Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 3

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Bundesarchiv Bild 183-19650-0019, Leipzig, DHfK, Aufwärmübungen.jpg


Wir beginnen mit Aufgaben zum Aufwärmen.

Aufgabe

Zeige, dass für zwei ganze Zahlen die folgenden Beziehungen äquivalent sind.

  1. teilt (also ).
  2. .
  3. .


Aufgabe

Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen aus

die Beziehung folgt.


Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?


Die „echten“ Aufgaben.

Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Gruppe und ein Element. Beweise durch Induktion unter Verwendung der Potenzgesetze, dass für gilt:


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Gruppe, ein Element und eine Untergruppe. Zeige, dass die Menge

die Form besitzt mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl .


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Teilbarkeitsregeln für ganze Zahlen, die in Lemma 3.7 aufgelistet sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass der nichtnegative größte gemeinsame Teiler der mit demjenigen gemeinsamen Teiler übereinstimmt, der bezüglich der Ordnungsrelation der größte gemeinsame Teiler ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass es für jedes eine ganze Zahl und ein mit und mit

gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Es sei eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass zyklisch ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung . Wie viele Untergruppen gibt es darin?


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte ein gleichseitiges Dreieck in der -Ebene mit als Mittelpunkt und mit als einem der Eckpunkte. Betrachte darüber die doppelte Pyramide mit oberer Spitze und unterer Spitze . Bestimme die Matrizen der (eigentlichen) Bewegungen, die in sich überführen, ihre Drehachsen und erstelle eine Verknüpfungstabelle für diese Bewegungen.

Beschreibe ferner, was unter diesen Bewegungen mit den drei Eckpunkten des zugrundeliegenden Dreiecks geschieht.



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