Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 19

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei . Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das bei der Eingabe von in den ersten Registern die Zahl berechnet, ausdruckt und anhält.


Aufgabe

Sei . Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das bei Eingabe von im ersten Register die -adische Ziffernentwicklung (mit ) berechnet, nach und nach die Ziffern (beginnend mit ) ausdruckt und schließlich anhält.


Aufgabe

Sei . Entwerfe ein Programm für eine Registermaschine, das zur Eingabe von im ersten Register die -adische Ziffernentwicklung (mit ) berechnet, nach und nach die Exponenten und die zugehörigen Ziffern (beginnend mit und ) ausdruckt und schließlich anhält.


Wir nennen ein Registerprogramm Zustands-periodisch, wenn zwei identische Zustände (d.h. identische Inhalte in allen Registern und identische Befehlszeilennummern) zu unterschiedlichen Zeitpunkten im Programmablauf eingenommen werden (bei leerer Anfangsbelegung).

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein Zustands-periodisches Programm.


Aufgabe

Seien entscheidbare Mengen. Zeige, dass dann auch die Vereinigung , der Durchschnitt und auch das Komplement entscheidbar sind.


Aufgabe

Zeige, dass es nur abzählbar viele entscheidbare Teilmengen von gibt.


Aufgabe

Sei ein Ausdruck in der Sprache der Arithmetik (mit den Konstanten , den Funktionssymbolen und dem Relationssymbol ), der keine Quantoren enthält und nur eine einzige Variable .

Zeige: Die Menge aller die erfüllen, d.h.

ist entscheidbar.


In den folgende Aufgaben verwenden wir den Begriff der Aufzählbarkeit nicht nur für Teilmengen , sondern auch für Teilmengen aus .

Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet mit einer -Aufzählung der in vorkommenden Variablen, Konstanten und Funktionssymbole. Zeige, dass es auch eine -Aufzählung der -Terme gibt.


Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet mit einer -Aufzählung der in vorkommenden Variablen, Konstanten, Funktionssymbole und Relationssymbole. Zeige, dass es auch eine -Aufzählung der -Ausdrücke gibt.


Aufgabe

Es sei ein Symbolalphabet mit einer -Aufzählung der in vorkommenden Variablen, Konstanten, Funktionssymbole und Relationssymbole. Zeige, dass es auch eine -Aufzählung der -Tautologien gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein nicht anhaltendes, Register-beschränktes Programm (d.h. es gibt eine Schranke , die die Registerinhalte zu keinem Zeitpunkt des Programmablaufes überschreiten) Zustands-periodisch ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für ein nicht anhaltendes Registerprogramm, das keine Periodizität im Ablauf der Befehlsnummern besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen entscheidbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien Teilmengen, deren symmetrische Differenz endlich sei. Zeige, dass genau dann aufzählbar bzw. entscheidbar ist, wenn aufzählbar bzw. entscheidbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Es gebe ein Programm für eine Registermaschine, das die Elemente von in aufsteigender Reihenfolge ausgibt. Zeige, dass entscheidbar ist.


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