Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 3

Wir beginnen mit Aufgaben zum Aufwärmen.

Aufgabe

Zeige, dass für zwei ganze Zahlen ${}a,b\in \mathbb {Z}$ die folgenden Beziehungen äquivalent sind.

1. ${}a$ teilt ${}b$ (also ${}a{|}b$).
2. ${}b\in \mathbb {Z} a$.
3. ${}\mathbb {Z} b\subseteq \mathbb {Z} a$.

Aufgabe

Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen ${}a,b\in \mathbb {Z}$ aus

$a{|}b{\text{ und }}b{|}a$

die Beziehung ${}a=\pm b$ folgt.

Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a-b.$

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

Die „echten“ Aufgaben.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}x\in G$ ein Element. Beweise durch Induktion unter Verwendung der Potenzgesetze, dass für ${}m,n\in \mathbb {Z}$ gilt:

${}x^{mn}={\left(x^{m}\right)}^{n}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe, ${}x\in G$ ein Element und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Zeige, dass die Menge

${}M={\left\{k\in \mathbb {Z} \mid x^{k}\in H\right\}}\,$

die Form ${}M=\mathbb {Z} d$ besitzt mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl ${}d\geq 0$.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Teilbarkeitsregeln für ganze Zahlen, die in Lemma 3.7 aufgelistet sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass der nichtnegative größte gemeinsame Teiler der ${}a_{i}$ mit demjenigen gemeinsamen Teiler übereinstimmt, der bezüglich der Ordnungsrelation ${}\geq$ der größte gemeinsame Teiler ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass es für jedes ${}s\in K$ eine ganze Zahl ${}q$ und ein $t\in K$ mit $0\leq t<1$ und mit

${}s=q+t\,$

gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die rationalen Zahlen ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ als kommutative Gruppe. Es sei ${}G\subseteq \mathbb {Q}$ eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass ${}G$ zyklisch ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}Z$ eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung ${}12$. Wie viele Untergruppen gibt es darin?

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte ein gleichseitiges Dreieck in der ${}x,y$-Ebene mit ${}(0,0)$ als Mittelpunkt und mit ${}(1,0)$ als einem der Eckpunkte. Betrachte darüber die doppelte Pyramide ${}D$ mit oberer Spitze ${}(0,0,2)$ und unterer Spitze ${}(0,0,-2)$. Bestimme die Matrizen der (eigentlichen) Bewegungen, die ${}D$ in sich überführen, ihre Drehachsen und erstelle eine Verknüpfungstabelle für diese Bewegungen.

Beschreibe ferner, was unter diesen Bewegungen mit den drei Eckpunkten des zugrundeliegenden Dreiecks geschieht.