Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 8

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Homomorphie- und Isomorphiesatz



Satz  

Seien und Gruppen, es sei ein Gruppenhomomorphismus und ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

derart, dass ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

ist kommutativ.

Beweis  

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element gibt es mindestens ein mit . Wegen der Kommutativität des Diagramms muss

gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein geben kann.
Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Seien also zwei Urbilder von . Dann ist

und somit ist . Daher ist . Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien und seien Urbilder davon. Dann ist ein Urbild von und daher ist

D.h. ist ein Gruppenhomomorphismus.


Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt induzierte Abbildung oder induzierter Homomorphismus und entsprechend heißt der Satz auch Satz vom induzierten Homomorphismus.



Korollar  

Seien und Gruppen und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

Beweis  

Wir wenden Satz 8.1 auf und die kanonische Projektion an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

mit , der surjektiv ist. Sei und . Dann ist

also . Damit ist , d.h. der Kern von ist trivial und nach Lemma 5.12 ist auch injektiv.




Satz  

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

wobei die kanonische Projektion, ein Gruppenisomorphismus und die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.

Beweis  

Dies folgt aus Korollar 8.2, angewandt auf die Bildgruppe .


Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:

Bild Urbild modulo Kern.



Satz  

Sei eine Gruppe und ein Normalteiler mit der Restklassengruppe . Es sei ein weiterer Normalteiler in , der umfasst.

Dann ist das Bild von in ein Normalteiler und es gilt die kanonische Isomorphie

Beweis  

Für die erste Aussage siehe Aufgabe *****. Damit ist die Restklassengruppe wohldefiniert. Wir betrachten die Komposition

Wegen

ist . Daher ergibt Korollar 8.2 die kanonische Isomorphie


Kurz gesagt ist also



Permutationsgruppen

Seien Mengen und es seien Abbildungen

gegeben. Dann ist es egal, ob man die Hintereinanderschaltung der drei Abbildungen als oder als auffasst. Das ist die natürliche Assoziativität für Abbildungen.


Definition  

Sei eine beliebige Menge. Dann ist die Menge

der Abbildungen von in sich mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung und mit der Identität als neutralem Element ein Monoid, das man das Abbildungsmonoid zu nennt.


Definition  

Zu einer Menge nennt man die Menge

der bijektiven Selbstabbildungen die Automorphismengruppe oder die Permutationsgruppe zu .

Eine bijektive Selbstabbildung nennt man auch eine Permutation. Für eine endliche Menge schreibt man . Wir werden uns hauptsächlich auf endliche Permutationsgruppen beschränken. Eine endliche Permutation kann man beispielsweise mit einer (vollständigen) Wertetabelle oder mit einem Pfeildiagramm beschreiben.

Composicion de permutaciones.svg




Lemma  

Sei eine endliche Menge mit Elementen.

Dann besitzt die Permutationsgruppe genau Elemente.

Beweis  

Es sei . Für die gibt es mögliche Bilder, für gibt es noch mögliche Bilder, für gibt es noch mögliche Bilder, usw. Daher gibt es insgesamt

mögliche Permutationen.




Lemma  

Sei eine Menge und eine Teilmenge.

Dann gibt es eine natürliche injektive Abbildung

wobei auf gleich und auf die Identität ist.

Mittels dieser Abbildung ist eine Untergruppe von .

Beweis  

Offenbar ist die Abbildung wohldefiniert. Sie ist injektiv, da aus sofort folgt, dass ist. Die Abbildung liefert eine Bijektion zwischen und der Menge der Permutationen auf , die fest lassen. Diese Permutationen bilden eine Untergruppe.

Bemerkung

Das vorstehende Lemma besagt bei und , dass eine Untergruppe ist. Diese Untergruppe ist bei kein Normalteiler. Sie hat den Index , woraus sich erneut durch Induktion ergibt, dass die Permutationsgruppe die Ordnung besitzt.


Permutationsgruppen tauchen in vielen unterschiedlichen Situationen auf, und zwar häufig dann, wenn man sich die Wirkungsweise einer Gruppe auf einem geometrischen Objekt anschaut, wie im folgenden Beispiel (Zykel und Transposition werden sofort definiert).


Beispiel  

Wir betrachten die Gruppe der eigentlichen Bewegungen an einem Würfel. Für eine fixierte Raumdiagonale betrachten wir die Untergruppe derjenigen Bewegungen, die diese Raumdiagonale in sich überführen. Das sind einerseits die drei Drehungen um diese Achse um Grad, andererseits aber auch die drei Halbdrehungen um diejenigen Kantenmittelpunktsachsen, deren Kanten nicht an den Ecken von anliegen. Diese drei Halbdrehungen führen ebenfalls in sich über, wobei allerdings die Eckpunkte vertauscht werden.

Es seien und die drei anderen Raumdiagonalachsen. Dann definiert jede Bewegung aus eine Permutation der Menge . Die beiden Dritteldrehungen definieren dabei die beiden Zykel und , und die drei Halbdrehungen definieren jeweils eine Transposition. Damit ist isomorph zu und somit ist eine Untergruppe der Würfelgruppe.




Zykeldarstellung für Permutationen

Sei eine endliche Menge, eine Permutation und . Dann kann man die Folge

betrachten. Da endlich ist, gibt es eine Wiederholung mit . Durch Multiplikation mit sieht man, dass es ein minimales gibt mit , und dass alle für , , verschieden sind. Ist , so durchläuft auch dieselbe Teilmenge aus .


Definition  

Sei eine endliche Menge und eine Permutation auf . Man nennt einen Zykel der Ordnung , wenn es eine -elementige Teilmenge derart gibt, dass auf die Identität ist und die Elemente aus zyklisch vertauscht. Wenn ist, so schreibt man einfach

Dabei kann man statt jedes andere Element aus als Anfangsglied nehmen. Die Menge heißt auch der Wirkungsbereich des Zykels, und die (geordnete) Auflistung heißt die Wirkungsfolge des Zykels.


Definition  

Eine Transposition auf einer endlichen Menge ist eine Permutation auf , die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.

Eine Transposition ist also ein besonders einfacher Zykel mit der Zyklendarstellung , wenn die Transposition die Punkte und vertauscht.



Lemma  

Jede Permutation auf einer endlichen Menge

kann man als Produkt von Transpositionen schreiben.

Beweis  

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Menge . Für ist nichts zu zeigen, sei also . Die Identität ist das leere Produkt aus Transpositionen. Sei also nicht die Identität, und sei Es sei die Transposition, die und vertauscht. Dann ist ein Fixpunkt von , und man kann auffassen als eine Permutation auf . Nach Induktionsvoraussetzung gibt es dann Transpositionen auf mit auf . Dies gilt dann auch auf , und daher ist .




Satz  

Sei eine endliche Menge und eine Permutation auf .

Dann gibt es eine Darstellung

wobei die Zykel der Ordnung sind mit disjunkten Wirkungsbereichen.

Dabei ist die Darstellung bis auf die Reihenfolge eindeutig.

Beweis  

Es sei die Fixpunktmenge von und es seien diejenigen Teilmengen von mit mindestens zwei Elementen derart, dass die Elemente aus jedem zyklisch vertauscht. Dann ist die disjunkte Vereinigung aus und den . Zu , , sei der Zykel auf , der auf die Identität ist und auf mit übereinstimmt. Wir behaupten

Um dies einzusehen, sei beliebig. Bei ist ein Fixpunkt für alle und daher kommt links und rechts wieder raus. Sei also kein Fixpunkt der Permutation. Dann gehört für genau ein . Für alle ist ein Fixpunkt von . Da ebenfalls zu gehört, ist auch ein Fixpunkt von für alle . Wendet man daher die rechte Seite auf an, so wird auf abgebildet bis man zu kommt. Dieses bildet auf ab und die folgenden bilden auf ab, so dass die rechte Seite insgesamt auf schickt und daher mit übereinstimmt.


Aufgrund von diesem Satz können wir allgemein eine Zyklendarstellung für eine beliebige Permutation definieren.


Definition  

Sei eine endliche Menge und eine Permutation auf . Es seien die Wirkungsbereiche der Zyklen von mit . Es sei und . Dann nennt man

die Zyklendarstellung von .

Diese Schreibweise ist wie in Satz 8.14 zu verstehen, dass also das Produkt der Zykel ist, die jeweils durch ihre Wirkungsfolge angegeben werden.



<< | Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)