Zum Inhalt springen

Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 24/latex

Aus Wikiversity

\setcounter{section}{24}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit \definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{} und sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, U \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, V \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, W \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{} von \definitionsverweis {differenzierbaren Vektorbündeln}{}{} über $X$. Zeige mit Hilfe von Satz 22.10, dass es eine Spaltung der Sequenz gibt, also einen Vektorbündelisomorphismus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \cong }{ U \oplus W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} der mit den Bündelhomomorphismen verträglich ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabb {h} {W} { \R } {} eine zweifach \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ h^{-1}(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ \definitionsverweis {regulär}{}{} sei. Das erste und das zweite \definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{} von $Y$ seien als \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} in $W \times \R^n$ bzw. in
\mathl{W \times \R^n \times \R^n \times \R^n}{} im Sinne von Bemerkung 24.4 zusammen mit den Bündelprojektionen \maabbeledisp {\pi} {TY} {Y } {(P,u)} {P } {,} und \maabbeledisp {q} {TTY} {TY } {(P,u,v,w)} {(P,u) } {,} realisiert. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbeledisp {\epsilon} {I} { TY } {t} { (P(t), u(t)) } {,} auf einem offenen Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definiert den \definitionsverweis {Tangentialvektor}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [\epsilon] }
{ = }{ (P(0), u(0), P'(0), u'(0)) }
{ \in }{ TTY }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Unter der \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T_{(P,u)} (\pi)} {T_{ (P,u)} TY} { T_PY } {} zu $\pi$ wird die Klasse
\mathl{[\epsilon]}{} aus (1) auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ \pi \circ \epsilon ] }
{ =} { [P'(0)] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} abgebildet. }{Unter der \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabb {T(\pi)} {TTY} {TY } {} zu $\pi$ wird
\mathl{(P,u,v,w)}{} auf
\mathl{(P,v)}{} abgebildet. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für den Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y }
{ =} { { \left\{ (x_1,x_2) \mid x_1^2 + x_2^2 = 1 \right\} } }
{ \subset} { \R^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine implizite Beschreibung des \definitionsverweis {Tangentialbündels}{}{} $TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ im Sinne von Bemerkung 24.5.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabb {\varphi} {W} { \R^k } {} eine $C^2$-\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Abbildung,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R^k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ \varphi^{-1} (c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} über $c$, die in jedem Punkt \definitionsverweis {regulär}{}{} sei. Man entwickle eine implizite Beschreibung \zusatzklammer {also mit Gleichungen} {} {} des \definitionsverweis {Tangentialbündels}{}{} $TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ ähnlich zu Bemerkung 24.5.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine $C^2$-\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I,J }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offene Intervalle}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \in }{ I,J }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei \maabbeledisp {\varphi} {I \times J} {X } {(s,t)} { \varphi(s,t) } {,} eine zweifach \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Abbildung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(0,0) }
{ = }{ P }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungvier{Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abbildung
\mathl{\varphi {{|}}_{ \{s\} \times J }}{} eine differenzierbare Kurve in $X$ definiert. }{Zeige, dass durch (1) eine differenzierbare Kurve \maabbeledisp {} {I} {TX } {s} { [ \varphi {{|}}_{ \{s\} \times J } ] } {,} definiert wird, wobei
\mathl{[ \varphi {{|}}_{ \{s\} \times J } ]}{} den Tangentialvektor dieses Weges im Punkt $(s,0)$ bezeichnet. }{Zeige, dass durch (2) ein Element in
\mathl{TTY}{} bestimmt ist. }{Zeige, dass man jedes Element aus
\mathl{TTY}{} durch eine Abbildung $\varphi$ wie oben realisieren kann. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine $C^2$-\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.} Wir betrachten zweifach \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Abbildungen \maabbeledisp {\varphi} {I \times J} {X } {(s,t)} { \varphi(s,t) } {,} als Elemente in
\mathl{TTX}{} im Sinne von Aufgabe 24.5. Wie verhalten sich diese Realisierungen unter der kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, p^*TX \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, TTX \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, p^*TX \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {} {E} {X } {} ein \definitionsverweis {differenzierbares Vektorbündel}{}{} über einer \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $X$. Bestimme die \definitionsverweis {Ränge}{}{} für die Vektorbündel über $E$ in der kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, V \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, TE \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, p^* TX \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Zusammenhänge}{}{} auf dem Nullbündel auf einer \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $X$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Zusammenhänge}{}{} auf einem \definitionsverweis {Vektorbündel}{}{} auf einer einpunktigen \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit}{}{} $X$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und $E$ ein \definitionsverweis {differenzierbares Vektorbündel}{}{} auf $X$, das mit einem \definitionsverweis {Zusammenhang}{}{} versehen sei. Zeige, dass man das Konzept vertikale Ableitung auch längs einer differenzierbaren Abbildung \maabbdisp {\psi} {Z} {X } {} einführen kann, vergleiche hierzu auch Definition 6.5.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, U \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, V \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, W \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{} von \definitionsverweis {Vektorbündeln}{}{} über $X$. Es sei \maabb {\varphi} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} von einem weiteren topologischen Raum $Y$. Zeige, dass der Rückzug zu einer kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \varphi^*U \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, \varphi^*V \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \varphi^*W \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
von Vektorbündeln auf $Y$ führt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3 (1+2)}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {offenes Intervall}{}{,} wir betrachten die \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{} \zusatzklammer {von Vektorbündeln über $I \times \R$} {} {}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, I \times \R \times \R \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, I \times \R \times \R \times \R \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, I \times \R \times \R \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { , }
wobei die erste Abbildung durch
\mathl{(P,u,w) \mapsto (P,u,0,w)}{} und die zweite Abbildung durch
\mathl{(P,u,v,w) \mapsto (P,u,v)}{} gegeben sei. Es seien \maabbdisp {g,h} {I \times \R } {\R } {} stetig differenzierbare Funktionen. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass durch \maabbeledisp {} {I \times \R \times \R \times \R } {I \times \R \times \R } {(P,u,v,w)} { (P,u, v g(P,u) +w h(P,u) ) } {,} ein Vektorbündelhomomorphismus über $I \times \R$ gegeben ist. }{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} konstant. Zeige, dass die Abbildung in (1) eine Spaltung des Bündels in der Mitte definiert. }{ }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für die ebene Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y }
{ =} { { \left\{ (x_1,x_2) \mid x_1^3 -5x_1x_2 + x_2^4 = 1 \right\} } }
{ \subset} { \R^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine implizite Beschreibung des \definitionsverweis {Tangentialbündels}{}{} $TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ im Sinne von Bemerkung 24.5.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5 (3+2)}
{

Wir betrachten die differenzierbare Fläche
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y }
{ =} { { \left\{ (x_1,x_2,x_3) \mid x_1^2+x_2^2 -x_3^2 = 0 , \, (x,y,z) \neq 0 \right\} } }
{ \subseteq} { W }
{ =} { \R^3 \setminus \{(0,0,0) \} }
{ \subset} { \R^3 }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Bestimme eine implizite Beschreibung des \definitionsverweis {Tangentialbündels}{}{} $TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ im Sinne von Bemerkung 24.5. } {Berechne für die differenzierbare Kurve \maabbeledisp {} {I} {Y } {t} { \left( \cos t , \, \sin t , \, 1 \right) } {} die zughörige Kurve in das Tangentialbündel und in das zweite Tangentialbündel. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E }
{ = }{ U \times \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei wir Funktionen \maabb {f} {U} {\R } {} als \definitionsverweis {Schnitte}{}{} in $E$ auffassen. Es sei $E$ mit dem \definitionsverweis {trivialen Zusammenhang}{}{} versehen. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nabla (f) }
{ = }{ df }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für stetig differenzierbare Funktionen.

}
{} {}