Kurs:Analysis 3/14/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	6

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Borelmenge in einem topologischen Raum ${}(X,{\mathcal {T}})$.
2. Eine maßtreue Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   zwischen Maßräumen ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$.

3. Eine ${}\sigma$-einfache Funktion

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   auf einem Messraum ${}(M,{\mathcal {A}})$.

4. Das Maß zu einer Dichte ${}g$ auf einem Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.

Lösung

1. Es sei ${}(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${}{\mathcal {T}}$ erzeugte ${}\sigma$- Algebra die Menge der Borel-Mengen von ${}M$.
2. Maßräume/Messbare Abbildung/Maßtreu/Definition/Begriff/Inhalt
3. Messraum/Sigmaeinfache Funktion/Definition/Begriff/Inhalt
4. Man nennt das für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq M$ durch

   ${}\nu (T):=\int _{T}g\,d\mu \,$

   definierte Maß auf ${}M$ das Maß zur Dichte ${}g$.

5. Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientierte Karte/Definition/Begriff/Inhalt
6. Halbräume/Differenzierbare Abbildung/Über Ausdehnung/Definition/Begriff/Inhalt

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. Der Satz über Basen in einem Dachprodukt.
3. /Fakt/Name

Lösung

1. /Fakt
2. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}m$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von ${}V$ und es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Dann bilden die Dachprodukte

   $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$

   eine Basis von ${}\bigwedge ^{n}V$.
3. /Fakt

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

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