Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Vorlesung 47/latex
\setcounter{section}{47}
\zwischenueberschrift{Linearformen und Bilinearformen}
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen und einer reellwertigen Funktion
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
interessieren wir uns wie schon bei einem eindimensionalen Definitionsbereich für die Extrema, also Maxima und Minima, der Funktion, und inwiefern man dies anhand der Ableitungen
\zusatzklammer {falls diese existieren} {} {}
erkennen kann. Wenn eine solche Funktion total differenzierbar ist, so ist das totale Differential in einem Punkt eine lineare Abbildung von
\mathkor {} {V} {nach} {{\mathbb K}} {.}
Für solche linearen Abbildungen gibt es einen eigenen Namen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {V } {K } {} heißt eine \definitionswort {Linearform}{} auf $V$.
}
Das totale Differential
\mathl{\left(Df\right)_{P}}{} zu
\maabb {f} {G} {\R
} {}
ist also eine Linearform.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Dann heißt der
\definitionsverweis {Homomorphismenraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { V }^{ * }
}
{ =} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der \definitionswort {Dualraum}{} zu $V$.
}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so bilden die partiellen Ableitungen in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Matrix mit einer einzigen Zeile, nämlich
\mathdisp {\left( { \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } } (P) , \, \ldots , \, { \frac{ \partial f }{ \partial x_n } } (P) \right)} { , }
die bei stetigen partiellen Ableitungen das totale Differential repräsentiert. Eine solche Matrix kann man aber ebenso gut als ein $n$-Tupel in ${\mathbb K}$ und damit als einen Vektor über ${\mathbb K}^n$ auffassen. Dieser Zusammenhang zwischen Vektoren und Linearformen beruht auf dem Standardskalarprodukt des ${\mathbb K}^n$, und lässt sich konzeptioneller mit Hilfe von Bilinearformen erfassen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine Abbildung
\maabbeledisp {} {V \times V } {K
} {(v,w)} {\left\langle v , w \right\rangle
} {,}
heißt \definitionswort {Bilinearform}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {w} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
und für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {v} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{}
sind.
}
Eine wichtige Eigenschaft von Bilinearformen, die Skalarprodukte erfüllen, wird in der nächsten Definition formuliert.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\maabbeledisp {} {V \times V } {K
} {(v,w)} {\left\langle v , w \right\rangle
} {,}
heißt \definitionswort {nicht ausgeartet}{,} wenn für alle
\mathl{v \in V, \, v \neq 0}{,} die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {w} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
und für alle
\mathl{w \in V,\, w \neq 0}{,} die induzierten Abbildungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {v} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
nicht die
\definitionsverweis {Nullabbildung}{}{}
sind.
}
In dieser Vorlesung werden wir für Vektorräume, auf denen eine nicht-ausgeartete Bilinearform gegeben ist, eine bijektive Beziehung zwischen Vektoren und Linearformen beweisen und damit einen Zusammenhang zwischen dem totalen Differential zu einer Funktion in einem Punkt und einem Vektor, dem sogenannten Gradienten der Funktion in diesem Punkt, herstellen.
\zwischenueberschrift{Der Gradient}
\inputfaktbeweis
{Bilinearform/Linearformen/Nicht ausgeartet/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} der mit einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} versehen sei.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Zuordnungen
\maabbeledisp {} {V} {K
} {v} { \left\langle u , v \right\rangle
} {,}
und
\maabbeledisp {} {V} {K
} {v} { \left\langle v , u \right\rangle
} {,}
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{.}
}{Die Zuordnung
\maabbeledisp {} {V} { { V }^{ * }
} {u} { \left\langle u , - \right\rangle
} {,}
ist $K$-linear.
}{Wenn
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
\definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{}
ist, so ist die Zuordnung in (2)
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
Ist $V$ zusätzlich
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{,}
so ist diese Zuordnung
\definitionsverweis {bijektiv}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) folgt unmittelbar aus der Bilinearität.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1,u_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1,a_2
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle a_1u_1+a_2u_2 , v \right\rangle
}
{ =} { a_1 \left\langle u_1 , v \right\rangle +a_2 \left\langle u_2 , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und dies bedeutet gerade die Linearität der Zuordnung.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3). Da die Zuordnung nach (2) linear ist, müssen wir zeigen, dass der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
davon trivial ist. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
so, dass
\mathl{\left\langle u , - \right\rangle}{} die Nullabbildung ist. D.h.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle u , v \right\rangle
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann muss aber nach der Definition von
\definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn $V$ endliche Dimension hat, so liegt eine injektive lineare Abbildung zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension vor, und eine solche ist nach
Korollar 11.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
bijektiv.}
{}
Wenn es also in einem endlichdimensionalen Vektorraum eine nicht ausgeartete Bilinearform gibt, beispielsweise ein Skalarprodukt, so gibt es zu jeder Linearform einen eindeutig bestimmten Vektor, mit dem diese Linearform beschrieben werden kann. Wendet man dies auf die Linearform an, die durch das totale Differential zu einer differenzierbaren Funktion
\maabb {f} {V} {\R
} {}
gegeben ist, so gelangt man zum Begriff des Gradienten.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(V, \left\langle - , - \right\rangle)}{} ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}
Dann nennt man den eindeutig bestimmten Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( Df \right) }_{P} { \left( v \right) }
}
{ =} { \left\langle w , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Gradienten}{} von $f$ in $P$. Er wird mit
\mathdisp {\operatorname{Grad} \, f ( P )} { }
bezeichnet.
}
Man beachte, dass wir durchgehend die endlichdimensionalen Vektorräume mit einem Skalarprodukt versehen, um topologische Grundbegriffe wie Konvergenz und Stetigkeit zur Verfügung zu haben, dass diese Begriffe aber nicht von dem gewählten Skalarprodukt abhängen. Dem entgegen hängt aber der Gradient von dem gewählten Skalarprodukt ab.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
versehen mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{,}
ist der Gradient einfach gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\operatorname{Grad} \, f ( P )
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } } (P) \\\vdots\\ { \frac{ \partial f }{ \partial x_n } } (P) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputbemerkung
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {differenzierbaren Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R^n} {\R
} {}
lässt sich der Gradient
\zusatzklammer {bezüglich des Standardskalarproduktes} {} {}
einfach durch partielles Differenzieren berechnen. Es wäre aber eine künstliche Einschränkung, nur diese Situation zu betrachten. Um dies zu illustrieren sei beispielsweise
\maabbdisp {f} {\R^3} {\R
} {}
eine differenzierbare Funktion und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ebene, die etwa als Lösungsmenge der linearen Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 5x-4y+9z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sei. Dann induziert das Standardskalarprodukt des $\R^3$ durch Einschränkung ein Skalarprodukt auf $E$. Diese Ebene ist zwar isomorph zu $\R^2$, es ergibt aber keinen Sinn, das eingeschränkte Skalarprodukt als Standardskalarprodukt anzusprechen. Der Gradient $G$ zu $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
lässt sich direkt mit den partiellen Ableitungen zu den drei Raumkoordinaten berechnen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird im Allgemeinen der Gradient
\betonung{nicht}{} auf $E$ liegen. Die eingeschränkte Funktion
\maabbdisp {f {{|}}_E} {E} {\R
} {}
ist aber ebenfalls differenzierbar und besitzt daher einen Gradienten $\tilde{G}$, der auf $E$ liegt, und dieser lässt sich nicht über partielle Ableitungen berechnen, da es auf $E$ keine Standardbasis gibt. Übrigens ist $\tilde{G}$ die
\definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{}
von $G$ auf $E$.
}
\inputfaktbeweis
{Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(V, \left\langle - , - \right\rangle )}{} ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { { \left( Df \right) }_{P} { \left( v \right) } }
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {
\operatorname{Grad} \, f ( P ) } \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn $v$
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{}
zum
\definitionsverweis {Gradienten}{}{}
ist.
}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
\operatorname{Grad} \, f ( P )
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Unter allen Vektoren
\mathbed {v \in V} {mit}
{\Vert {v} \Vert =1} {}
{} {} {} {}
ist die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in Richtung des normierten Gradienten maximal, und zwar gleich der
\definitionsverweis {Norm}{}{}
des Gradienten.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) folgt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( Df \right) }_{P} { \left( v \right) }
}
{ =} { \left\langle v ,
\operatorname{Grad} \, f ( P ) \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
direkt aus der
Abschätzung von Cauchy-Schwarz.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2) ergibt sich aus den Zusätzen zur Abschätzung von Cauchy-Schwarz, siehe
Aufgabe 32.13.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3). Aus (1) und (2) folgt, dass
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \betrag { \left\langle
\operatorname{Grad} \, f ( P ) , \pm { \frac{
\operatorname{Grad} \, f ( P ) }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, f ( P )} \Vert } } \right\rangle }
}
{ =} { \betrag { { \left( Df \right) }_{P} { \left( \pm { \frac{
\operatorname{Grad} \, f ( P ) }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, f ( P )} \Vert } } \right) } }
}
{ =} { \Vert {
\operatorname{Grad} \, f ( P )} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
gilt, und dass diese beiden Vektoren die einzigen Vektoren der Norm $1$ sind, für die diese Gleichung gilt. Wenn man links die Betragstriche weglässt, so gilt die Gleichheit für
\mathl{{ \frac{
\operatorname{Grad} \, f ( P ) }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, f ( P )} \Vert } }}{} nach wie vor, da das Skalarprodukt positiv definit ist.}
{}
Der Gradient gibt demnach die Richtung an, in die die Funktion den stärksten Anstieg hat. In die entgegengesetze Richtung liegt entsprechend der steilste Abstieg vor.
\inputbeispiel{}
{
Ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left( x , \, y \right)
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
legt das Rechteck mit den Eckpunkten
\mathl{\left( 0 , \, 0 \right) ,\, \left( x , \, 0 \right) , \,\left( 0 , \, y \right) , \, \left( x , \, y \right)}{} fest. Wenn der Punkt
\mathl{\left( x , \, y \right)}{} bewegt wird, bewegt sich das zugehörige Rechteck mit.
In welche Richtung muss der Punkt
\mathl{\left( x , \, y \right)}{} bewegt werden, damit der Umfang des Rechteckes möglichst schnell wächst? Der Umfang des Rechteckes ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U(x,y)
}
{ =} { 2x+2y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben, nach
Satz 47.8
wächst diese Funktion am schnellsten in Richtung des Gradienten, also in Richtung
\mathl{\left( 2 , \, 2 \right)}{,} was insbesondere unabhängig vom gegebenen Eckpunkt ist.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {RechteckGradient.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { RechteckGradient.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
In welche Richtung muss der Punkt
\mathl{\left( x , \, y \right)}{} bewegt werden, damit der Flächeninhalt des Rechteckes möglichst schnell wächst? Der Flächeninhalt des Rechteckes ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x,y)
}
{ =} { x y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben, nach
Satz 47.8
wächst diese Funktion am schnellsten in Richtung des Gradienten, also in Richtung
\mathl{\left( y , \, x \right)}{.}
}
\zwischenueberschrift{Gradient und Niveaumengen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Schoenberg-ebringen-isohypsen.png} }
\end{center}
\bildtext {In einer topographischen Karte wird ein Gebirge durch seine Niveaulinien (Höhenlinien) repräsentiert.} }
\bildlizenz { Schoenberg-ebringen-isohypsen.png } {} {W-j-s} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {G} { {\mathbb K}
} {,}
wobei $G$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
sei, nennt man zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N_c
}
{ =} { { \left\{ x \in G \mid f(x) = c \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Niveaumenge}{} zu $f$ zum Wert $c$.
}
Wir werden Niveaumengen
\zusatzklammer {ein anderes Wort ist \stichwort {Faser} {} oder bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch \stichwort {Höhenlinie} {}} {} {}
später systematischer untersuchen. Die folgende Aussage bedeutet, dass der Gradient stets senkrecht auf den Niveaumengen steht. Da ein Bach stets dem steilsten Abstieg folgt, verläuft ein Bach stets senkrecht zu den Höhenlinien.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Ohwr.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Eine Panoramakarte des Oberharzer Wasserregals. Hier verlaufen die Bäche senkrecht zum Wassergraben, der ja auch ein Bach ist. Widerspricht dies
Lemma 47.11?} }
\bildlizenz { Ohwr.jpg } {} {Hans-Jürgen Boyke} {de wikipedia} {OTRS} {}
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Raum/Differenzierbare Funktion/Kurve in Niveaumenge/Senkrecht auf Gradient/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(V, \left\langle - , - \right\rangle)}{} ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {f} {G} {\R
} {}
eine in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {h} {I} {G
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(0)
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die ganz innerhalb einer Niveaumenge von $f$ verläuft.}
\faktfolgerung {Dann steht der
\definitionsverweis {Gradient}{}{}
zu $f$ senkrecht auf $h'(0)$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $N$ die
\definitionsverweis {Niveaumenge}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
in der die Kurve $h$ verlaufe. Dann ist die Hintereinanderschaltung
\mathl{f \circ h}{} konstant gleich $c$ und daher ist unter Verwendung der
Kettenregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { \left(D (f \circ h) \right)_{0}
}
{ =} { \left(D f \right)_{P} \circ \left(D h\right)_{0}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher liegt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D h\right)_{0} (1)
}
{ =} { h'(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Kern von
\mathl{\left(D f \right)_{P}}{,} und das bedeutet, dass
\mathl{h'(0)}{} senkrecht auf dem Gradienten steht.
\zwischenueberschrift{Lokale Extrema von Funktionen in mehreren Variablen}
Wir wollen mit den Mitteln der Differentialrechnung Kriterien erarbeiten, in welchen Punkten eine Funktion \maabbdisp {f} { G } { \R } {} ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum annimmt. Wenn man sich den Graphen einer solchen Funktion als ein Gebirge über der Grundmenge $G$ vorstellt, so geht es also um die Gipfel und die Senken des Gebirges. Der folgende Satz liefert ein notwendiges Kriterium für die Existenz eines lokalen Extremums, das das entsprechende Kriterium \zusatzklammer {Satz 19.1} {} {} in einer Variablen verallgemeinert.
\inputfaktbeweis
{Lokales Extremum/Richtungsableitung/Totales Differential/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge.}
\faktvoraussetzung {Es sei
\maabbdisp {f} {G } {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{,}
die im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {lokales Extremum}{}{}
besitzt.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Wenn $f$ in $P$ in Richtung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} f \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Wenn $f$ in $P$
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist, so verschwindet das totale Differential, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir die Funktion
\maabbeledisp {h} {I} {\R
} {t} {h(t) = f(P+tv)
} {,}
wobei $I$ ein geeignetes reelles Intervall ist. Da die Funktion $f$ in $P$ ein lokales Extremum besitzt, besitzt die Funktion $h$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls ein lokales Extremum. Nach Voraussetzung ist $h$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und nach
Satz 19.1
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h'(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Ableitung stimmt aber mit der Richtungsableitung überein, also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} f \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { h'(0)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2) folgt aus (1) aufgrund von
Proposition 46.1.}
{}
Ein lokales Extremum kann also nur in einem sogenannten kritischen Punkt einer Funktion auftreten.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {f} {G } {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}
Dann heißt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein \definitionswort {kritischer Punkt}{} von $f$
\zusatzklammer {oder ein \definitionswort {stationärer Punkt}{}} {} {,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Andernfalls spricht man von einem \definitionswort {regulären Punkt}{.}
}
Bei einer differenzierbaren Funktion \maabb {f} { \R^n } { \R } {} ist $P$ genau dann ein kritischer Punkt, wenn sämtliche partiellen Ableitungen von $f$ in $P$ gleich $0$ sind.