Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 27

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {e^{2t}+e^{t}+1}{e^{2t}-1}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {5}{e^{3t}-1}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{9a^{x}+4a^{-x}}}$

mit ${}a>1$.

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\sinh t}}$

für ${}t>0$.

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\cosh x+\sinh ^{2}x}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {\ln x}{x}}.$

Aufgabe *

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {4s}{s^{4}-2s^{2}+1}}.$

b) Bestimme eine Stammfunktion von

${\frac {4s}{s^{4}-2s^{2}+1}}.$

c) Bestimme eine Stammfunktion von

${\frac {1}{\sinh ^{2}t}}.$

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion (${}-{\frac {\pi }{2}}<t<{\frac {\pi }{2}}$)

${\frac {1}{\cos t}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\sin ^{3}x}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion (${}0<t<{\frac {\pi }{2}}$)

${\frac {1}{\sin t+\cos t}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {2-\cos {x}}{2+\cos {x}}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\cos {(2x)}\sin ^{2}{(x)}.$

Aufgabe

Zeige, dass die in Lemma 27.5 verwendeten Substitutionen ${}x=\cos t={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}$ und ${}y=\sin t={\frac {2s}{1+s^{2}}}$ die Kreisgleichung ${}x^{2}+y^{2}=1$ erfüllen.

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\sqrt {3x^{2}+4x-2}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-2x+2}}}.$

Aufgabe

Erstelle ein Abbildungsdiagramm, das aufzeigt, wie sich eine rationale Funktion in den trigonometrischen Funktionen als eine zusammengesetze Funktion ergibt.

Aufgabe *

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{1}{\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}dr.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\sqrt {\frac {u+1}{u}}}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {e^{2t}+e^{3t}}{e^{4t}-1}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {\ln 2x}{x\ln 4x}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\sin {(3x)}\cos {(x)}}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu

${\sqrt {4x^{2}+2x+3}}.$

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{x{\sqrt {-x^{2}+5x-6}}}}.$

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {({\sqrt {x^{2}+x+1}})^{2}+4x^{3}{\sqrt {x^{2}+x+1}}-3x}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+x+1}}}}.$