Kurs:Elementare Algebra/4/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 4 }
\renewcommand{\azwei}{ 4 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 12 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 8 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Ein \stichwort {Monoid} {} $M$.
}{Die
\stichwort {Ordnung} {}
eines Elements
\mathl{g \in G}{} in einer Gruppe $G$.
}{Ein \stichwort {Nichtnullteiler} {} $a$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.
}{Ein \stichwort {Körper} {} $K$.
}{Ein
\stichwort {Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Die
\stichwort {eulersche Funktion} {}
\mathl{\varphi(n)}{} zu
\mathl{n \in \N}{.}
}{Der
\stichwort {Zerfällungskörper} {}
zu einem Polynom
\mathl{F \in K[X]}{} über einem Körper $K$.
}{Eine
\stichwort {konstruierbare} {}
Zahl
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}
}
}
{
\aufzaehlungacht{Ein Monoid ist eine Menge $M$ zusammen mit einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbdisp {\circ} {M \times M} { M
} {}
und einem ausgezeichneten Element $e \in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x \circ y) \circ z
}
{ =} {x \circ (y \circ z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $x,y,z \in M$.
} {$e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \circ e
}
{ =} { x
}
{ =} { e \circ x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $x \in M$.
}
}{Man nennt die kleinste positive Zahl $n$ mit
\mathl{g^n= e_G}{} die Ordnung von $g$. Wenn alle positiven Potenzen von $g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man
\mathl{\operatorname{ord} \, (g)= \infty}{.}
}{Das Element $a$ ist ein Nichtnullteiler, wenn für jedes
\mathl{b \in R}{} aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Ein Körper $K$ ist ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
wenn
\mathl{K \neq 0}{} ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element in $K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
}{Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak a} \subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
\aufzaehlungzwei {Für alle
\mathl{a,b \in {\mathfrak a}}{} ist auch
\mathl{a+b \in {\mathfrak a}}{.}
} {Für alle
\mathl{a \in {\mathfrak a}}{} und
\mathl{r \in R}{} ist auch
\mathl{ra \in {\mathfrak a}}{.}}
}{Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet
\mathl{{\varphi (n)}}{} die Anzahl der Elemente von
\mathl{(\Z/(n))^{\times}}{.}
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,}
über der $F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Nullstellen von $F$. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[a_1 , \ldots , a_n ]
}
{ \subseteq} { L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
einen \stichwort {Zerfällungskörper} {} von $F$.
}{Eine Zahl
\mathl{z \in {\mathbb C} \cong \R^2 \cong E}{} heißt \stichwort {konstruierbar} {,} wenn sie aus der Startmenge
\mathdisp {\{0 , 1 \} \subset \R \subset {\mathbb C}} { }
\definitionsverweis {mit Zirkel und Lineal konstruierbar}{}{}
ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungvier{Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten
\zusatzklammer {\stichwort {Pascalsches Dreieck} {}} {} {.}}{Der
\stichwort {Fundamentalsatz der Algebra} {.}}{Der Satz über die Faktorzerlegung im Quotientenkörper
\mathl{K=Q(R)}{} zu einem faktoriellen Bereich $R$.}{Der Satz über die Winkeldreiteilung.}
}
{
\aufzaehlungvier{Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n+1 } { k }
}
{ =} { \binom { n } { k } + \binom { n } { k-1 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Jedes nichtkonstante Polynom
\mathl{P \in{\mathbb C}[X]}{} über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.}{Jedes Element
\mathbed {f \in K} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
besitzt eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { u p_1^{r_1} { \cdots } p_n^{r_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer Einheit
\mathl{u \in R}{} und ganzzahligen Exponenten $r_i$.}{Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels
\definitionsverweis {Zirkel und Lineal}{}{}
in drei gleich große Teile zu unterteilen.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^{-1} \right) }^{-1}
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in G}{} ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x \circ x^{-1}
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit ist $x$ das Inverse zu $x^{-1}$. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^{-1} \right) }^{-1}
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe
\mathl{65}{} und deren Produkt $1000$ ist.
}
{
Die Primfaktorzerlegung von
\mathl{1000}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1000
}
{ =} {2^3 \cdot 5^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die beiden gesuchten Zahlen müssen also Teiler davon sein, also von der Form
\mathl{2^i 5^j}{} mit
\mathl{i,j \leq 3}{.} Da die Summe ungerade ist, besitzt die eine Zahl die Form
\mathdisp {8 \cdot 5^j} { . }
Dies führt auf die
\mathkor {} {40} {und} {25} {.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K[X]}{} der Polynomring über $K$. Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass $K[X]$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
ist.
}
{
Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in
\mathl{K[X]}{.} Betrachte die nichtleere Menge
\mathdisp {{ \left\{ \operatorname{grad} \, (P) \mid P \in I, \, P \neq 0 \right\} }} { . }
Diese Menge hat ein Minimum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das von einem Element
\mathbed {F \in I} {}
{F \neq 0} {}
{} {} {} {,}
herrührt, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ \operatorname{grad} \, (F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Die Inklusion $\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von $\subseteq$ sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Aufgrund
von Satz 5.3
gilt
\mathdisp {P = F Q + R \text{ mit } \operatorname{grad} \, (R) < \operatorname{grad} \, (F)
\text{ oder } R = 0} { . }
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Minimalität von
\mathl{\operatorname{grad} \, (F)}{} kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $P$ ist ein Vielfaches von $F$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Man gebe zu jedem
\mathl{n \geq 2}{} einen
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und ein Element
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,}
an, für das
\mathkor {} {nx=0} {und} {x^n =0} {}
gilt.
}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \Z/(n) [X]/(X^n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und darin die Restklasse zu $X$, die wir mit $x$ bezeichnen. Das Element $x$ ist nicht $0$, da im Polynomring aus Gradgründen $X$ nicht ein Vielfaches von
\mathl{X^n}{} mit
\mathl{n \geq 2}{} sein kann. In diesem Ring gilt
\mathl{n=0}{} und daher ist
\mathl{ny=0}{} überhaupt für jedes Element
\mathl{y \in R}{,} also insbesondere für $x$. Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^n
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da in der Restklassenbildung das gesamte Ideale zu $0$ gemacht wird.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{
Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe $S_n$ zu einer Menge mit $n$ Elementen.
a) Zeige, dass es in $S_n$ Elemente der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ gibt.
b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe $S_n$ und einem Element darin, dessen Ordnung größer als $n$ ist.
}
{
Die Menge sei
\mathl{M=\{1,2 , \ldots , n\}}{.}
a) Die zyklische Permutation
\wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {\cdots} {n-1} {n
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {3} {\cdots} {n} {1} }
hat offenbar die Ordnung $n$, da zu jedem Element
\mathl{a \in M}{} die Potenzen
\mathl{\sigma^j(a)}{} für
\mathl{j=0,1,2 , \ldots , n-1}{} die Elemente von $M$ durchlaufen.
b) Es sei
\mathl{M=\{1,2 , \ldots , n\}}{} und betrachte die Permutation
\wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {1} {4} {5} {3} }
Die Zahlen
\mathkor {} {1} {und} {2} {}
sind wieder an ihrer Stelle, wenn man eine Potenz von $\sigma$ mit einem geraden Exponenten anwendet, und die Zahlen
\mathkor {} {3,4} {und} {5} {}
sind wieder an ihrer Stelle, wenn der Exponent ein Vielfaches von $3$ ist. Die Ordnung ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{6
}
{ > }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{h \in R}{.} Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {R} {R
} {f} {hf
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist. Beschreibe das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
und den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
dieser Abbildung.
}
{
Für Elemente
\mathl{f_1,f_2 \in R}{} ist nach dem Distributivgesetz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(f_1+f_2)
}
{ =} { hf_1 + hf_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und genau dies besagt, dass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt. Das Bild besteht aus allen Elementen der Form
\mathdisp {{ \left\{ hf \mid f \in R \right\} }} { , }
dies ist genau das von $h$ erzeugte Hauptideal
\mathl{(h)}{.} Der Kern besteht aus allen Elementen der Form
\mathdisp {{ \left\{ f \mid hf = 0 \right\} }} { , }
das sind also alle Elemente, die bei Multiplikation mit $h$ die $0$ ergeben.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (1+3)}
{
a) Finde die Zahlen
\mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 9 \}}{} mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates
\zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {}
gleich $z$ ist.
b) Finde die Zahlen
\mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 99 \}}{} mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates
\zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {}
gleich $z$ ist.
}
{
a) Hier kann man direkt ausrechnen, dass
\mathl{z=0,1,5,6}{} die Lösungen sind.
b) Es geht um die Frage, für welche
\mathl{z \in \Z/(100)}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} {z^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {in \mathlk{\Z/(100)}{}} {} {}
gilt. Es geht also darum, die
\definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{}
von
\mathl{\Z/(100)}{} zu finden. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(100)
}
{ =} {\Z/(4) \times \Z/(25)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und da es modulo einer Primzahlpotenz nur die trivialen idempotenten Elemente gibt, geht es um die Elemente
\mathl{(0,0), (1,1), (1,0), (0,1)}{} in der Produktdarstellung. Diese entsprechen den Zahlen
\mathl{0,1, 25, 76}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{12 (3+5+3+1)}
{
Es seien
\mathl{R_1, R_2 , \ldots , R_n}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Produktring}{}{.}
\aufzaehlungvier{Es seien
\mathdisp {I_1 \subseteq R_1, I_2 \subseteq R_2 , \ldots , I_n \subseteq R_n} { }
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
Zeige, dass die Produktmenge
\mathdisp {I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n} { }
ein Ideal in $R$ ist.
}{Zeige, dass jedes Ideal
\mathl{I \subseteq R}{} die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {
I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Idealen
\mathl{I_j \subseteq R_j}{} besitzt.
}{Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {
I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Ideal in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche $I_j$ Hauptideale sind.
}{Zeige, dass $R$ genau dann ein
\definitionsverweis {Hauptidealring}{}{}
ist, wenn alle $R_j$ Hauptidealringe sind.
}
}
{
\aufzaehlungvier{Wegen
\mathdisp {0= (0,0 , \ldots , 0) \in I} { }
ist $I$ nicht leer. Für zwei Elemente
\mathkor {} {a=(a_1,a_2 , \ldots , a_n)} {und} {b=(b_1,b_2 , \ldots , b_n)} {}
aus $I$ ist jeweils
\mathl{a_j, b_j \in I_j}{.} Daher ist stets
\mathl{a_j +b_j \in I}{} und somit gehört
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b
}
{ =} {(a_1,a_2 , \ldots , a_n) + (b_1,b_2 , \ldots , b_n)
}
{ =} {(a_1+b_1,a_2+b_2 , \ldots , a_n + b_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zum Ideal. Für
\mathdisp {a=(a_1,a_2 , \ldots , a_n) \in I} { }
und
\mathdisp {r= (r_1,r_2 , \ldots , r_n) \in R} { }
ist jeweils
\mathl{a_j \in I_j}{} und daher
\mathl{r_ja_j \in I_j}{.} Somit gehört
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ra
}
{ =} {(r_1,r_2 , \ldots , r_n) (a_1,a_2 , \ldots , a_n)
}
{ =} { (r_1a_1,r_2 a_2 , \ldots , r_na_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu $I$.
}{Zu einem Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq} {R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_j
}
{ =} { { \left\{ x \in R_j \mid (0 , \ldots , 0, x ,0 , \ldots , 0) \in I \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Hierbei steht $x$ an der $j$-ten Stelle. Dies ist jeweils ein Ideal in $R_j$
- Es ist
\mathl{0 \in I_j}{;} wenn
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, x ,0 , \ldots , 0) , (0 , \ldots , 0, y ,0 , \ldots , 0) \in I} { }
ist auch
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, x +y,0 , \ldots , 0) \in I} { ; }
Wenn
\mathl{x \in I_j}{} und
\mathl{r \in R_j}{} ist, so ist
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, x ,0 , \ldots , 0) \in I} { }
und somit ist
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, r ,0 , \ldots , 0) (0 , \ldots , 0, x ,0 , \ldots , 0) = (0 , \ldots , 0, rx ,0 , \ldots , 0)\in I} { , }
also
\mathl{rx \in I_j}{.} Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mathdisp {(a_1,a_2 , \ldots , a_n) \in I} { }
ist, so ist auch
\zusatzklammer {mit der $1$ an der $j$-ten Stelle} {} {}
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, 1 ,0 , \ldots , 0) \cdot (a_1,a_2 , \ldots , a_n) = (0 , \ldots , 0, a_j ,0 , \ldots , 0) \in I} { , }
also
\mathl{a_j \in I_j}{.} Also ist
\mathl{(a_1,a_2 , \ldots , a_n) \in I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n}{.} Wenn umgekehrt
\mathl{a=(a_1,a_2 , \ldots , a_n) \in I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n}{} ist, so ist
\mathl{a_j \in I_j}{,} also
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, a_j ,0 , \ldots , 0) \in I} { . }
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a_1,a_2 , \ldots , a_n)
}
{ =} { (a_1,0 , \ldots , 0) + (0,a_2,0 , \ldots , 0) + \cdots + (0,0 , \ldots , a_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist somit
\mathl{a \in I}{.}
}{Es seien zunächst die
\mathl{I_j=(f_j)}{} Hauptideale in $R_j$. Für jedes Element
\mathl{a=(a_1,a_2 , \ldots , a_n) \in I}{} ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_j
}
{ = }{ r_jf_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mathl{r_j \in R_j}{.} Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {(a_1,a_2 , \ldots , a_n)
}
{ =} {(r_1f_1,r_2f_2 , \ldots , r_n f_n)
}
{ =} { (r_1,r_2 , \ldots , r_n ) (f_1,f_2 , \ldots , f_n)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mathl{(f_1,f_2 , \ldots , f_n)}{} ein Erzeuger von
\mathl{I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n}{} und es liegt ein Hauptideal vor. Wenn umgekehrt
\mathl{I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n}{} ein Hauptideal ist, so sei
\mathl{(f_1,f_2 , \ldots , f_n)}{} ein Erzeuger davon. Zu jedem $a_j \in I_j$ gehört
\mathl{(0 , \ldots , 0, a_j ,0 , \ldots , 0)}{} zu $I$ und somit gibt es ein
\mathl{r \in R}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (0 , \ldots , 0, a_j ,0 , \ldots , 0)
}
{ =} { (r_1,r_2 , \ldots , r_n) (f_1,f_2 , \ldots , f_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_j
}
{ =} { r_jf_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist $f_j$ ein Erzeuger von $I_j$.
}{Dies folgt unmittelbar aus (3).
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (1+3)}
{
a) Zeige, dass
\mathl{X^3+X^2+2}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Z/(3) [X]$ ist.
b) Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ X^4 }{ { \left( X^3+X^2+2 \right) }^2 } }} { }
in
\mathl{\Z/(3) (X)}{.}
}
{
Für
\mathl{0,1,2}{} besitzt das Polynom
\mathl{X^3+X^2+2}{} die Werte
\mathl{2,1,2}{,} also keine Nullstelle. Nach
Lemma 6.9
ist es also irreduzibel.
b) Polynomdivision führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^4
}
{ =} { (X^3+X^2 +2) (X+2) + X^2+X+2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ X^4 }{ (X^3+X^2+2)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ (X^3+X^2 +2) (X+2) + X^2+X+2 }{ (X^3+X^2+2)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ X+2 }{ (X^3+X^2+2) } } + { \frac{ X^2+X+2 }{ (X^3+X^2+2)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme in $\Q[ { \mathrm i} ]$ das multiplikative Inverse von
\mathdisp {\frac{3}{7} + \frac{2}{5} { \mathrm i}} { . }
Die Antwort muss in der Form $p+q { \mathrm i}$ mit $p,q \in \Q$ in gekürzter Form sein.
}
{
Wir multiplizieren $\frac{3}{7} + \frac{2}{5} { \mathrm i}$ mit seinem konjugierten Element und erhalten
\mathdisp {{ \left( \frac{3}{7} + \frac{2}{5} { \mathrm i} \right) } { \left( \frac{3}{7} - \frac{2}{5} { \mathrm i} \right) } = \frac{9}{49} + \frac{4}{25} = \frac{225+196}{1225} = \frac{421}{1225}} { . }
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \frac{3}{7} + \frac{2}{5} { \mathrm i} \right) } ^{-1} }
{ =} {\frac{1225}{421} { \left( \frac{3}{7} - \frac{2}{5} { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { \frac{3675}{2947} -\frac{2450}{2105} { \mathrm i}
}
{ =} { \frac{3675}{2947} - \frac{490}{421} { \mathrm i} }
{ } {}
}
{}{}{.}
Wir überprüfen mittels dem euklidischen Algorithmus, ob die Brüche gekürzt sind oder ob man sie noch vereinfachen kann. Rechts ergibt sich
\mathdisp {490 = 1 \cdot 421 + 69} { }
\mathdisp {421 = 6 \cdot 69 + 7} { }
\mathdisp {69 = 9 \cdot 7 + 6} { }
\mathdisp {7 = 1 \cdot 6 + 1} { , }
so dass Zähler und Nenner teilerfremd sind und die Darstellung gekürzt ist. Links ergibt sich
\mathdisp {3675 = 1 \cdot 2947 + 728} { }
\mathdisp {2947 = 4 \cdot 728 + 35} { }
\mathdisp {728 = 20 \cdot
35 + 28} { }
\mathdisp {35 = 1 \cdot 28 + 7} { }
\mathdisp {28 = 4 \cdot 7 +0} { . }
Daher ist $7$ der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner, und wir können durch $7$ kürzen. Es ist
\mathdisp {3675/7 = 525 \text{ und } 2947 = 7 \cdot 421} { , }
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \frac{3}{7} + \frac{2}{5} { \mathrm i} \right) }^{-1}
}
{ =} {\frac{525}{421} -\frac{490}{421} { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8 (3+5)}
{
Es seien
\mathl{p,q \in \Q_{\geq 0}}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \sqrt{p} + \sqrt{q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass es ein Polynom
\mathl{G \in \Q[X]}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { X^4 + c X^2 + d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{G(f)=0}{} gibt.
b) Es seien nun zusätzlich \mathkor {} {p} {und} {q} {} verschiedene Primzahlen. Zeige, dass das Polynom $G$ aus Teil a) das Minimalpolynom zu $f$ ist.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^2
}
{ =} { ( \sqrt{p} + \sqrt{q})^2
}
{ =} { p+q + 2 \sqrt{p} \sqrt{q}
}
{ =} { p+q + 2 \sqrt{p q}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^4
}
{ =} { ( \sqrt{p} + \sqrt{q})^4
}
{ =} { (p+q + 2 \sqrt{p q})^2
}
{ =} { p^2+2pq+q^2 + 4 p q + 4 (p+q) \sqrt{pq}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist also $f^4$ eine
$\Q$-\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
aus
\mathkor {} {1} {und} {\sqrt{pq}} {.}
Daher kann man $f^4$ auch als $\Q$-Linearkombination von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f^0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $f^2$ ausdrücken, und dies ergibt ein annullierendes Polynom wie gewünscht.
b) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset} { \Q[ \sqrt{p}]
}
{ \subset} { \Q [ \sqrt{p}, \sqrt{q}]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Teilerweiterungen den Grad zwei besitzen. Daher hat nach
der Gradformel
die Gesamterweiterung den Grad vier. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q[f]
}
{ \subseteq} { \Q[ \sqrt{p}, \sqrt{q}]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kommt als Grad des Minimalpolynoms nur
\mathl{1,2,4}{} in Frage. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f^2
}
{ = }{ p+q + 2 \sqrt{p q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die irrationale Zahl
\mathl{\sqrt{p q} \in \Q[f]}{,} so dass der Grad eins ausgeschlossen ist. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^3
}
{ =} { { \left( p+q + 2 \sqrt{p q} \right) } { \left( \sqrt{p} + \sqrt{q} \right) }
}
{ =} { (p+q) (\sqrt{p} + \sqrt{q}) +2 \sqrt{p q} { \left( \sqrt{p} + \sqrt{q} \right) }
}
{ =} { (p+q) (\sqrt{p} + \sqrt{q}) +2 p \sqrt{ q} + 2q \sqrt{p}
}
{ =} { (p+ 3q ) \sqrt{ q} + (3 p +q) \sqrt{p}
}
}
{}
{}{.}
Durch Subtraktion mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(p+3q)f
}
{ =} { (p+3q) { \left( \sqrt{p} + \sqrt{q} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mathdisp {2 (p - q) \sqrt{p} \in \Q[f]} { }
und damit
\mathdisp {\sqrt{p} \in \Q[f]} { }
und letztlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q[f]
}
{ =} { \Q[ \sqrt{p} , \sqrt{q} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
die Potenz
\mathl{a^b}{} nicht konstruierbar sein muss.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^b
}
{ =} { 2^{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }
}
{ =} { \sqrt[3]{2}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist algebraisch und wird von
\mathl{X^3 - 2}{} annulliert. Da
\mathl{\sqrt[3]{2} \in \R \setminus \Q}{} liegt, gibt es nur eine reelle Nullstelle und keine rationale Nullstelle. Daher ist
nach Lemma 6.9
das Polynom
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
und daher
nach Lemma 23.2
gleich dem
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{.}
Also besitzt die Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ \sqrt[3]{2}]
}
{ \cong} { K[X]/(X^3-2)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$3$.
Nach Korollar 26.7
kann daher
\mathl{\sqrt[3]{2}}{} nicht konstruierbar sein.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Zeige, dass jede \definitionsverweis {komplexe Einheitswurzel}{}{} auf dem Einheitskreis liegt.
}
{
Für eine komplexe Einheitswurzel $z \in {\mathbb C}$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z^n
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für ein gewisses
\mathl{n \in \N_+}{.} Da der
\definitionsverweis {komplexe Betrag}{}{}
multiplikativ ist, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z^n }
}
{ =} { \betrag { z }^n
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mathl{\betrag { z }}{} eine positive reelle Zahl, deren $n$-te Potenz $1$ ist. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und diese Bedingung charakterisiert den Einheitskreis.
}