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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 24

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Übungsaufgaben

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei

eine kurze exakte Sequenz von differenzierbaren Vektorbündeln über . Zeige mit Hilfe von Satz 22.10, dass es eine Spaltung der Sequenz gibt, also einen Vektorbündelisomorphismus , der mit den Bündelhomomorphismen verträglich ist.



Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Das erste und das zweite Tangentialbündel von seien als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in bzw. in im Sinne von Bemerkung 24.4 zusammen mit den Bündelprojektionen

und

realisiert. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Eine differenzierbare Kurve

    auf einem offenen Intervall mit definiert den Tangentialvektor .

  2. Unter der Tangentialabbildung

    zu wird die Klasse aus (1) auf

    abgebildet.

  3. Unter der Tangentialabbildung zu wird auf abgebildet.



Bestimme für den Einheitskreis

eine implizite Beschreibung des Tangentialbündels und des zweiten Tangentialbündels im Sinne von Bemerkung 24.5.



Es sei offen, eine - stetig differenzierbare Abbildung, und die Faser über , die in jedem Punkt regulär sei. Man entwickle eine implizite Beschreibung (also mit Gleichungen) des Tangentialbündels und des zweiten Tangentialbündels ähnlich zu Bemerkung 24.5.



Es sei eine - differenzierbare Mannigfaltigkeit. Es seien offene Intervalle mit und es sei

eine zweifach stetig differenzierbare Abbildung mit .

  1. Zeige, dass für jedes die Abbildung eine differenzierbare Kurve in definiert.
  2. Zeige, dass durch (1) eine differenzierbare Kurve

    definiert wird, wobei den Tangentialvektor dieses Weges im Punkt bezeichnet.

  3. Zeige, dass durch (2) ein Element in bestimmt ist.
  4. Zeige, dass man jedes Element aus durch eine Abbildung wie oben realisieren kann.



Es sei eine - differenzierbare Mannigfaltigkeit. Wir betrachten zweifach stetig differenzierbare Abbildungen

als Elemente in im Sinne von Aufgabe 24.5. Wie verhalten sich diese Realisierungen unter der kurzen exakten Sequenz



Es sei ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Bestimme die Ränge für die Vektorbündel über in der kurzen exakten Sequenz



Bestimme die Zusammenhänge auf dem Nullbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .



Bestimme die Zusammenhänge auf einem Vektorbündel auf einer einpunktigen Mannigfaltigkeit .



Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass man das Konzept vertikale Ableitung auch längs einer differenzierbaren Abbildung

einführen kann, vergleiche hierzu auch Definition 6.5.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein topologischer Raum und sei

eine kurze exakte Sequenz von Vektorbündeln über . Es sei eine stetige Abbildung von einem weiteren topologischen Raum . Zeige, dass der Rückzug zu einer kurzen exakten Sequenz

von Vektorbündeln auf führt.



Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es sei ein offenes Intervall, wir betrachten die kurze exakte Sequenz (von Vektorbündeln über )

wobei die erste Abbildung durch und die zweite Abbildung durch gegeben sei. Es seien

stetig differenzierbare Funktionen.

  1. Zeige, dass durch

    ein Vektorbündelhomomorphismus über gegeben ist.

  2. Es sei konstant. Zeige, dass die Abbildung in (1) eine Spaltung des Bündels in der Mitte definiert.



Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die ebene Kurve

eine implizite Beschreibung des Tangentialbündels und des zweiten Tangentialbündels im Sinne von Bemerkung 24.5.



Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbare Fläche

  1. Bestimme eine implizite Beschreibung des Tangentialbündels und des zweiten Tangentialbündels im Sinne von Bemerkung 24.5.
  2. Berechne für die differenzierbare Kurve

    die zughörige Kurve in das Tangentialbündel und in das zweite Tangentialbündel.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei offen und sei , wobei wir Funktionen als Schnitte in auffassen. Es sei mit dem trivialen Zusammenhang versehen. Zeige für stetig differenzierbare Funktionen.




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