Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 7

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Ist das Bild von ein Normalteiler in ?


Aufgabe

Sei eine Gruppe und sei ein Element und sei

die Multiplikation mit . Zeige, dass bijektiv ist, und dass genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn ist.


Aufgabe

Sei eine Primzahl und sei eine Gruppe der Ordnung . Zeige, dass eine zyklische Gruppe ist.


Aufgabe *

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild eines Normalteilers ein Normalteiler in ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von Normalteilern , , in einer Gruppe ein Normalteiler ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Untergruppen von .


Aufgabe (2 Punkte)

Seien und Gruppen und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild eines Normalteilers ein Normalteiler in ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede Untergruppe vom Index zwei in einer Gruppe ein Normalteiler in ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und Gruppen mit der Produktgruppe . Zeige, dass die Gruppe ein Normalteiler in ist, und dass die Restklassengruppe kanonisch isomorph zu ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Gruppe und sei eine Menge mit einer Verknüpfung. Es sei

eine surjektive Abbildung mit für alle . Zeige, dass eine Gruppe und ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von drei Untergruppen an derart, dass ein Normalteiler in und ein Normalteiler in , aber kein Normalteiler in ist.



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