Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 2

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Wir beginnen mit ein paar Aufwärmaufgaben, die nicht abzugeben sind.

Aufgabe

Sei eine Gruppe und . Drücke das Inverse von durch die Inversen von und aus.


Aufgabe *

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:


Aufgabe

Man bringe für die Symmetrien am Würfel die Begriffe „Drehachse“, „Eigenvektor“ und „Eigenwert“ in Verbindung. Welche Eigenwerte können auftreten?


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines endlichen Monoids und eines Elementes derart, dass alle positiven Potenzen von vom neutralen Element verschieden sind.


Es folgen die Aufgaben, die man abgeben darf.

Aufgabe (3 Punkte)

Man bestimme für jede natürliche Zahl, wie viele eigentliche Würfelsymmetrien es gibt, die diese Zahl als Ordnung besitzen. Man gebe für jede Zahl, die als Ordnung einer eigentlichen Würfelsymmetrie auftritt, eine Matrixdarstellung einer Symmetrie an, die diese Ordnung besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein endliches Monoid. Es gelte die folgende „Kürzungsregel“: aus folgt . Zeige, dass eine Gruppe ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Gruppe, in der jedes Element die Ordnung zwei hat, d.h. für jedes Gruppenelement gilt . Zeige, dass die Gruppe dann abelsch ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung. Es gebe ein linksneutrales Element (d.h. für alle ) und zu jedem gebe es ein Linksinverses, d.h. ein Element mit . Zeige, dass dann schon eine Gruppe ist.

(Bemerkung: häufig wird eine Gruppe durch diese Eigenschaften definiert.)

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Gruppe der Bewegungen an einem Würfel . Es sei eine Vierteldrehung um eine Seitenmittelpunktachse, sei eine Halbdrehung um dieselbe Seitenmittelpunktachse, sei eine Dritteldrehung um eine Diagonalachse und eine Halbdrehung um eine Kantenmittelpunktachse. Wie viele Elemente besitzen die von je zwei Elementen erzeugten Untergruppen?


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und Bewegungen am Würfel. Zeige, dass die Drehachse von und die Drehachse von nicht die Drehachse der Komposition bestimmen.

(Man gebe ein Beispiel, in dem die Identität nicht vorkommt.)

Aufgabe (3 Punkte)

Sei und betrachte auf

die Verknüpfung

Zeige, dass dadurch eine assoziative Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine Gruppe vorliegt.


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?



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