Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 2

Wir beginnen mit ein paar Aufwärmaufgaben, die nicht abzugeben sind.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}x,y\in G$ . Drücke das Inverse von ${}xy$ durch die Inversen von ${}x$ und ${}y$ aus.

Aufgabe

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge ${}H\subseteq G$ einer Gruppe ${}G$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

{\text{ für alle }}g,h\in H{\text{ ist }}gh^{-1}\in H.

Aufgabe

Man bringe für die Symmetrien am Würfel die Begriffe „Drehachse“, „Eigenvektor“ und „Eigenwert“ in Verbindung. Welche Eigenwerte können auftreten?

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines endlichen Monoids ${}M$ und eines Elementes ${}m\in M$ derart, dass alle positiven Potenzen von ${}m$ vom neutralen Element verschieden sind.

Es folgen die Aufgaben, die man abgeben darf.

Aufgabe (3 Punkte)

Man bestimme für jede natürliche Zahl, wie viele eigentliche Würfelsymmetrien es gibt, die diese Zahl als Ordnung besitzen. Man gebe für jede Zahl, die als Ordnung einer eigentlichen Würfelsymmetrie auftritt, eine Matrixdarstellung einer Symmetrie an, die diese Ordnung besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ ein endliches Monoid. Es gelte die folgende „Kürzungsregel“: Aus ${}ax=ay$ für ein ${}a\in \mathbb {N} _{+}$ folgt ${}x=y$ . Zeige, dass ${}M$ eine Gruppe ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe, in der jedes Element die Ordnung zwei hat, d.h. für jedes Gruppenelement ${}g$ gilt ${}g^{2}=e$ . Zeige, dass die Gruppe ${}G$ dann abelsch ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung. Es gebe ein linksneutrales Element ${}e$ (d.h. ${}ex=x$ für alle ${}x\in M$ ) und zu jedem ${}x\in M$ gebe es ein Linksinverses, d.h. ein Element ${}y$ mit ${}yx=e$ . Zeige, dass dann ${}M$ schon eine Gruppe ist.

(Bemerkung: häufig wird eine Gruppe durch diese Eigenschaften definiert.)

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Gruppe der Bewegungen an einem Würfel ${}W$ . Es sei ${}\varphi$ eine Vierteldrehung um eine Seitenmittelpunktachse, ${}\beta$ sei eine Halbdrehung um dieselbe Seitenmittelpunktachse, ${}\psi$ sei eine Dritteldrehung um eine Diagonalachse und ${}\theta$ eine Halbdrehung um eine Kantenmittelpunktachse. Wie viele Elemente besitzen die von je zwei Elementen erzeugten Untergruppen?

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}\varphi$ und ${}\psi$ Bewegungen am Würfel. Zeige, dass die Drehachse von ${}\varphi$ und die Drehachse von ${}\psi$ nicht die Drehachse der Komposition ${}\varphi \circ \psi$ bestimmen.