Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 24

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,U\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,V\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von differenzierbaren Vektorbündeln über ${}X$. Zeige mit Hilfe von Satz 22.10, dass es eine Spaltung der Sequenz gibt, also einen Vektorbündelisomorphismus ${}V\cong U\oplus W$, der mit den Bündelhomomorphismen verträglich ist.

Aufgabe

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Das erste und das zweite Tangentialbündel von ${}Y$ seien als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in ${}W\times \mathbb {R} ^{n}$ bzw. in ${}W\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ im Sinne von Bemerkung 24.4 zusammen mit den Bündelprojektionen

$\pi \colon TY\longrightarrow Y,\,(P,u)\longmapsto P,$

und

$q\colon TTY\longrightarrow TY,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u),$

realisiert. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Eine differenzierbare Kurve

   $\epsilon \colon I\longrightarrow TY,\,t\longmapsto (P(t),u(t)),$

   auf einem offenen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ mit ${}0\in I$ definiert den Tangentialvektor ${}[\epsilon ]=(P(0),u(0),P'(0),u'(0))\in TTY$.

2. Unter der Tangentialabbildung

   $T_{(P,u)}(\pi )\colon T_{(P,u)}TY\longrightarrow T_{P}Y$

   zu ${}\pi$ wird die Klasse ${}[\epsilon ]$ aus (1) auf

   ${}[\pi \circ \epsilon ]=[P'(0)]\,$

   abgebildet.

3. Unter der Tangentialabbildung ${}T(\pi )\colon TTY\rightarrow TY$ zu ${}\pi$ wird ${}(P,u,v,w)$ auf ${}(P,v)$ abgebildet.

Aufgabe

Bestimme für den Einheitskreis

${}Y={\left\{(x_{1},x_{2})\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\right\}}\subset \mathbb {R} ^{2}\,$

eine implizite Beschreibung des Tangentialbündels ${}TY$ und des zweiten Tangentialbündels ${}TTY$ im Sinne von Bemerkung 24.5.

Aufgabe

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}\varphi \colon W\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ eine ${}C^{2}$- stetig differenzierbare Abbildung, ${}c\in \mathbb {R} ^{k}$ und ${}Y=\varphi ^{-1}(c)$ die Faser über ${}c$, die in jedem Punkt regulär sei. Man entwickle eine implizite Beschreibung (also mit Gleichungen) des Tangentialbündels ${}TY$ und des zweiten Tangentialbündels ${}TTY$ ähnlich zu Bemerkung 24.5.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine ${}C^{2}$- differenzierbare Mannigfaltigkeit. Es seien ${}I,J\subseteq \mathbb {R}$ offene Intervalle mit ${}0\in I,J$ und es sei

$\varphi \colon I\times J\longrightarrow X,\,(s,t)\longmapsto \varphi (s,t),$

eine zweifach stetig differenzierbare Abbildung mit ${}\varphi (0,0)=P\in X$.

1. Zeige, dass für jedes ${}s\in I$ die Abbildung ${}\varphi {|}_{\{s\}\times J}$ eine differenzierbare Kurve in ${}X$ definiert.
2. Zeige, dass durch (1) eine differenzierbare Kurve

   $I\longrightarrow TX,\,s\longmapsto [\varphi {|}_{\{s\}\times J}],$

   definiert wird, wobei ${}[\varphi {|}_{\{s\}\times J}]$ den Tangentialvektor dieses Weges im Punkt ${}(s,0)$ bezeichnet.

3. Zeige, dass durch (2) ein Element in ${}TTY$ bestimmt ist.
4. Zeige, dass man jedes Element aus ${}TTY$ durch eine Abbildung ${}\varphi$ wie oben realisieren kann.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine ${}C^{2}$- differenzierbare Mannigfaltigkeit. Wir betrachten zweifach stetig differenzierbare Abbildungen

$\varphi \colon I\times J\longrightarrow X,\,(s,t)\longmapsto \varphi (s,t),$

als Elemente in ${}TTX$ im Sinne von Aufgabe 24.5. Wie verhalten sich diese Realisierungen unter der kurzen exakten Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,p^{*}TX\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,TTX\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,p^{*}TX\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Aufgabe

Es sei ${}E\rightarrow X$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$. Bestimme die Ränge für die Vektorbündel über ${}E$ in der kurzen exakten Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,V\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,TE\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,p^{*}TX\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Aufgabe

Bestimme die Zusammenhänge auf dem Nullbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$.

Aufgabe

Bestimme die Zusammenhänge auf einem Vektorbündel auf einer einpunktigen Mannigfaltigkeit ${}X$.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass man das Konzept vertikale Ableitung auch längs einer differenzierbaren Abbildung

$\psi \colon Z\longrightarrow X$

einführen kann, vergleiche hierzu auch Definition 6.5.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,U\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,V\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von Vektorbündeln über ${}X$. Es sei ${}\varphi \colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung von einem weiteren topologischen Raum ${}Y$. Zeige, dass der Rückzug zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\varphi ^{*}U\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\varphi ^{*}V\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\varphi ^{*}W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

von Vektorbündeln auf ${}Y$ führt.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, wir betrachten die kurze exakte Sequenz (von Vektorbündeln über ${}I\times \mathbb {R}$)

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

wobei die erste Abbildung durch ${}(P,u,w)\mapsto (P,u,0,w)$ und die zweite Abbildung durch ${}(P,u,v,w)\mapsto (P,u,v)$ gegeben sei. Es seien

$g,h\colon I\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen.

1. Zeige, dass durch

   $I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,vg(P,u)+wh(P,u)),$

   ein Vektorbündelhomomorphismus über ${}I\times \mathbb {R}$ gegeben ist.

2. Es sei ${}h=1$ konstant. Zeige, dass die Abbildung in (1) eine Spaltung des Bündels in der Mitte definiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die ebene Kurve

${}Y={\left\{(x_{1},x_{2})\mid x_{1}^{3}-5x_{1}x_{2}+x_{2}^{4}=1\right\}}\subset \mathbb {R} ^{2}\,$

eine implizite Beschreibung des Tangentialbündels ${}TY$ und des zweiten Tangentialbündels ${}TTY$ im Sinne von Bemerkung 24.5.

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbare Fläche

${}Y={\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0,\,(x,y,z)\neq 0\right\}}\subseteq W=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\subset \mathbb {R} ^{3}\,.$

1. Bestimme eine implizite Beschreibung des Tangentialbündels ${}TY$ und des zweiten Tangentialbündels ${}TTY$ im Sinne von Bemerkung 24.5.
2. Berechne für die differenzierbare Kurve

   $I\longrightarrow Y,\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,1\right)$

   die zughörige Kurve in das Tangentialbündel und in das zweite Tangentialbündel.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei ${}E=U\times \mathbb {R}$, wobei wir Funktionen ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ als Schnitte in ${}E$ auffassen. Es sei ${}E$ mit dem trivialen Zusammenhang versehen. Zeige ${}\nabla (f)=df$ für stetig differenzierbare Funktionen.