\inputfaktbeweis
{Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann gelten für die zugehörige
\definitionsverweis {Norm}{}{}
folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda v} \Vert
}
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert + \Vert {w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des
\definitionsverweis {Skalarprodukts}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Multiplikativität folgt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda v} \Vert^2
}
{ =} { \left\langle \lambda v , \lambda v \right\rangle
}
{ =} { \lambda \left\langle v , \lambda v \right\rangle
}
{ =} {\lambda \overline{ \lambda } \left\langle v , v \right\rangle
}
{ =} { \betrag { \lambda } ^2 \Vert {v} \Vert^2
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert {v+w} \Vert^2
}
{ =} { \left\langle v+w , v+w \right\rangle
}
{ =} { \Vert {v} \Vert^2 + \Vert {w} \Vert^2 + \left\langle v , w \right\rangle + \overline{ \left\langle v , w \right\rangle }
}
{ =} { \Vert {v} \Vert^2 + \Vert {w} \Vert^2 +2
\operatorname{Re} \, { \left( \left\langle v , w \right\rangle \right) }
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert^2 + \Vert {w} \Vert^2 +2 \betrag { \left\langle v , w \right\rangle }
}
}
{}
{}{}
Aufgrund von
Satz 32.10
ist dies
\mathl{\leq { \left( \Vert {v} \Vert + \Vert {w} \Vert \right) }^2}{.} Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.}
{}
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Polarisationsformel} {.}
{Skalarprodukt/K/Polarisationsformel mit Norm/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
$\Vert {-} \Vert$.}
\faktfolgerung {Dann gilt bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v} \Vert^2 - \Vert {w} \Vert^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v-w} \Vert^2 + { \mathrm i} \Vert {v+ { \mathrm i} w} \Vert^2 - { \mathrm i} \Vert {v- { \mathrm i} w} \Vert^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe *****. }
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zu Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( v, w \right) }
}
{ \defeq} {\Vert {v-w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Abstand}{} zwischen
\mathkor {} {v} {und} {w} {.}
}
{Skalarprodukt/K/Zugehöriger Abstand über Norm/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann besitzt der zugehörige
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
die folgenden Eigenschaften
\zusatzklammer {dabei sind
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ u,v,w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d( v , w )
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d( v , w )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d( v , w )
}
{ = }{ d( w , v )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d( u , w )
}
{ \leq} { d( u , v ) + d( v , w )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 32.10. }
Damit ist ein euklidischer Raum insbesondere ein \stichwort {metrischer Raum} {,} womit wir uns in den nächsten Vorlesungen beschäftigen werden.
\zwischenueberschrift{Isometrien}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann heißt $\varphi$ eine \definitionswort {Isometrie}{,} wenn für alle
\mathl{v ,w \in V}{} gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi(v) , \varphi(w) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , w \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Vektorraum/Lineare Isometrie zwischen/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{.}
}{Für alle
\mathl{u,v \in V}{} ist
\mathl{d(\varphi(u),\varphi(v)) = d(u,v)}{.}
}{Für alle
\mathl{v \in V}{} ist
\mathl{\Vert {\varphi(v) } \Vert = \Vert {v} \Vert}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Richtungen $(1) \Rightarrow (2)$ und $(2) \Rightarrow (3)$ sind Einschränkungen und $(3) \Rightarrow (1)$ folgt aus Lemma 32.13.