Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 27/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine ${}K$ - Modallogik, in der das Möglichkeitsaxiom und das Löb-Axiom gelten, bereits widersprüchlich ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das universelle modallogische Modell zu einer einzigen Aussagenvariable ${}p$ bereits unendlich ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge. Zeige, dass ${}T$ vollständig ist, dass also für jedes ${}\alpha \in L$ die Alternative „Entweder ${}\alpha \in T$ oder ${}\neg \alpha \in T$ “ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die ${}K$ - Modallogik umfasse und in der die Nezessisierungsregel gelte. Zeige, dass in ${}T$ entweder das Leerheitsaxiom oder das Fatalismusaxiom gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}T$ eine maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmenge, die die ${}K$ - Modallogik umfasse und in der es einen paradoxen Ausdruck gebe. Zeige, dass ${}T$ nicht unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen ist.

Die folgende Aufgabe kann man wegen Aufgabe 25.6 insbesondere auf die Beweisbarkeitslogik anwenden.

Aufgabe Aufgabe 27.6 ändern

Wir setzen

{}\bot :=p\wedge \neg p\,.

Es sei ${}\Gamma$ eine ${}K$ - Modallogik, in der

\Gamma \vdash \Box \bot \leftrightarrow \Box \neg \Box \bot

ableitbar ist. Zeige, dass es keine widerspruchsfreie Erweiterung

{}\Gamma \subseteq {\tilde {\Gamma }}\,

gibt, die aussagenlogisch und unter der Nezessierungsregel abgeschlossen ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K=K^{\vdash }$ die ${}K$ - Modallogik und sei ${}U$ das universelle modallogische Modell. Zeige

{}K=\bigcap _{W\in U}W\,.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Ist das universelle modallogische Modell symmetrisch, reflexiv, transitiv? Ist das universell symmetrische modallogische Modell reflexiv?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}(U,R,\nu )$ das universelle modallogische Modell. Kann man auf ${}(U,R)$ auch eine andere Wahrheitsbelegung definieren?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für ein modallogisches Modell ${}(M,R,\nu )$ , eine Welt ${}w\in M$ und einen modallogischen Ausdruck ${}\alpha \rightarrow \beta$ mit

(M,R,\nu ,w)\vDash \alpha \rightarrow \beta ,

aber

(M,R,\nu ,w)\not \vDash \Box \alpha \rightarrow \Box \beta .

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}(M,S,\mu )$ ein modallogisches Modell und ${}(U,R,\nu )$ das universelle modallogische Modell. Zeige, dass durch

M\longrightarrow U,\,w\longmapsto (M,S,\mu ,w)^{\vDash },

eine Abbildung definiert ist, die ein Homomorphismus (bezüglich der zweistelligen Relationen ${}S$ und ${}R$ ) ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}(M,R,\mu )$ ein modallogisches Modell für die ${}S5$ - Modallogik. Zeige, dass für zueinander erreichbare Welten ${}v,w\in M$ die Gültigkeitsmengen verschieden sein können, dass aber für jeden Ausdruck ${}(M,R,\mu ,v)\vDash \Box \alpha$ genau dann gilt, wenn ${}(M,R,\mu ,w)\vDash \Box \alpha$ gilt.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}\Gamma$ eine modallogische Ausdrucksmenge und ${}\alpha$ ein modallogischer Ausdruck. Es sei ${}\Gamma \vDash \alpha$ . Zeige, dass es eine endliche Teilmenge ${}\Gamma _{e}\subseteq \Gamma$ mit ${}\Gamma _{e}\vDash \alpha$ gibt.