Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 24

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei

$0\stackrel{}{⟶}U\stackrel{}{⟶}V\stackrel{}{⟶}W\stackrel{}{⟶}0$

eine kurze exakte Sequenz von differenzierbaren Vektorbündeln über $X$. Zeige mithilfe von Satz 22.10, dass es eine Spaltung der Sequenz gibt, also einen Vektorbündelisomorphismus  $V\cong U\oplus W$,  der mit den Bündelhomomorphismen verträglich ist.

Aufgabe

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  $c\in ℝ$,  wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Das erste und das zweite Tangentialbündel von $Y$ seien als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in $W\times {ℝ}^n$ bzw. in $W\times {ℝ}^n\times {ℝ}^n\times {ℝ}^n$ im Sinne von Bemerkung 24.4 zusammen mit den Bündelprojektionen

$\pi :TY⟶Y,(P,u)⟼P,$

und

$q:TTY⟶TY,(P,u,v,w)⟼(P,u),$

realisiert. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Eine differenzierbare Kurve

   $ϵ:I⟶TY,t⟼(P(t),u(t)),$

   auf einem offenen Intervall  $I\subseteq ℝ$  mit  $0\in I$  definiert den Tangentialvektor  $[ϵ]=(P(0),u(0),P^{\prime }(0),u^{\prime }(0))\in TTY$. 

2. Unter der Tangentialabbildung

   $T_{(P,u)}(\pi ):T_{(P,u)}TY⟶T_{P}Y$

   zu $\pi$ wird die Klasse $[ϵ]$ aus (1) auf

   $[\pi \circ ϵ]=[P^{\prime }(0)]$

   abgebildet.

3. Unter der Tangentialabbildung $T(\pi ):TTY\to TY$ zu $\pi$ wird $(P,u,v,w)$ auf $(P,v)$ abgebildet.

Aufgabe

Bestimme für den Einheitskreis

$Y=\{(x_1,x_2)\mid x_1^2+x_2^2=1\}\subset {ℝ}^2$

eine implizite Beschreibung des Tangentialbündels $TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ im Sinne von Bemerkung 24.5.

Aufgabe

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $\phi :W\to {ℝ}^k$ eine $C^2$-stetig differenzierbare Abbildung,  $c\in {ℝ}^k$  und  $Y={\phi }^{-1}(c)$  die Faser über $c$, die in jedem Punkt regulär sei. Man entwickle eine implizite Beschreibung (also mit Gleichungen) des Tangentialbündels $TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ ähnlich zu Bemerkung 24.5.

Aufgabe

Es sei $X$ eine $C^2$-differenzierbare Mannigfaltigkeit. Es seien  $I,J\subseteq ℝ$  offene Intervalle mit  $0\in I,J$  und es sei

$\phi :I\times J⟶X,(s,t)⟼\phi (s,t),$

eine zweifach stetig differenzierbare Abbildung mit  $\phi (0,0)=P\in X$. 

1. Zeige, dass für jedes  $s\in I$  die Abbildung $\phi {|}_{\{s\}\times J}$ eine differenzierbare Kurve in $X$ definiert.
2. Zeige, dass durch (1) eine differenzierbare Kurve

   $I⟶TX,s⟼[\phi {|}_{\{s\}\times J}],$

   definiert wird, wobei $[\phi {|}_{\{s\}\times J}]$ den Tangentialvektor dieses Weges im Punkt $(s,0)$ bezeichnet.

3. Zeige, dass durch (2) ein Element in $TTY$ bestimmt ist.
4. Zeige, dass man jedes Element aus $TTY$ durch eine Abbildung $\phi$ wie oben realisieren kann.

Aufgabe

Es sei $X$ eine $C^2$-differenzierbare Mannigfaltigkeit. Wir betrachten zweifach stetig differenzierbare Abbildungen

$\phi :I\times J⟶X,(s,t)⟼\phi (s,t),$

als Elemente in $TTX$ im Sinne von Aufgabe 24.5. Wie verhalten sich diese Realisierungen unter der kurzen exakten Sequenz

$0\stackrel{}{⟶}{p}^{\ast }TX\stackrel{}{⟶}TTX\stackrel{}{⟶}{p}^{\ast }TX\stackrel{}{⟶}0.$

Aufgabe

Es sei $E\to X$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Bestimme die Ränge für die Vektorbündel über $E$ in der kurzen exakten Sequenz

$0\stackrel{}{⟶}V\stackrel{}{⟶}TE\stackrel{}{⟶}{p}^{\ast }TX\stackrel{}{⟶}0.$

Aufgabe

Bestimme die Zusammenhänge auf dem Nullbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$.

Aufgabe

Bestimme die Zusammenhänge auf einem Vektorbündel auf einer einpunktigen Mannigfaltigkeit $X$.

Aufgabe

Es sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf $X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass man das Konzept vertikale Ableitung auch längs einer differenzierbaren Abbildung

$\psi :Z⟶X$

einführen kann, vergleiche hierzu auch Definition 6.5.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $X$ ein topologischer Raum und sei

$0\stackrel{}{⟶}U\stackrel{}{⟶}V\stackrel{}{⟶}W\stackrel{}{⟶}0$

eine kurze exakte Sequenz von Vektorbündeln über $X$. Es sei $\phi :Y\to X$ eine stetige Abbildung von einem weiteren topologischen Raum $Y$. Zeige, dass der Rückzug zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\stackrel{}{⟶}{\phi }^{\ast }U\stackrel{}{⟶}{\phi }^{\ast }V\stackrel{}{⟶}{\phi }^{\ast }W\stackrel{}{⟶}0$

von Vektorbündeln auf $Y$ führt.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein offenes Intervall, wir betrachten die kurze exakte Sequenz (von Vektorbündeln über $I\times ℝ$)

$0\stackrel{}{⟶}I\times ℝ\times ℝ\stackrel{}{⟶}I\times ℝ\times ℝ\times ℝ\stackrel{}{⟶}I\times ℝ\times ℝ\stackrel{}{⟶}0,$

wobei die erste Abbildung durch $(P,u,w)\mapsto (P,u,0,w)$ und die zweite Abbildung durch $(P,u,v,w)\mapsto (P,u,v)$ gegeben sei. Es seien

$g,h:I\times ℝ⟶ℝ$

stetig differenzierbare Funktionen.

1. Zeige, dass durch

   $I\times ℝ\times ℝ\times ℝ⟶I\times ℝ\times ℝ,(P,u,v,w)⟼(P,u,vg(P,u)+wh(P,u)),$

   ein Vektorbündelhomomorphismus über $I\times ℝ$ gegeben ist.

2. Es sei  $h=1$  konstant. Zeige, dass die Abbildung in (1) eine Spaltung des Bündels in der Mitte definiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die ebene Kurve

$Y=\{(x_1,x_2)\mid x_1^3-5x_1{x}_2+x_2^4=1\}\subset {ℝ}^2$

eine implizite Beschreibung des Tangentialbündels $TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ im Sinne von Bemerkung 24.5.

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbare Fläche

$Y=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_1^2+x_2^2-x_3^2=0,(x,y,z)\ne 0\}\subseteq W={ℝ}^3\setminus \{(0,0,0)\}\subset {ℝ}^3.$

1. Bestimme eine implizite Beschreibung des Tangentialbündels $TY$ und des zweiten Tangentialbündels $TTY$ im Sinne von Bemerkung 24.5.
2. Berechne für die differenzierbare Kurve

   $I⟶Y,t⟼(\cos t,\sin t,1)$

   die zughörige Kurve in das Tangentialbündel und in das zweite Tangentialbündel.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $U\subseteq {ℝ}^n$  offen und sei  $E=U\times ℝ$,  wobei wir Funktionen $f:U\to ℝ$ als Schnitte in $E$ auffassen. Es sei $E$ mit dem trivialen Zusammenhang versehen. Zeige  $\mathrm{\nabla }(f)=df$  für stetig differenzierbare Funktionen.