Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Vorlesung 33/latex
\setcounter{section}{33}
\zwischenueberschrift{Metrische Räume}
Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines Vektors und den Abstand zwischen zwei Vektoren definieren. Die wichtigsten Eigenschaften dieses euklidischen Abstandes werden im Begriff der Metrik bzw. des metrischen Raumes axiomatisiert.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine Menge. Eine Abbildung
\maabb {d} { M \times M } { \R
} {}
heißt \definitionswort {Metrik}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Distanzfunktion}{}} {} {,}
wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y,z
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x,y \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzklammer {Definitheit} {} {,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x,y \right) }
}
{ = }{ d { \left( y,x \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {Symmetrie} {} {,}
und
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x,y \right) }
}
{ \leq }{ d { \left( x,z \right) } + d { \left( z,y \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {Dreiecksungleichung} {} {.}
}
Ein \definitionswort {metrischer Raum}{} ist ein Paar
\mathl{(M,d)}{,} wobei $M$
eine Menge und
\maabb {d} { M \times M } {\R
} {}
eine Metrik ist.
}
Man kann leicht aus den Bedingungen folgern, dass eine Metrik nur nichtnegative Werte annimmt. Der Wert
\mathl{d(x,y)}{} gibt den Abstand der Punkte
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
bezüglich $d$ an. Oft wird die Metrik nicht in der Notation erwähnt, obwohl es Situationen gibt, in denen verschiedene Metriken auf ein- und derselben Menge betrachtet werden.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(v,w)
}
{ \defeq} { \Vert {v-w} \Vert
}
{ \defeq} {\sqrt{ \left\langle v-w , v-w \right\rangle }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der zugehörige Abstand. Dieser besitzt nach
Fakt *****
die Eigenschaften einer
\definitionsverweis {Metrik}{}{.}
Insbesondere ist im $\R^n$ der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(x,y)
}
{ =} { \sqrt{ (x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \cdots + (x_n-y_n)^2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene \stichwort {euklidische Abstand} {} eine Metrik.
}
Wenn wir nichts anderes sagen, so versehen wir den $\R^n$ und den
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}^n
}
{ \cong }{ \R^{2n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stets mit dem euklidischen Abstand. Insbesondere sind die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}
}
{ \cong }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der durch den Betrag definierten Metrik metrische Räume. Als gemeinsame Bezeichnung für
\mathkor {} {\R} {und} {{\mathbb C}} {}
werden wir wieder ${\mathbb K}$ verwenden.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Manhattan_distance.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Summenmetrik heißt auch \stichwort {Taxi-Metrik} {.} Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen repräsentieren den Summenabstand.} }
\bildlizenz { Manhattan distance.svg } {} {Psychonaut} {Commons} {PD} {}
\inputbeispiel{}
{
Auf dem $\R^n$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( x, y \right) }
}
{ =} { \sum_{i=1}^n \betrag { x_i-y_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Metrik}{}{,}
die man die \stichwort {Summenmetrik} {} nennt.
}
\inputbeispiel{}
{
Auf dem $\R^n$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( x, y \right) }
}
{ =} { {\max { \left( \betrag { x_i-y_i } , i = 1 , \ldots , n \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Metrik}{}{,}
die man die \stichwort {Maximumsmetrik} {} nennt.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Dann ist $T$ ebenfalls ein metrischer Raum, wenn man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_T(x,y)
}
{ \defeq} { d(x,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt. Diese Metrik heißt die \stichwort {induzierte Metrik} {.}
}
\inputbeispiel{}
{
Zu einer beliebigen Menge $M$ kann man durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(x,y)
}
{ \defeq} {\begin{cases} 0, \, & \text{ falls } x = y \, , \\ 1, \, & \text{ falls } x\neq y \, ,\end{cases} \,
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Metrik}{}{}
definieren, die die \stichwort {diskrete Metrik} {} heißt.
}
\zwischenueberschrift{Teilmengen in einem metrischen Raum}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Unit_disc_metrics.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Gestalt der Kugelumgebungen hängt von der Metrik ab.} }
\bildlizenz { Unit disc metrics.svg } {} {Krishnavedala} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine positive reelle Zahl. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U { \left( x,\epsilon \right) }
}
{ =} { { \left\{ y \in M \mid d(x,y) < \epsilon \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {offene}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B \left( x,\epsilon \right)
}
{ =} { { \left\{ y \in M \mid d(x,y) \leq \epsilon \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {abgeschlossene}{}
$\epsilon$-\definitionswort {Kugel}{} um $x$.
}
Natürlich müssen Kugeln nicht unbedingt kugelförmig aussehen, aber sie tun es in der euklidischen Norm. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{U { \left( x,\epsilon \right) }}{} einfach das beidseitig offene Intervall
\mathl{]x- \epsilon, x+ \epsilon[}{} und
\mathl{B \left( x,\epsilon \right)}{} ist einfach das beidseitig abgeschlossene Intervall
\mathl{[x- \epsilon, x+ \epsilon]}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Neighborhood_illust1.svg} }
\end{center}
\bildtext {Eine Teilmenge ist offen, wenn jeder Punkt darin gleich mit einer vollen Kugelumgebung drin liegt. Bei einer solchen Menge ist es entscheidend, ob die \stichwort {Randpunkte} {} dazu gehören oder nicht.} }
\bildlizenz { Neighborhood illust1.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {offen}{}
\zusatzklammer {in \mathlk{(M,d)}{}} {} {,}
wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U { \left( x,\epsilon \right) }
}
{ \subseteq} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
existiert.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {abgeschlossen}{,} wenn das
\definitionsverweis {Komplement}{}{}
\mathl{M \setminus A}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
ist.
}
Achtung! Abgeschlossen ist nicht das \anfuehrung{Gegenteil}{} von offen. Die \anfuehrung{allermeisten}{} Teilmengen eines metrischen Raumes sind weder offen noch abgeschlossen, es gibt aber auch Teilmengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, z.B. die leere Teilmenge und die Gesamtmenge.
\inputfaktbeweis
{Metrischer Raum/Offene Kugel/Abgeschlossene Kugel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt.}
\faktfolgerung {Dann sind die
\definitionsverweis {offenen Kugeln}{}{}
\mathl{U { \left( x,\epsilon \right) }}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und die
\definitionsverweis {abgeschlossenen Kugeln}{}{}
\mathl{B \left( x,\epsilon \right)}{}
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{U { \left( x,\epsilon \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x,y)
}
{ < }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ \epsilon - d(x,y)
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und behaupten, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( y,a \right) }
}
{ \subseteq }{ U { \left( x,\epsilon \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dazu sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ U { \left( y,a \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist aufgrund der Dreiecksungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(x,z)
}
{ \leq} { d(x,y) + d(y,z)
}
{ <} { d(x,y) + a
}
{ =} { \epsilon
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{U { \left( x,\epsilon \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die zweite Behauptung siehe
Aufgabe 33.9.
{Metrischer Raum/Strukturelle Eigenschaften der offenen Mengen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die
\definitionsverweis {leere Menge}{}{}
$\emptyset$ und die Gesamtmenge $M$ sind
\definitionsverweis {offen}{}{.}
}{Es sei $I$ eine beliebige Indexmenge und seien
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
offene Mengen. Dann ist auch die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathdisp {\bigcup_{i \in I} U_i} { }
offen.
}{Es sei $I$ eine endliche Indexmenge und seien
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
offene Mengen. Dann ist auch der
\definitionsverweis {Durchschnitt}{}{}
\mathdisp {\bigcap_{i \in I} U_i} { }
offen.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 33.7. }
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
\definitionsverweis {metrischen Raumes}{}{}
$M$ heißt \definitionswort {beschränkt}{,} wenn es eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
$b$ mit
\mathdisp {d { \left( x, y \right) } \leq b \text { für alle } x,y \in T} { }
gibt.
}
\zwischenueberschrift{Folgen in metrischen Räumen}
Wir besprechen die Konvergenz einer Folge in einem metrischen Raum. Eine Folge im $\R^2$ ist beispielsweise durch
\mathdisp {x_n = \left( \cos n , \, \sin n \right),\, n \in \N} { . }
Es handelt sich um eine Folge, die sich auf dem Einheitskreis bewegt, und zwar dreht sich der Punkt um die Bogenlänge $1$
\zusatzklammer {also um ca. \mathlk{57,3}{} Grad} {} {.}
Die Folgenglieder nähern sich also nicht untereinander an, sodass keine Konvergenz zu erwarten ist. Bei der Folge
\mathdisp {y_n = \left( { \frac{ 1 }{ n } } \cos n , \, { \frac{ 1 }{ n } } \sin n \right),\, n \in \N} { , }
bewegen sich die Glieder auf einer \anfuehrung{gedachten Spirale}{.} Die Punkte drehen sich nach wie vor um den gleichen Winkel, allerdings wird der Abstand zum Nullpunkt immer kleiner, sodass man Konvergenz gegen $0$ erwarten kann.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $M$. Man sagt, dass die Folge gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionswort {konvergiert}{,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in \R} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_0
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( x_n, x \right) }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. In diesem Fall heißt $x$ der \definitionswort {Grenzwert}{} oder der \definitionswort {Limes}{} der Folge. Dafür schreibt man auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie \definitionswort {konvergiert}{}
\zusatzklammer {ohne Bezug auf einen Grenzwert} {} {,}
andernfalls, dass sie \definitionswort {divergiert}{.}
}
Diese Definition stimmt natürlich für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit unserem bisherigen Begriff für konvergente Folge überein. Allerdings hatten wir, als wir diesen Begriff für angeordnete Körper einführten, die reellen Zahlen selbst noch nicht zur Verfügung. Die Bedingung kann man auch so ausdrücken, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \in }{ B \left( x,\epsilon \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Da die Eigenschaft für alle positiven $\epsilon$ gilt, kann man genauso gut mit offenen Bällen arbeiten.
\inputfaktbeweis
{Folgen/Konvergenz im R^n/Komponentenweise/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Der $\R^m$ sei mit der
\definitionsverweis {euklidischen Metrik}{}{}
versehen und}
\faktvoraussetzung {sei
\mathl{{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $\R^m$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_n
}
{ =} {
{ \left( z_{1n} , \ldots , z_{mn} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
die Folge im $\R^m$ genau dann, wenn alle Komponentenfolgen
\mathl{{ \left( z_{in} \right) }_{ n \in \N }}{} in $\R$ konvergieren.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei die Gesamtfolge konvergent gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ (w_1 , \ldots , w_m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten, dass die $i$-te Komponentenfolge
\mathl{{ \left( z_{in} \right) }_{ n \in \N }}{} gegen $w_i$ konvergiert. Sei
\zusatzklammer {ohne Einschränkung} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Gesamtfolge gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_0
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( z_n, w \right) }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \betrag { z_{1n}-w_1 }
}
{ =} { \sqrt { { \left( z_{1n}-w_1 \right) }^2 }
}
{ \leq} { \sqrt { { \left( z_{1n}-w_1 \right) }^2 + { \left( z_{2n}-w_2 \right) }^2 + \cdots + { \left( z_{mn}-w_m \right) }^2 }
}
{ =} { d { \left( z_n, w \right) }
}
{ \leq} { \epsilon
}
}
{}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es seien nun alle Komponentenfolgen konvergent, wobei die $i$-te Folge den Grenzwert $w_i$ besitzen möge, und sei ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ (w_1 , \ldots , w_m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und behaupten, dass die Folge gegen $w$ konvergiert. Zu
\mathl{\epsilon/m}{} gibt es für jede Komponentenfolge ein
\mathl{n_{0i}}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z_{in} - w_i }
}
{ \leq }{ \epsilon/m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ n_{0i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Dann gilt für alle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq} { n_0
}
{ \defeq} { {\max { \left( n_{0i} , i = 1 , \ldots , m \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ d { \left( z_n, w \right) }
}
{ =} { \sqrt { { \left( z_{1n} -w_1 \right) }^2 + \cdots + { \left( z_{mn} -w_m \right) }^2 }
}
{ \leq} { \sqrt { { \left( \frac{\epsilon}{m} \right) }^2 + \cdots + { \left( \frac{\epsilon}{m} \right) }^2 }
}
{ =} { \sqrt { \frac{\epsilon^2}{m} }
}
{ =} { \frac{\epsilon}{ \sqrt { m } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
Insbesondere konvergiert eine Folge von komplexen Zahlen genau dann, wenn die zugehörigen Folgen der Realteile und der Imaginärteile konvergieren, was bereits in Aufgabe 8.13 gezeigt wurde.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $M$. Ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Häufungspunkt}{} der Folge, wenn es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unendlich viele Folgenglieder $x_n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x_n, x \right) }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Wie in $\R$ besteht wieder die Beziehung, dass ein Punkt $x$ genau dann Häufungspunkt einer Folge ist, wenn es eine Teilfolge gibt, die gegen $x$ konvergiert.
\inputfaktbeweis
{Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge.}
\faktfolgerung {Dann ist $T$ genau dann
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{,}
wenn jede Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N }
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die in $M$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
bereits in $T$ konvergiert.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei zunächst $T$ abgeschlossen und eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N }
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben, die in $M$ gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann liegt $x$ im offenen Komplement von $T$ und daher gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass der gesamte $\epsilon$-\definitionsverweis {Ball}{}{}
\mathl{U { \left( x,\epsilon \right) }}{} im Komplement von $T$ liegt. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T \cap U { \left( x,\epsilon \right) }
}
{ =} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Folge aber gegen $x$ konvergiert, gibt es ein $n_0$ derart, dass alle Folgenglieder
\mathbed {x_n} {}
{n \geq n_0} {}
{} {} {} {,}
zu diesem Ball gehören. Da sie andererseits in $T$ liegen, ist dies ein Widerspruch.}
{}
\teilbeweis {}{Es sei nun $T$ nicht abgeschlossen. Wir müssen eine Folge in $T$ konstruieren, die in $M$ konvergiert, deren Grenzwert aber nicht zu $T$ gehört.\leerzeichen{}}{}
{Da $T$ nicht abgeschlossen ist, ist das Komplement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \defeq }{M \setminus T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht offen. D.h. es gibt einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass in jedem $\epsilon$-Ball von $x$ auch Punkte außerhalb von $U$, also in $T$ liegen. Insbesondere ist also für jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T \cap U { \left( x,\frac{1}{n} \right) }
}
{ \neq} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir wählen aus dieser Schnittmenge ein Element $x_n$ und behaupten, dass die sich ergebende Folge die gewünschten Eigenschaften besitzt. Zunächst liegen nach Konstruktion alle Folgenglieder in $T$. Die Folge konvergiert gegen $x$, da man sich hierzu auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ =} {1/n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschränken kann und alle Folgenglieder
\mathbed {x_m} {}
{m \geq n} {}
{} {} {} {,}
in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( x,\frac{1}{m} \right) }
}
{ \subseteq }{ U { \left( x,\frac{1}{n} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegen. Da der Grenzwert einer Folge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist, und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \notin }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, konvergiert die Folge in $T$ nicht.}
{}
\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/Abgeschlossen in Teilmengen/Supremum/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Teilmenge}{}{}
der
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine in $T$
\definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}
Teilmenge.}
\faktfolgerung {Wenn das
\definitionsverweis {Supremum}{}{}
\mathl{{\operatorname{sup} \, ( A ) }}{} in $T$ existiert, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\operatorname{sup} \, ( A ) }
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ {\operatorname{sup} \, ( A ) }
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es Elemente
\mathbed {x_n \in A} {}
{x_n \leq s} {}
{} {} {} {,}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s-x_n
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Andernfalls wäre nämlich
\mathl{s - { \frac{ 1 }{ n } }}{} eine kleinere
\definitionsverweis {obere Schranke}{}{} von $A$. Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert also gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und aufgrund von
Satz 33.16
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn man z.B. das offene Intervall
\mathl{]0,1[}{} in $\R$ nimmt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ = }{ T
}
{ = }{ ]0,1[
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachtet, so ist $A$ abgeschlossen in $T$, das Supremum dieser Menge gehört aber nicht dazu. Ein wichtiger Spezialfall ist das folgende Korollar.
\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/Abgeschlossene nach oben beschränkte Menge/Enthält Supremum/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine nicht leere,
\definitionsverweis {nach oben beschränkte}{}{,}
\definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}
Teilmenge der
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gehört das
\definitionsverweis {Supremum}{}{}
\mathl{{\operatorname{sup} \, ( A ) }}{} zu $A$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus
Korollar 33.17
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und aus
Satz 7.5.