Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 26

Einheitswurzeln

Definition

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in \mathbb{N}$.  Dann heißen die Nullstellen des Polynoms

$X^n-1$

in $K$ die $n$-ten Einheitswurzeln in $K$.

Die $1$ ist für jedes $n$ eine $n$-te Einheitswurzel, und die $-1$ ist für jedes gerade $n$ eine $n$-te Einheitswurzel. Es gibt maximal $n$ $n$-te Einheitswurzeln, da das Polynom $X^n-1$ maximal $n$ Nullstellen besitzt. Die Einheitswurzeln bilden also insbesondere eine endliche Untergruppe (mit $x^n=1$ und $y^n=1$ ist auch $(xy{)}^n=1$, usw.) der Einheitengruppe des Körpers. Nach Satz 19.7 ist diese Gruppe zyklisch mit einer Ordnung, die $n$ teilt.

Definition

Eine $n$-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung $n$ besitzt.

Man beachte, dass ein Erzeuger der Gruppe der Einheitswurzeln nur dann primitiv heißt, wenn es $n$ verschiedene Einheitswurzeln gibt. Wenn $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel ist, so sind genau die ${\zeta }^i$ mit $i<n$ und $i$ teilerfremd zu $n$ die primitiven Einheitswurzeln. Insbesondere gibt es, wenn es überhaupt primitive Einheitswurzeln gibt, genau $\phi \left(n\right)$ primitive Einheitswurzeln, wobei $\phi \left(n\right)$ die eulersche $\phi$-Funktion bezeichnet. Die komplexen Einheitswurzeln lassen sich einfach beschreiben.

Lemma

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. 

Die Nullstellen des Polynoms $X^n-1$ über $ℂ$ sind

$e^{2\pi \mathrm{i}k/n}=\cos \frac{2\pi k}{n}+\mathrm{i}\sin \frac{2\pi k}{n},k=0,1,\dots ,n-1.$

In $ℂ[X]$ gilt die Faktorisierung

$X^n-1=(X-1)(X-e^{2\pi \mathrm{i}/n})\cdots (X-e^{2\pi \mathrm{i}(n-1)/n}).$

Beweis

Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion. Es ist

${\left(e^{2\pi \mathrm{i}k/n}\right)}^n=e^{2\pi \mathrm{i}k}={\left(e^{2\pi \mathrm{i}}\right)}^k=1^k=1.$

Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms $X^n-1$. Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus

$e^{2\pi \mathrm{i}k/n}=e^{2\pi \mathrm{i}\ell /n}$

mit  $0\le k\le \ell \le n-1$  sofort, durch Betrachten des Quotienten,  $e^{2\pi \mathrm{i}(\ell -k)/n}=1$  folgt, und daraus

$\ell -k=0.$

Es gibt also $n$ explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel.

$◻$

Kreisteilungskörper

Definition

Der $n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

$X^n-1$

über $\mathbb{Q}$.

Offenbar ist $1$ eine Nullstelle von $X^n-1$. Daher kann man $X^n-1$ durch $X-1$ teilen und erhält, wie man schnell nachrechnen kann,

$X^n-1=(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1).$

Wegen  $1\in \mathbb{Q}$  ist daher der $n$-te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von

$X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X+1.$

Es gibt auch Kreisteilungskörper über anderen Körpern, da es ja stets Zerfällungskörper gibt. Wir beschränken uns aber weitgehend auf die Kreisteilungskörper über $\mathbb{Q}$, die wir auch mit $K_n$ bezeichnen. Da $X^n-1$ auf die in Lemma 26.3 beschriebene Art über $ℂ$ in Linearfaktoren zerfällt, kann man $K_n$ als Unterkörper von $ℂ$ realisieren, und zwar ist $K_n$ der von allen $n$-ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von $ℂ$. Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt. Wir erwähnen den folgenden Begriff.

Definition

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt einfach, wenn es ein Element  $x\in L$  mit

$L=K(x)$

gibt.

Lemma

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Dann wird der $n$-te Kreisteilungskörper über $\mathbb{Q}$

von $e^{2\pi \mathrm{i}/n}$ erzeugt.

Der $n$-te Kreisteilungskörper ist also

$K_n=\mathbb{Q}\left(e^{2\pi \mathrm{i}/n}\right)=\mathbb{Q}[e^{2\pi \mathrm{i}/n}].$

Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine einfache Körpererweiterung von $\mathbb{Q}$.

Beweis

Es sei $K_n$ der $n$-te Kreisteilungskörper über $\mathbb{Q}$. Wegen  ${\left(e^{2\pi \mathrm{i}/n}\right)}^n=1$  ist  $\mathbb{Q}[e^{2\pi \mathrm{i}/n}]\subseteq K_n$.  Wegen  ${\left(e^{2\pi \mathrm{i}/n}\right)}^k=e^{2\pi \mathrm{i}k/n}$  gehören auch alle anderen Einheitswurzeln zu $\mathbb{Q}[e^{2\pi \mathrm{i}/n}]$, also ist  $\mathbb{Q}[e^{2\pi \mathrm{i}/n}]=K_n$. 

$◻$

Statt $e^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{n}}$ kann man auch jede andere $n$-te primitive Einheitswurzel aus $ℂ$ als Erzeuger nehmen.

Beispiel

Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine $n$. Bei  $n=1$  oder $2$ ist der Kreisteilungskörper gleich $\mathbb{Q}$. Bei  $n=3$  ist

$X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$

und der zweite Faktor zerfällt

$X^2+X+1=(X+\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2})(X+\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}).$

Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von  $\sqrt{-3}=\sqrt{3}\mathrm{i}$  erzeugte Körper, es ist also  $K_3=\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$  eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen.

Bei  $n=4$  ist natürlich

$\begin{array}{cc}{X}^4-1& =(X^2-1)(X^2+1)\\ & =(X-1)(X+1)(X^2+1)\\ & =(X-1)(X+1)(X-\mathrm{i})(X+\mathrm{i}).\end{array}$

Der vierte Kreisteilungskörper ist somit  $\mathbb{Q}[\mathrm{i}]\cong \mathbb{Q}[X]/(X^2+1)$,  also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von $\mathbb{Q}$.

Lemma

Es sei $p$ eine Primzahl.

Dann ist der $p$-te Kreisteilungskörper gleich

$\mathbb{Q}[X]/(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^1+1).$

Insbesondere besitzt der $p$-te Kreisteilungskörper den Grad $p-1$ über $\mathbb{Q}$.

Beweis

Der $p$-te Kreisteilungskörper wird nach Lemma 26.6 von $e^{2\pi \mathrm{i}/p}$ erzeugt, er ist also isomorph zu $\mathbb{Q}[X]/(P)$, wobei $P$ das Minimalpolynom von $e^{2\pi \mathrm{i}/p}$ bezeichnet. Als Einheitswurzel ist $e^{2\pi \mathrm{i}/p}$ eine Nullstelle von $X^p-1$ und wegen  $e^{2\pi \mathrm{i}/p}\ne 1$  ist $e^{2\pi \mathrm{i}/p}$ eine Nullstelle von $X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^1+1$. Das Polynom $X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^1+1$ ist irreduzibel nach Aufgabe 22.12 und daher handelt es sich nach Lemma 21.13  (2) um das Minimalpolynom von $e^{2\pi \mathrm{i}/p}$.

$◻$

Beispiel

Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl $e^{2\pi \mathrm{i}/5}$ erzeugt. Er hat aufgrund von Lemma 26.8 die Gestalt

$K_5\cong \mathbb{Q}[X]/(X^4+X^3+X^2+X+1),$

wobei die Variable $X$ als $e^{2\pi \mathrm{i}/5}$ (oder eine andere primitive Einheitswurzel) zu interpretieren ist. Es sei  $x=e^{2\pi \mathrm{i}/5}$,  wir setzen  $v=x-x^2-x^3+x^4=-(2x^3+2x^2+1)$.  Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist

$\begin{array}{cc}{v}^2& =4x^6+4x^4+1+8x^5+4x^3+4x^2\\ & =4x+4x^4+1+8+4x^3+4x^2\\ & =5+4(x^4+x^3+x^2+x+1)\\ & =5.\end{array}$

Es ist also  $v=\sqrt{5}$  (die positive Wurzel) und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen

$\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}[\sqrt{5}]\subset K_5.$

Dies zeigt aufgrund von

Satz 25.3, dass die fünften Einheitswurzeln konstruierbare Zahlen sind.

Kreisteilungspolynome

Definition

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  und seien $z_1,\dots ,z_{\phi \left(n\right)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

${\mathrm{\Phi }}_n=\prod _{i=1}^{\phi \left(n\right)}(X-z_i)\in ℂ[X]$

das $n$-te Kreisteilungspolynom.

Nach Konstruktion hat das $n$-te Kreisteilungspolynom den Grad $\phi \left(n\right)$.

Lemma

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. 

Dann gilt in $ℂ[X]$ die Gleichung

$X^n-1=\prod _{d\mid n}{\mathrm{\Phi }}_d.$

Beweis

Jede der $n$ verschiedenen $n$-ten Einheitswurzeln besitzt eine Ordnung $d$, die ein Teiler von $n$ ist. Eine $n$-te Einheitswurzel der Ordnung $d$ ist eine primitive $d$-te Einheitswurzel. Die Aussage folgt daher aus

$\begin{array}{cc}{X}^n-1& =\prod _{z\text{ ist }n\text{-te Einheitswurzel}}(X-z)\\ & =\prod _{d\mid n}(\prod _{z\text{ ist primitive }d\text{-te Einheitswurzel}}(X-z))\\ & =\prod _{d\mid n}{\mathrm{\Phi }}_d.\end{array}$

$◻$

Lemma

Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome

liegen in $\mathbb{Z}$.

Beweis

Induktion über $n$. Für  $n=1$  ist  ${\mathrm{\Phi }}_1=X-1\in \mathbb{Z}[X]$.  Für beliebiges $n$ betrachten wir die in Lemma 26.11 bewiesene Darstellung

$X^n-1=\prod _{d\mid n}{\mathrm{\Phi }}_d=\left(\prod _{d\mid n,d\ne n}{\mathrm{\Phi }}_d\right)\cdot {\mathrm{\Phi }}_n.$

Der linke Faktor ist ein normiertes Polynom und er besitzt nach der Induktionsvoraussetzung Koeffizienten in $\mathbb{Z}$. Daraus folgt mit Aufgabe 26.5, dass auch ${\mathrm{\Phi }}_n$ Koeffizienten in $\mathbb{Z}$ besitzt.

$◻$

Grundlegend ist die folgende Aussage.

Satz

Die Kreisteilungspolynome ${\mathrm{\Phi }}_n$ sind irreduzibel über $\mathbb{Q}$.

Beweis

 Nehmen wir an, dass ${\mathrm{\Phi }}_n$ nicht irreduzibel über $\mathbb{Q}$ ist. Dann gibt es nach Lemma 20.13 eine Zerlegung  ${\mathrm{\Phi }}_n=FG$  mit normierten Polynomen $F,G\in \mathbb{Z}[X]$ von kleinerem Grad. Wir fixieren eine primitive $n$-te Einheitswurzel $\zeta$. Dann ist nach Definition der Kreisteilungspolynome  ${\mathrm{\Phi }}_n(\zeta )=0$  und daher ist (ohne Einschränkung)  $F(\zeta )=0$.  Wir können annehmen, dass $F$ irreduzibel und normiert ist, also das Minimalpolynom von $\zeta$ ist.  Wir werden zeigen, dass jede primitive $n$-te Einheitswurzel ebenfalls eine Nullstelle von $F$ ist. Dann folgt aus Gradgründen  $\mathrm{grad}(F)=\phi \left(n\right)=\mathrm{grad}({\mathrm{\Phi }}_n)$  im Widerspruch zur Reduzibilität. Jede primitive Einheitswurzel kann man als ${\zeta }^k$ mit einer zu $n$ teilerfremden Zahl $k$ schreiben. Es genügt dabei, den Fall ${\zeta }^p$ mit einer zu $n$ teilerfremden Primzahl $p$ zu betrachten, da sich jedes ${\zeta }^k$ sukzessive als $p$-Potenz von $\zeta$ erhalten lässt (wobei man $\zeta$ sukzessive durch ${\zeta }^p$ ersetzt und  $F\left({\zeta }^p\right)=0$  verwendet).  Nehmen wir also an, dass  $F\left({\zeta }^p\right)\ne 0$  ist. Dann muss  $G\left({\zeta }^p\right)=0$  sein. Daher ist $\zeta$ eine Nullstelle des Polynoms $G(X^p)$ und daher gilt  $FH=G\left(X^p\right)$  mit $H\in \mathbb{Q}[X]$, da ja $F$ das Minimalpolynom von $\zeta$ ist. Wegen Aufgabe 26.5 gehören die Koeffizienten von $H$ zu $\mathbb{Z}$. Wir betrachten nun die Polynome ${\mathrm{\Phi }}_n,F,G,H$ modulo $p$, also als Polynome in $\mathbb{Z}/(p)[X]$, wobei wir dafür $\overline{{\mathrm{\Phi }}_n},\bar{F}$ usw. schreiben. Aufgrund des Frobeniushomomorphismus in Charakteristik $p$ und wegen des kleinen Fermat'schen Satzes gilt

$\bar{G}(X^p)={(\bar{G}(X))}^p.$

Daher ist

$\bar{F}\bar{H}=\bar{G}(X^p)=(\bar{G}(X){)}^p.$

Es sei nun  $\mathbb{Z}/(p)\subseteq L$  der Zerfällungskörper von $X^n-1$ über $\mathbb{Z}/(p)$, sodass über $L$ insbesondere auch $\overline{{\mathrm{\Phi }}_n}$ und damit auch $\bar{F}$ in Linearfaktoren zerfällt. Es sei $u\in L$ eine Nullstelle von $\bar{F}$. Dann ist $u$ wegen der obigen Teilbarkeitsbeziehung auch eine Nullstelle von $\bar{G}$. Wegen  $\overline{{\mathrm{\Phi }}_n}=\bar{F}\bar{G}$  ist dann $u$ eine mehrfache Nullstelle von $\overline{{\mathrm{\Phi }}_n}$. Damit besitzt auch $X^n-1$ eine mehrfache Nullstelle in $L$. Nach dem formalen Ableitungskriterium ist aber  $(X^n-1{)}^{\prime }=(nmodp)X^{n-1}$  und dieser Koeffizient ist wegen der vorausgesetzten Teilerfremdheit nicht $0$. Also erzeugt das Polynom $X^n-1$ und seine Ableitung das Einheitsideal, sodass es nach Aufgabe 23.14 keine mehrfache Nullstellen geben kann und wir einen Widerspruch erhalten.

$◻$

Korollar

Der $n$-te Kreisteilungskörper $K_n$ über $\mathbb{Q}$ hat die Beschreibung

$K_n=\mathbb{Q}[X]/({\Phi }_n),$

wobei ${\mathrm{\Phi }}_n$ das $n$-te Kreisteilungspolynom bezeichnet.

Der Grad des $n$-ten Kreisteilungskörpers ist $\phi \left(n\right)$.

Beweis

Es ist  $K_n=\mathbb{Q}[\zeta ]$,  wobei $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel ist. Nach Definition des Kreisteilungspolynoms ist  ${\mathrm{\Phi }}_n(\zeta )=0$  und nach Satz 26.13 ist das Kreisteilungspolynom irreduzibel, sodass es sich um das Minimalpolynom von $\zeta$ handeln muss. Also ist nach Satz 21.12  $K_n\cong \mathbb{Q}[X]/({\mathrm{\Phi }}_n)$. 

$◻$

Fußnoten

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