Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 7/latex

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\setcounter{section}{7}






\zwischenueberschrift{Beringte Räume}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} der mit einer \definitionsverweis {Garbe}{}{} von \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{} versehen ist, heißt \definitionswort {beringter Raum}{.}

}

Ein beringter Raum wird oft in der Form
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} angegeben, wobei $X$ der zugrunde liegende Raum ist und ${\mathcal O}_{ X }$ die Garbe von kommutativen Ringen ist. Diese heißt die \stichwort {Strukturgarbe} {} des beringten Raumes. Die Auswertung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma(U, {\mathcal O}_{ X }) }
{ = }{ {\mathcal O}_{ X } (U) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nennt man auch den \stichwort {Schnittring} {} zur offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mathl{\Gamma(U, {\mathcal O}_{ X })}{} den \stichwort {globalen Schnittring} {.} Im Anschluss an Beispiel 3.9 bzw. Beispiel 3.10 haben wir die folgenden Standardbeispiele.




\inputbeispiel{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Zu jeder offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal C } { \left( U \right) } }
{ =} { C^0 (U,\R) }
{ =} { { \left\{ f:U \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein kommutativer Ring und die Zuordnung
\mathl{U \mapsto { \mathcal C } { \left( U \right) }}{} ist mit den natürlichen Restriktionsabbildungen eine \definitionsverweis {Garbe}{}{,} wodurch $X$ zu einem \definitionsverweis {beringten Raum}{}{} wird.


}




\inputbeispiel{}
{

Auf einer \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $M$ ist zu jeder offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C^1 (U,\R) }
{ =} { { \left\{ f:U \rightarrow \R \mid f \text{ stetig differenzierbar} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine \definitionsverweis {Garbe}{}{,} wodurch $M$ zu einem \definitionsverweis {beringten Raum}{}{} wird.


}




\inputbeispiel{}
{

Auf einer \definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeit}{}{} $M$ ist zu jeder offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C^1 (U,{\mathbb C} ) }
{ =} { { \left\{ f:U \rightarrow {\mathbb C} \mid f \text{ holomorph} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine \definitionsverweis {Garbe}{}{,} wodurch $M$ zu einem \definitionsverweis {beringten Raum}{}{} wird.


}




\inputbeispiel{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{\{P\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein einpunktiger \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Dieser wird durch die Festlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) }
{ \defeq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma (\emptyset, {\mathcal O}_X ) }
{ \defeq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu einem \definitionsverweis {beringten Raum}{}{.}


}




\inputdefinition
{}
{

Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einem \definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
\mathl{(X , {\mathcal O}_{ X } )}{} nennt man den \definitionsverweis {Halm}{}{} der \definitionsverweis {Strukturgarbe}{}{} den \definitionswort {Halm}{} im Punkt $P$.

} Er wird mit
\mathl{{\mathcal O}_{ X, P }}{} oder kurz mit
\mathl{{\mathcal O}_{ P }}{} bezeichnet.






\zwischenueberschrift{Morphismen von beringten Räumen}

Zu einer stetigen Abbildung \maabb {\varphi} {X} {Y } {} zwischen topologischen Räumen gehört zu jeder offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq }{Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { C^0 (V,\R) } {C^0 ( \varphi^{-1}(V),\R) } {f} { f \circ \varphi } {.} Für diese zurückgezogene stetige Funktion schreibt man auch $\varphi^*f$. Diese Schreibweise verwenden wir auch in der folgenden abstrakten Definition.




\inputdefinition
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( X, {\mathcal O}_X \right) }} {und} {{ \left( Y, {\mathcal O}_Y \right) }} {} \definitionsverweis {beringte Räume}{}{.} Ein \definitionswort {Morphismus beringter Räume}{} ist eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {X} {Y } {} zusammen mit einer Familie von \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} \maabbdisp {\varphi^*_V} { \Gamma (V, {\mathcal O}_Y ) } {\Gamma ( \varphi^{-1}(V), {\mathcal O}_X ) } {} zu jeder offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq }{Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die mit den \definitionsverweis {Restriktionsabbildungen}{}{} verträglich sind.

}

Die Verträglichkeit bedeutet, dass für offene Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W }
{ \subseteq }{V }
{ \subseteq }{Y }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} \Gamma (V, {\mathcal O}_Y ) & \stackrel{ \varphi^*_V }{\longrightarrow} & \Gamma ( \varphi^{-1}(V), {\mathcal O}_X ) & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \Gamma (W, {\mathcal O}_Y ) & \stackrel{ \varphi^*_W }{\longrightarrow} & \Gamma ( \varphi^{-1}(W), {\mathcal O}_X ) & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert. Ein Morphismus \maabb {\varphi} {X} {Y } {} von beringten Räumen induziert für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einen Ringhomomorphismus der Halme \maabbdisp {} { {\mathcal O}_{Y, \varphi(P)} } {{\mathcal O}_{X,P} } {,} wobei ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ {\mathcal O}_{Y, \varphi(P)} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} das durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ \Gamma (V, {\mathcal O}_Y ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer offenen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(P) }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} repräsentiert wird, auf den Keim von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^*(f) }
{ \in }{ \Gamma (\varphi^{-1}(V), {\mathcal O}_X ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} abgebildet wird.




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Morphismus beringter Räume}{}{} \maabb {\varphi} {(X, {\mathcal O}_{ X }) } {(Y, {\mathcal O}_{ Y }) } {} heißt \definitionswort {Isomorphismus}{,} wenn es einen Morphismus \maabb {\psi} {(Y, {\mathcal O}_{ Y }) } {(X, {\mathcal O}_{ X }) } {} beringter Räume mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi \circ \varphi }
{ = }{ \operatorname{Id}_{ X } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \psi }
{ = }{ \operatorname{Id}_{ Y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {als Identität von beringten Räumen} {} {} gibt.

}






\zwischenueberschrift{Verklebungsdaten für beringte Räume}

Die folgende Konstruktion ist eine Erweiterung von Lemma 2.6.




\inputdefinition
{}
{

Unter einem \definitionswort {Verklebungsdatum}{} für \definitionsverweis {beringte Räume}{}{} versteht man den folgenden Datensatz. \aufzaehlungvier{Eine Familie
\mathbed {(U_i, {\mathcal O}_{ U_i } )} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} von beringten Räumen. }{Für jedes Paar
\mathl{(i,j)}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_{i j} }
{ \subseteq }{ U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{U_{ii} }
{ = }{U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} }{Für jedes Paar
\mathl{(i,j)}{} einen \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi_{ji}} { { \left( U_{ij}, {\mathcal O}_{ U_{ij} } \right) } } { { \left( U_{ji}, {\mathcal O}_{ U_{ji} } \right) } } {} von \definitionsverweis {beringten Räumen}{}{} \zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \varphi_{ii} }
{ = }{ \operatorname{Id}_{ (U_i, {\mathcal O}_{ U_{i} } ) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}} {} {} }{Für Indizes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i,j,k }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die \definitionswort {Kozykelbedingung}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_{kj} \circ \varphi_{ji} }
{ =} { \varphi_{ki} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als Homomorphismus von
\mathl{U_{ik} \cap U_{ij}}{} nach
\mathl{U_{k}}{} erfüllt. }

}





\inputfaktbeweis
{Beringte Raum/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei ein \definitionsverweis {Verklebungsdatum}{}{}
\mathbed {(U_i, {\mathcal O}_{ U_i } )} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} für \definitionsverweis {beringte Räume}{}{} gegeben.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen beringten Raum
\mathl{{ \left( X , {\mathcal O}_{ X } \right) }}{,} eine offene Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} V_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \definitionsverweis {Isomorphismen}{}{} \maabb {\psi_i} {U_i} { V_i } {} derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi_i { \left( U_{ij} \right) } }
{ =} { V_i \cap V_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi_i {{|}}_{U_{ij} } }
{ =} {\psi_j {{|}}_{U_{ji} } \circ \varphi_{ji} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Existenz eines zugrunde liegenden Raumes $X$ ergibt sich aus Lemma 2.6. Zu einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegt eine Überdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W }
{ =} { \bigcup_{i \in I} W \cap V_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vor und wir setzen
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{\Gamma(W, {\mathcal O}_{ X } ) }
{ \defeq} { { \left\{ (s_i, i \in I) \mid s_i \in \Gamma(\psi_i^{-1} (W \cap V_i), {\mathcal O}_{ U_i } ) , \, \varphi_{ji } { \left( s_i {{|}}_{ \psi_i^{-1}(W) \cap U_{i j} } \right) } = s_j {{|}}_{\psi_j^{-1}(W) \cap U_{ji} } \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist eine Garbe auf $X$ von kommutativen Ringen, die auf den $V_i$ über die $\psi_i$ mit den vorgegebenen Garben auf $U_i$ übereinstimmt.

}







\zwischenueberschrift{Lokal beringte Räume}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} heißt \definitionswort {lokal beringt}{,} wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Halm}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_P}{} ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} ist.

}




\inputbeispiel{}
{

Ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} $X$ ist mit der Garbe der stetigen Funktionen
\mathl{C^0 (-,\R)}{} ein \definitionsverweis {lokal beringter Raum}{}{:} Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine in einer offenen Umgebung von $x$ definierte stetige Funktion $f$ gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(P) }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn es eine offene Umgebung gibt, auf der $f$ invertierbar ist. Daher sind die \definitionsverweis {Halme}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_P}{} \definitionsverweis {lokale Ringe}{}{} und $X$ ist lokal beringt.


} Entsprechendes gilt auf einer reellen oder komplexen Mannigfaltigkeit.




\inputdefinition
{}
{

Zu einem \definitionsverweis {lokal beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} und einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nennt man den \definitionsverweis {Restekörper}{}{} des lokalen Ringes
\mathl{{\mathcal O}_P}{} den \definitionswort {Restekörper}{} von $P$. Er wird mit
\mathl{\kappa (P)}{} bezeichnet.

}

Der Restekörper bei einem topologischen Raum versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen ist einfach $\R$, siehe Aufgabe 7.16.




\inputdefinition
{}
{

Zu einem \definitionsverweis {lokal beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{,} einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einer globalen Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ \Gamma (X, {\mathcal O} ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nennt man den Wert von $f$ im \definitionsverweis {Restekörper}{}{} $\kappa (x)$ von $x$ die \definitionswort {Auswertung}{} von $f$ in $x$. Sie wird mit
\mathl{f(x)}{} bezeichnet.

}

IN einem lokal beringten Raum hat man zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ \Gamma(X, {\mathcal O}_{ X } ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Äquivalenz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(P) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in $\kappa (P)$ genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_P }
{ \in }{ {\mathfrak m}_P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn $f_P$ ist keine \definitionsverweis {Einheit}{}{} in ${\mathcal O}_{X,P}$.




\inputdefinition
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( X, {\mathcal O}_X \right) }} {und} {{ \left( Y, {\mathcal O}_Y \right) }} {} \definitionsverweis {lokal beringte Räume}{}{.} Ein \definitionswort {Morphismus lokal beringter Räume}{} von $X$ nach $Y$ ist ein \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabb {\varphi} {X} {Y } {} der beringten Räume, für den die induzierten \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} \maabbdisp {\varphi_P^*} { {\mathcal O}_{Y, \varphi(P)} } { {\mathcal O}_{X, P} } {} für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {lokale Homomorphismen}{}{} sind.

}






\zwischenueberschrift{Der Invertierbarkeitsort}





\inputfaktbeweis
{Lokal beringter Raum/Funktion/Invertierbarkeit/Offen/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Zu einem \definitionsverweis {lokal beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} und einer globalen Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X_f }
{ \defeq} { { \left\{ P\in X \mid f(P) \neq 0 \text{ in } \kappa (P) \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}}
\faktfolgerung {\definitionsverweis {offen}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Zunächst ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(P) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im \definitionsverweis {Restekörper}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ {\mathfrak m}_P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im lokalen Ring ${\mathcal O}_P$ gilt, und dies ist genau dann der Fall, wenn $f$ in ${\mathcal O}_P$ nicht invertierbar ist. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{X_f }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist $f$ in ${\mathcal O}_P$ invertierbar und es gibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \in }{{\mathcal O}_P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{gf }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es gibt eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit \zusatzklammer {einem Repräsentanten} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g }
{ \in} { \Gamma (U, {\mathcal O} ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und eine eventuell kleinere offene Umgebung $U'$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Auf dieser offenen Umgebung ist somit $f$ invertierbar und es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ U' }
{ \subseteq }{X_f }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Vereinigung dieser offenen Umgebungen zeigt, dass $X_f$ offen ist.

}


Die Menge der Punkte, für die $f$ als Element im Halm ${\mathcal O}_P$ nicht $0$ ist, muss hingegen nicht offen sein, siehe Beispiel 11.17.




\inputdefinition
{}
{

Zu einem \definitionsverweis {lokal beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} und einer globalen Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X_f }
{ \defeq} { { \left\{ P\in X \mid f(P) \neq 0 \text{ in } \kappa (P) \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den \definitionswort {Invertierbarkeitsort}{} von $f$.

}

Nach Aufgabe 7.20 ist $f$ in
\mathl{\Gamma (X_f, {\mathcal O}_X )}{} eine Einheit.





\inputfaktbeweis
{Lokal beringte Räume/Morphismus/Invertierbarkeitsort/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {lokal beringte Räume}{}{} und \maabb {\varphi} {X} {Y } {} ein \definitionsverweis {Morphismus lokal beringter Räume}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für die \definitionsverweis {Invertierbarkeitsorte}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ \Gamma (Y, {\mathcal O}_Y ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(Y_f) }
{ =} { X_{\varphi^*f} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Das Element $f$ ist in
\mathl{\Gamma (Y_f, {\mathcal O}_Y )}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} und der Ringhomomorphismus \maabbdisp {} { \Gamma (Y_f, {\mathcal O}_Y ) } { \Gamma ( \varphi^{-1} { \left( Y_f \right) } , {\mathcal O}_X ) } {} zeigt, dass
\mathl{\varphi^*f}{} in
\mathl{\Gamma ( \varphi^{-1} { \left( Y_f \right) } , {\mathcal O}_X )}{} eine Einheit ist, was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1} { \left( Y_f \right) } }
{ \subseteq }{ X_{\varphi^*f} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bedeutet. Für einen Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ \in} {X_{\varphi^*f} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mathl{{\varphi^*f}}{} eine Einheit im lokalen Ring
\mathl{{\mathcal O}_{X, P}}{.} Wegen der Lokalität des Ringhomomorphismus \maabbdisp {} {{\mathcal O}_{Y,\varphi(P)} } {{\mathcal O}_{X,P} } {} muss auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{{\mathcal O}_{Y,\varphi(P)} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Einheit sein, was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(P) }
{ \in }{ Y_f }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ \in} { \varphi^{-1} { \left( Y_f \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bedeutet.

}



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