Kurs:Diskrete Mathematik/23/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	0	0	0	0	4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	10

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Geordnete Mengen/Abbildung/Antimonoton/Definition/Begriff/Inhalt
2. Multinomialkoeffizient/Definition/Begriff/Inhalt
3. Der Grad eines Punktes in einem ungerichteten Graphen ist die Anzahl seiner Nachbarn.
4. Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Definition/Begriff/Inhalt
5. Ungerichteter Graph/Bipartit/Definition/Begriff/Inhalt
6. Ungerichter Graph/Paarung/Punktabdeckung/Definition/Begriff/Inhalt

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. /Fakt
2. /Fakt
3. /Fakt

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass ${}a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo ${}n$ genau dann ist, wenn ${}a$ und ${}n$ teilerfremd sind.

Lösung

Sind ${}a$ und ${}n$ teilerfremd, so gibt es nach Satz 6.1 (Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)) eine Darstellung der ${}1$, es gibt also ganze Zahlen ${}r,s$ mit

${}ra+sn=1\,.$

Betrachtet man diese Gleichung modulo ${}n$, so ergibt sich ${}ra=1$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$. Damit ist ${}a$ eine Einheit mit Inversem ${}a^{-1}=r$.

Ist umgekehrt ${}a$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(n)$, so gibt es ein ${}r\in \mathbb {Z} /(n)$ mit ${}ar=1$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$. Das bedeutet aber, dass ${}ar-1$ ein Vielfaches von ${}n$ ist, sodass also

${}ar-1=sn\,$

gilt. Dann ist aber wieder ${}ar-sn=1$ und ${}a$ und ${}n$ sind teilerfremd.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung