Kurs:Analysis 3/14/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	6

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine Borelmenge in einem topologischen Raum ${}(X,{\mathcal {T}})$ .
Eine maßtreue Abbildung
$\varphi \colon M\longrightarrow N$

zwischen Maßräumen ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ .
Eine ${}\sigma$ -einfache Funktion
$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

auf einem Messraum ${}(M,{\mathcal {A}})$ .
Das Maß zu einer Dichte ${}g$ auf einem Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ .
Eine orientierte Karte einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ .
Eine in ${}P\in U$ differenzierbare Abbildung
$\varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{m},$

wobei ${}U\subseteq H$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Halbraum ${}H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet.

Es sei ${}(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${}{\mathcal {T}}$ erzeugte ${}\sigma$ - Algebra die Menge der Borel-Mengen von ${}M$ .
Eine maßtreue Abbildung ist eine messbare Abbildung
$\varphi \colon M\longrightarrow N$

mit der Eigenschaft, dass für jede messbare Menge ${}T\subseteq N$ die Beziehung

${}\nu (T)=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$

gilt.
Die messbare numerische Funktion
$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

heißt ${}\sigma$ -einfach, wenn sie nur abzählbar viele Werte besitzt.
Man nennt das für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq M$ durch
${}\nu (T):=\int _{T}g\,d\mu \,$

definierte Maß auf ${}M$ das Maß zur Dichte ${}g$ .
Eine Karte
$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen heißt orientiert, wenn der ${}\mathbb {R} ^{n}$ orientiert ist.
Die Abbildung ${}\varphi$ heißt differenzierbar in ${}P$ , wenn es eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und eine Fortsetzung
${\tilde {\varphi }}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

mit ${}{\tilde {\varphi }}{|}_{U\cap V}=\varphi {|}_{U\cap V}$ gibt, die in ${}P$ differenzierbar ist.

Formuliere die folgenden Sätze.

/Fakt
Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}m$ . Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von ${}V$ und es sei ${}n\in \mathbb {N}$ . Dann bilden die Dachprodukte
$v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$
eine Basis von ${}\bigwedge ^{n}V$ .
/Fakt