Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 7/latex

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\setcounter{section}{7}






\zwischenueberschrift{Nebenklassen}




\inputdefinition
{}
{

Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim_H }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {und sagen, dass $x$ und $y$ äquivalent sind} {} {} wenn
\mathl{x^{-1}y \in H}{.}

}

Dies ist in der Tat eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{:} Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1}x }
{ = }{e_G }
{ \in }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt, dass diese Relation reflexiv ist. Aus
\mathl{x^{-1}y \in H}{} folgt sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^{-1}x }
{ = }{ { \left( x^{-1}y \right) }^{-1} }
{ \in }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und aus
\mathl{x^{-1}y \in H}{} und
\mathl{y^{-1}z \in H}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1}z }
{ = }{ { \left( x^{-1}y \right) } { \left( y^{-1}z \right) } }
{ \in }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}




\inputdefinition
{}
{

Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Dann heißt zu jedem
\mathl{x \in G}{} die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xH }
{ =} {{ \left\{ xh \mid h \in H \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionswort {Linksnebenklasse von}{} $x$ in $G$ bezüglich $H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt \definitionswort {Linksnebenklasse}{.} Entsprechend heißt eine Menge der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Hy }
{ =} {{ \left\{ hy \mid h \in H \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionswort {Rechtsnebenklasse}{} \zusatzklammer {zu $y$} {} {.}

}

Die Äquivalenzklassen zu der oben definierten Äquivalenzrelation sind wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{{{[}}x{{]}} }
{ =} {{ \left\{ y \in G \mid x \sim y \right\} } }
{ =} {{ \left\{ y \in G \mid x^{-1} y \in H \right\} } }
{ =} {{ \left\{ y \in G \mid \text{es gibt } h \in H \text{ mit } x^{-1 }y = h \right\} } }
{ =} {{ \left\{ y \in G \mid \text{es gibt } h \in H \text{ mit } y = xh \right\} } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {xH }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{} genau die Linksnebenklassen. Die Linksnebenklassen bilden somit eine disjunkte Zerlegung \zusatzklammer {eine \stichwort {Partition} {}} {} {} von $G$. Dies gilt ebenso für die Rechtsnebenklassen. Im kommutativen Fall muss man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen unterscheiden.





\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Nebenklassen/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Es seien
\mathl{x,y \in G}{} zwei Elemente.}
\faktfolgerung {Dann sind folgende Aussagen äquivalent. \aufzaehlungsieben{$x \in yH$. }{$y \in xH$. }{$y^{-1}x \in H$. }{$x^{-1}y \in H$. }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ xH \cap yH }
{ \neq }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim_H }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xH }
{ = }{yH }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Äquivalenz von $(1)$ und $(3)$ \zusatzklammer {und die von $(2)$ und $(4)$} {} {} folgt aus Multiplikation mit $y^{-1}$ bzw. mit $y$. Die Äquivalenz von $(3)$ und $(4)$ folgt durch Übergang zum Inversen. Aus $(1)$ folgt $(5)$ wegen
\mathl{1 \in H}{.} Wenn $(5)$ erfüllt ist, so bedeutet das
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xh_1 }
{ = }{yh_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit gewissen
\mathl{h_1,h_2 \in H}{.} Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{yh_2h_1^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $(1)$ ist erfüllt. (4) und (6) sind nach Definition 7.1 äquivalent. Da die Linksnebenklassen die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} sind, ergibt sich die Äquivalenz von (5) und (7).

}






\zwischenueberschrift{Der Satz von Lagrange}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Joseph-Louis_Lagrange.eps} }
\end{center}
\bildtext {Joseph-Louis Lagrange (1736 Turin - 1813 Paris)} }

\bildlizenz { Joseph-Louis Lagrange.jpeg } {unbekannt} {Katpatuka} {Commons} {PD} {http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Joseph-Louis_Lagrange.jpeg}






\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei $G$ eine endliche \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ \subseteq }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $G$.}
\faktfolgerung {Dann ist ihre Kardinalität ${ \# \left( H \right) }$ ein Teiler von ${ \# \left( G \right) }$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Linksnebenklassen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{gH }
{ \defeq }{{ \left\{ gh \mid h\in H \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für sämtliche
\mathl{g \in G}{.} Es ist \maabbeledisp {} {H} {gH } {h} {gh } {,} eine Bijektion zwischen \mathkor {} {H} {und} {gH} {,} so dass alle Nebenklassen gleich groß sind \zusatzklammer {und zwar ${ \# \left( H \right) }$ Elemente haben} {} {.} Die Nebenklassen bilden \zusatzklammer {als Äquivalenzklassen} {} {} zusammen eine \definitionsverweis {Zerlegung}{}{} von $G$, so dass ${ \# \left( G \right) }$ ein Vielfaches von ${ \# \left( H \right) }$ sein muss.

}






\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Lagrange/Ordnung eines Elementes/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Sei $G$ eine endliche \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und sei
\mathl{g \in G}{} ein Element.}
\faktfolgerung {Dann teilt die \definitionsverweis {Ordnung von $g$}{}{} die \definitionsverweis {Gruppenordnung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Sei $H$ die von $g$ erzeugte Untergruppe. Nach Lemma 2.3 ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (g) }
{ =} { \operatorname{ord} \, (H) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher teilt diese Zahl nach Satz 7.4 die Gruppenordnung von $G$.

}





\inputdefinition
{}
{

Zu einer \definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ \subseteq }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt die Anzahl der \zusatzklammer {Links- oder Rechts} {-} {}\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{} der \definitionswort {Index}{} von $H$ in $G$, geschrieben
\mathdisp {\operatorname{ind}_{G } H} { . }

}

In der vorstehenden Definition ist Anzahl im allgemeinen als die \stichwort {Mächtigkeit} {} einer Menge zu verstehen. Der Index wird aber hauptsächlich dann verwendet, wenn er endlich ist, wenn es also nur endlich viele Nebenklassen gibt. Das ist bei endlichem $G$ automatisch der Fall, kann aber auch bei unendlichem $G$ der Fall sein, wie schon die Beispiele
\mathbed {\Z n \subseteq \Z} {}
{n \geq 1} {}
{} {} {} {,} zeigen. Wenn $G$ eine endliche Gruppe ist und
\mathl{H \subseteq G}{} eine Untergruppe, so gilt aufgrund des Satzes von Lagrange die einfache \stichwort {Indexformel} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( G \right) } }
{ =} { { \# \left( H \right) } \cdot \operatorname{ind}_{G } H }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}






\zwischenueberschrift{Normalteiler}




\inputdefinition
{}
{

Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ \subseteq }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Man nennt $H$ einen \definitionswort {Normalteiler}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xH }
{ =} {Hx }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in G}{} ist, wenn also die \definitionsverweis {Linksnebenklasse}{}{} zu $x$ mit der Rechtsnebenklasse zu $x$ übereinstimmt.

}

Bei einem Normalteiler braucht man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen zu unterscheiden und spricht einfach von \stichwort {Nebenklassen} {.} Statt \mathkor {} {xH} {oder} {Hx} {} schreiben wir meistens $[x]$. Die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xH }
{ = }{Hx }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bedeutet
\betonung{nicht}{,} dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xh }
{ = }{hx }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{h \in H}{} ist, sondern lediglich, dass es zu jedem
\mathl{h \in H}{} ein
\mathl{\tilde{h} \in H}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xh }
{ = }{\tilde{h}x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} gibt.





\inputfaktbeweis
{Normalteiler/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind folgende Aussagen äquivalent. \aufzaehlungdrei{$H$ ist ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} }{Es ist
\mathl{xhx^{-1} \in H}{} für alle \mathkor {} {x \in G} {und} {h \in H} {.} }{$H$ ist invariant unter jedem \definitionsverweis {inneren Automorphismus}{}{} von $G$. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

(1) bedeutet bei gegebenem
\mathl{h \in H}{,} dass man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ xh }
{ = }{\tilde{h}x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem
\mathl{\tilde{h} \in H}{} schreiben kann. Durch Multiplikation mit $x^{-1}$ von rechts ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xhx^{-1} }
{ = }{\tilde{h} }
{ \in }{H }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also $(2)$. Dieses Argument rückwärts ergibt die Implikation $(2) \Rightarrow (1)$. Ferner ist $(2)$ eine explizite Umformulierung von $(3)$.

}





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ = }{S_3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu einer dreielementigen Menge, d.h. $S_3$ besteht aus den bijektiven Abbildungen der Menge
\mathl{\{1,2,3\}}{} in sich. Die triviale Gruppe $\{ \operatorname{id} \}$ und die ganze Gruppe sind \definitionsverweis {Normalteiler}{}{.} Die Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ = }{ \{ \operatorname{id} \, , \varphi \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $\varphi$ die Elemente \mathkor {} {1} {und} {2} {} vertauscht und $3$ unverändert lässt, ist eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Sie ist aber kein Normalteiler. Um dies zu zeigen, sei $\psi$ die Bijektion, die $1$ fest lässt und \mathkor {} {2} {und} {3} {} vertauscht. Dieses $\psi$ ist zu sich selbst invers. Die \definitionsverweis {Konjugation}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi \varphi \psi^{-1} }
{ = }{\psi \varphi \psi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist dann die Abbildung, die \mathkor {} {1} {auf} {3} {,} \mathkor {} {2} {auf} {2} {} und \mathkor {} {3} {auf} {1} {} schickt, und diese Bijektion gehört nicht zu $H$.


}





\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Kern ist Normalteiler/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der \definitionsverweis {Kern}{}{}
\mathl{\ker \varphi}{} ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir verwenden Lemma 7.8. Sei also
\mathl{x \in G}{} beliebig und
\mathl{h \in \ker \varphi}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi { \left( xh x^{-1} \right) } }
{ =} { \varphi(x) \varphi(h) \varphi { \left( x^{-1} \right) } }
{ =} { \varphi(x) e_H\varphi { \left( x^{-1} \right) } }
{ =} { \varphi(x) \varphi(x)^{-1} }
{ =} { e_H }
} {}{}{,} also gehört
\mathl{xh x^{-1}}{} ebenfalls zum Kern.

}






\zwischenueberschrift{Restklassenbildung}

Wir zeigen nun umgekehrt, dass jeder Normalteiler sich als Kern eines geeigneten, surjektiven Gruppenhomomorphismus realisieren lässt.






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Coset_multiplication.eps} }
\end{center}
\bildtext {Die Multiplikation der Nebenklassen zu einem Normalteiler $N \subseteq G$.} }

\bildlizenz { Coset multiplication.svg } {} {Cronholm 144} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}






\inputfaktbeweis
{Gruppe/Normalteiler/Restklassengruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{.} Es sei
\mathl{G/H}{} die Menge der \definitionsverweis {Nebenklassen}{}{} \zusatzklammer {die Quotientenmenge} {} {} und \maabbeledisp {q} {G} {G/H } {g} {[g] } {,} die \definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf
\mathl{G/H}{} derart, dass $q$ ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [x] [y] }
{ =} { [xy] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben sein. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf
\mathl{G/H}{} definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für \mathkon { [x]=[x'] } { und } { [y]=[y'] }{ } zu zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{[xy] }
{ = }{[x'y'] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Nach Voraussetzung können wir \mathkon { x'=xh } { und } { hy'= \tilde{h} y=yh' }{ } mit
\mathl{h, \tilde{h}, h' \in H}{} schreiben. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x'y' }
{ =} {(xh)y' }
{ =} {x(hy') }
{ =} {x(yh') }
{ =} {xyh' }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [xy] }
{ = }{ [x'y'] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf
\mathl{G/H}{} folgen die Gruppeneigenschaften, die Homomorphieeigenschaft der Projektion und die Eindeutigkeit.

}





\inputdefinition
{}
{

Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{.} Die \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
\mathdisp {G/H} { }
mit der aufgrund von Satz 7.11 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt \definitionswort {Restklassengruppe von }{} $G$ \definitionswort {modulo}{} $H$. Die Elemente
\mathl{[g] \in G/H}{} heißen \definitionswort {Restklassen}{.} Für eine Restklasse $[g]$ heißt jedes Element \mathkor {} {g' \in G} {mit} {[g'] = [g]} {} ein \definitionswort {Repräsentant}{} von $[g]$.

}




\inputbeispiel{}
{

Die \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} der ganzen Zahlen sind nach Satz 3.2 von der Form \mathkor {} {\Z n} {mit} {n \geq 0} {.} Die \definitionsverweis {Restklassengruppen}{}{} werden mit
\mathdisp {\Z/(n)} { }
bezeichnet \zusatzklammer {sprich \anfuehrung{$\Z$ modulo $n$}{}} {} {.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist das einfach $\Z$ selbst, bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist das die \definitionsverweis {triviale Gruppe}{}{.} Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe $\Z n$ definierte Äquivalenzrelation auf $\Z$ dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen \mathkor {} {a} {und} {b} {} genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz
\mathl{a-b}{} zu $\Z n$ gehört, also ein Vielfaches von $n$ ist. Daher ist \zusatzklammer {bei $n \geq 1$} {} {} jede ganze Zahl zu genau einer der $n$ Zahlen
\mathdisp {0,1,2 , \ldots , n-1} { }
äquivalent \zusatzklammer {oder, wie man auch sagt, \stichwort {kongruent modulo $n$} {}} {} {,} nämlich zum Rest, der sich bei Division durch $n$ ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt $n$ Elemente. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung \maabbeledisp {} {\Z} { \Z/(n) } {a} {[a] = a \! \! \! \mod n } {,} ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt. Als Bild der \definitionsverweis {zyklischen Gruppe}{}{} $\Z$ ist auch
\mathl{\Z/(n)}{} zyklisch, und zwar ist $1$ \zusatzklammer {aber auch $-1$} {} {} stets ein Erzeuger.


}



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