Kurs:Elementare Algebra/T1/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 4 }
\renewcommand{\azwei}{ 4 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 12 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 65 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Eine \stichwort {Gruppe} {} $G$.
}{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}
}{Ein \stichwort {Nichtnullteiler} {} $a$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.
}{Ein \stichwort {Körper} {} $K$.
}{Die \stichwort {komplexe Konjugation} {.}
}{Ein
\stichwort {Primelement} {}
\mathl{p \in R, \, p \neq 0}{,} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Ein
\stichwort {Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Ein \stichwort {Ringhomomorphismus} {} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} zwischen \definitionsverweis {Ringen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {.} }
}
{
\aufzaehlungacht{Eine Gruppe $G$ ist ein
\definitionsverweis {Monoid}{}{,}
in dem jedes Element ein inverses Element besitzt.
}{Der Binomialkoeffizient ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n } { k }
}
{ =} {{ \frac{ n ! }{ k ! ( n - k)! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Das Element $a$ ist ein Nichtnullteiler, wenn für jedes
\mathl{b \in R}{} aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Ein Körper $K$ ist ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
wenn
\mathl{K \neq 0}{} ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element in $K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
}{Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z = a+b { \mathrm i} } { \overline{ z } = a-b { \mathrm i}
} {,}
heißt komplexe Konjugation.
}{Das Element $p$ heißt prim, wenn es eine
\definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
ist und wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt
\mathbed {ab} {mit}
{a,b \in R} {}
{} {} {} {,}
so teilt es einen der Faktoren.
}{Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak a} \subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
\aufzaehlungzwei {Für alle
\mathl{a,b \in {\mathfrak a}}{} ist auch
\mathl{a+b \in {\mathfrak a}}{.}
} {Für alle
\mathl{a \in {\mathfrak a}}{} und
\mathl{r \in R}{} ist auch
\mathl{ra \in {\mathfrak a}}{.}}
}{Die Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {}
heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
\aufzaehlungdrei{$\varphi(a+b)= \varphi(a) + \varphi(b)$
}{$\varphi(1)=1$
}{$\varphi(a \cdot b)= \varphi(a) \cdot \varphi(b)$.
}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungvier{Die \stichwort {allgemeine binomische Formel} {} für
\mathl{(a+b)^n}{} für Elemente
\mathl{a,b \in R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.}{Der
\stichwort {Fundamentalsatz der Algebra} {.}}{Das
\stichwort {Lemma von Euklid} {}
für einen Hauptidealbereich.}{Der
\stichwort {Homomorphiesatz} {}
für Ringhomomorphismen.}
}
{
\aufzaehlungvier{Es ist
\mathdisp {( a + b )^{n} = \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k}} { . }
}{Jedes nichtkonstante Polynom
\mathl{P \in{\mathbb C}[X]}{} über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.}{Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und
\mathl{a , b , c \in R}{.} Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.}{Seien
\mathkor {} {R, S} {und} {T} {}
kommutative Ringe, es sei
\maabb {\varphi} {R} { S
} {}
ein Ringhomomorphismus und
\maabb {\psi} {R} {T
} {}
ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \psi
}
{ \subseteq} {\operatorname{kern} \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { T} {S
} {}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \tilde{\varphi} \circ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R
} {g} {fg
} {,}
wann $f$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
und wann $f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{
Die Multiplikationsabbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus dem Distributivitätsgesetz folgt. Es gilt:
$f$ ist ein Nichtnullteiler genau dann, wenn für alle $g\in R$ aus $fg=0$ folgt $g=0$. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Kern von $\mu_f$ nur aus $0$ besteht, was genau dann gilt, wenn $\mu_f$ injektiv ist.
$f$ ist eine Einheit genau dann, wenn es ein $g\in R$ gibt mit $fg=1$, was genau dann der Fall ist, wenn $1$ zum Bild von $\mu_f$ gehört. Dies wiederum ist äquivalent dazu, dass $\mu_f$ surjektiv ist, denn aus $fg=1$ folgt sofort $h=(fg)h=f(gh)$ für jedes $h\in R$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.
}
{
Es sei
\mathl{a \in R}{} eine Einheit. Dann gibt es ein
\mathl{b \in R}{} mit
\mathl{ab=1}{} und die gleiche Identität gilt auch im Polynomring. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R^{\times}
}
{ \subseteq} { R[X]^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \sum_{i = 0 }^d a_i X^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{a_d \neq 0}{}} {} {}
eine Einheit in
\mathl{R[X]}{.} Dann gibt es ein Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} { \sum_{j = 0 }^e b_j X^{j}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{b_e \neq 0}{}} {} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{PQ
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $R$ ein Integritätsbereich ist, ist
\mathl{a_db_e \neq 0}{} und das Produkt hat die Gestalt
\mathdisp {a_db_e X^{d+e} + \text{Terme von kleinerem Grad}} { . }
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d+e
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_d b_e
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das Polynom ist also eine konstante Einheit.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass für jede ungerade Zahl $n$ die Zahl
\mathl{25n^2-17}{} ein Vielfaches von $8$ ist.
}
{
Eine ungerade Zahl $n$ besitzt die Form
\mathl{n=2k+1}{} mit einer ganzen Zahl
\mathl{k}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 25n^2-17
}
{ =} { 25 (2k+1)^2 -17
}
{ =} { 25 (4k^2+4k+1 ) -17
}
{ =} {25 \cdot 4 \cdot k(k+1) +25 -17
}
{ =} { 25 \cdot 4 \cdot k(k+1) +8
}
}
{}
{}{.}
Die $8$ hinten ist ein Vielfaches von $8$. Genau eine der beiden Zahlen
\mathkor {} {k} {und} {k+1} {}
ist gerade, also von der Form $2 m$. Daher ist
\mathl{4 \cdot k(k+1)}{} ein Vielfaches von $8$ und somit ist die gesamte Zahl ein Vielfaches von $8$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zerlegung in
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
besitzt.
}
{
Wir beweisen die Existenz durch Induktion über $n$.
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt eine Primzahl vor. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist entweder $n$ eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber $n$ ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ ab
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit kleineren Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für $n$ zusammen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2 (1+1)}
{
a) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 7^4} {und} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^{11} \cdot 7} {.}
b) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 6 \cdot 7} {und} {2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^{4}} {.}
}
{
a) Beide Zahlen liegen in ihrer Primfaktorzerlegung vor, daher ist nach
Korollar 9.10
der größte gemeinsame Teiler gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 \cdot 3^2 \cdot 7
}
{ =} {126
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6
}
{ =} {2\cdot 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher lautet die Primfaktorzerlegung der ersten Zahl
\mathdisp {2^2 \cdot 3^3 \cdot 7} { }
und somit ist der größte gemeinsame Teiler gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^2 \cdot 3^3
}
{ =} { 4 \cdot 27
}
{ =} {108
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Finde im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{\Z/(2)[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
vier.
}
{
Wir betrachten das Polynom
\mathdisp {F=X^4+X+1} { . }
Da weder
\mathkor {} {0} {noch} {1} {}
eine Nullstelle von $F$ sind, besitzt es keinen Linearfaktor. Die einzige verbleibende Faktorzerlegung wäre als ein Produkt von zwei irreduziblen Polynomen vom Grad zwei. Das einzige irreduzible Polynom vom Grad zwei ist
\mathl{X^2+X+1}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X^2+X+1)^2
}
{ =} {X^4+X^2+1
}
{ \neq} {F
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $F$ irreduzibel.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{x,y \in R}{} Elemente in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Welche der folgenden Formulierungen sind zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Rx
}
{ \subseteq} {Ry
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
äquivalent.
\aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {$x$ teilt $y$.
}{$x$ wird von $y$ geteilt.
}{$y$ wird von $x$ geteilt.
}{$x$ ist ein Vielfaches von $y$.
}{$x$ ist ein Vielfaches von $x$.
} } {\itemfuenf {$y$ teilt $x$.
}{$Rx \cap Ry = Rx$.
}{Jedes Vielfache von $y$ ist auch ein Vielfaches von $x$.
}{Jeder Teiler von $y$ ist auch ein Teiler von $x$.
}{Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.
} }
}
{
Richtig sind
\mathl{2), 4), 6), 7), 9)}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K[X]}{} der Polynomring über $K$. Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass $K[X]$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
ist.
}
{
Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in
\mathl{K[X]}{.} Betrachte die nichtleere Menge
\mathdisp {{ \left\{ \operatorname{grad} \, (P) \mid P \in I, \, P \neq 0 \right\} }} { . }
Diese Menge hat ein Minimum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das von einem Element
\mathbed {F \in I} {}
{F \neq 0} {}
{} {} {} {,}
herrührt, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ \operatorname{grad} \, (F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Die Inklusion $\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von $\subseteq$ sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Aufgrund
von Satz 5.3
gilt
\mathdisp {P = F Q + R \text{ mit } \operatorname{grad} \, (R) < \operatorname{grad} \, (F)
\text{ oder } R = 0} { . }
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Minimalität von
\mathl{\operatorname{grad} \, (F)}{} kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $P$ ist ein Vielfaches von $F$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme sämtliche Teiler von $X$ im Ring $R=K[\Q_{\geq 0}]$, wobei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{
Die Teiler von $X$ sind genau die Elemente der Form
\mathdisp {aX^q \text{ mit } a \neq 0 \text{ und } q \in \Q_{\geq 0}, q \leq 1} { . }
Solche Elemente sind Teiler, da ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( aX^q \right) } { \left( a^{-1} X^{1-q} \right) }
}
{ =} { X^q X^{1-q}
}
{ =} {X^{q+1-q}
}
{ =} {X
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Wenn umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{a_{q_1} X^{q_1} + a_{q_2} X^{q_2} + \cdots + a_{q_n} X^{q_n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{0 \leq q_1< q_2 < \ldots < q_n}{} ein Teiler von $X$ ist, so gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{b_{r_1} X^{r_1} + b_{r_2} X^{r_2} + \cdots + b_{r_m} X^{r_m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit entsprechend
\mathl{0 \leq r_1< r_2 < \ldots < r_m}{} und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{PQ
}
{ =} {X
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei seien die angeführten Koeffizienten
\mathl{\neq 0}{.} Das Produkt ist daher von der Form
\mathdisp {a_{q_1} b_{r_1}X^{q_1 +r_1} + \cdots + a_{q_n} b_{r_n}X^{q_n +r_m}} { . }
Dies kann nur dann gleich $X$ sein, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q_1 +r_1
}
{ =} {q_n +r_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, was nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{m
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
möglich ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Stifte einen
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
von der
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
der komplexen Zahlen ohne null
\mathl{({\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot,1)}{} in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen
\mathl{(\R_+,\cdot,1 )}{.}
}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb C} \setminus \{1\}} { \R_+
} {z} { \betrag { z }
} {.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{a+b { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ =} { \sqrt{ a^2+b^2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathkor {} {a \neq 0} {oder} {b \neq 0} {,}
so dass der Betrag positiv ist. Nach
Lemma 3.15 (4)
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { zw }
}
{ =} {\betrag { z } \betrag { w }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher liegt ein Gruppenhomomorphismus vor. Eine positive reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{a +0 { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird auf $a$ selbst abgebildet, daher ist die Abbildung surjektiv.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (2+2)}
{
Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe $S_n$ zu einer Menge mit $n$ Elementen.
a) Zeige, dass es in $S_n$ Elemente der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ gibt.
b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe $S_n$ und einem Element darin, dessen Ordnung größer als $n$ ist.
}
{
Die Menge sei
\mathl{M=\{1,2 , \ldots , n\}}{.}
a) Die zyklische Permutation
\wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {\cdots} {n-1} {n
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {3} {\cdots} {n} {1} }
hat offenbar die Ordnung $n$, da zu jedem Element
\mathl{a \in M}{} die Potenzen
\mathl{\sigma^j(a)}{} für
\mathl{j=0,1,2 , \ldots , n-1}{} die Elemente von $M$ durchlaufen.
b) Es sei
\mathl{M=\{1,2 , \ldots , n\}}{} und betrachte die Permutation
\wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {1} {4} {5} {3} }
Die Zahlen
\mathkor {} {1} {und} {2} {}
sind wieder an ihrer Stelle, wenn man eine Potenz von $\sigma$ mit einem geraden Exponenten anwendet, und die Zahlen
\mathkor {} {3,4} {und} {5} {}
sind wieder an ihrer Stelle, wenn der Exponent ein Vielfaches von $3$ ist. Die Ordnung ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{6
}
{ > }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Element mit endlicher
\definitionsverweis {Ordnung}{}{.}
Zeige, dass die Ordnung von $g$ mit dem minimalen
\mathl{d \in \N_+}{} übereinstimmt, zu dem es einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \Z/(d) } {G
} {}
gibt, in dessen Bild das Element $g$ liegt.
}
{
Wenn $g$ im Bild eines Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {} { \Z/(d) } {G
} {}
liegt, so liegt $g$ insbesondere in einer Untergruppe einer Ordnung
\mathl{\leq d}{} und nach
dem Satz von Lagrange
ist die Ordnung von $g$ ebenfalls
\mathl{\leq d}{.} Die Ordnung ist also höchstens gleich dem Minimum der natürlichen Zahlen $d$, für die es einen solchen Gruppenhomomorphismus gibt.
Es sei umgekehrt $d$ die Ordnung von $g$. Der kanonische Gruppenhomomorphismus
\maabbeledisp {} {\Z} {G
} {n} {g^n
} {,}
besitzt den Kern
\mathl{\Z d}{.} Aufgrund
des Satzes vom induzierten Homomorphismus
induziert dieser Gruppenhomomorphismus einen Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {} { \Z/(d) } {G
} {}
und $g$ gehört dabei zum Bild.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme, ob die durch die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} gegebene Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {\Z } {q} { \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist oder nicht.
}
{
Die Gaußklammer definiert keinen Gruppenhomomorphismus, da
\mathl{q= \lfloor { \frac{ 1 }{ 2 } } \rfloor =0}{} ist und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\lfloor { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \rfloor
}
{ =} {\lfloor 1 \rfloor
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\lfloor { \frac{ 1 }{ 2 } } \rfloor + \lfloor { \frac{ 1 }{ 2 } } \rfloor
}
{ =} {0+0
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1.5+1.5)}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 4 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 3 \!\! \mod 7} { . }
}
{
(a) $(1,0,0)$
- Alle Vielfachen von
\mathl{5 \cdot 7=35}{} haben modulo $5$ und modulo $7$ den Rest $0$. Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. $35$ hat modulo $3$ den Rest $2$, somit hat $70$ modulo $3$ den Rest $1$. Also repräsentiert $70$ das Restetupel
\mathl{(1,0,0)}{.}
\mathl{(0,1,0)}{:} Hier betrachtet man die Vielfachen von $21$, und $21$ hat modulo $5$ den Rest $1$. Also repräsentiert $21$ das Restetupel
\mathl{(0,1,0)}{.}
\mathl{(0,0,1)}{:} Hier betrachtet man die Vielfachen von $15$, und $15$ hat modulo $7$ den Rest $1$. Also repräsentiert $15$ das Restetupel
\mathl{(0,0,1)}{.}
(b) Man schreibt
\zusatzklammer {in \mathlk{\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2,4,3)
}
{ =} {2(1,0,0)+4(0,1,0)+3(0,0,1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösung ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 70 +4 \cdot 21 +3 \cdot 15
}
{ =} { 140+84+45
}
{ =} {269
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die minimale Lösung ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 269- 2 \cdot 105
}
{ = }{ 59
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{12 (3+5+3+1)}
{
Es seien
\mathl{R_1, R_2 , \ldots , R_n}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Produktring}{}{.}
\aufzaehlungvier{Es seien
\mathdisp {I_1 \subseteq R_1, I_2 \subseteq R_2 , \ldots , I_n \subseteq R_n} { }
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
Zeige, dass die Produktmenge
\mathdisp {I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n} { }
ein Ideal in $R$ ist.
}{Zeige, dass jedes Ideal
\mathl{I \subseteq R}{} die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {
I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Idealen
\mathl{I_j \subseteq R_j}{} besitzt.
}{Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {
I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Ideal in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche $I_j$ Hauptideale sind.
}{Zeige, dass $R$ genau dann ein
\definitionsverweis {Hauptidealring}{}{}
ist, wenn alle $R_j$ Hauptidealringe sind.
}
}
{
\aufzaehlungvier{Wegen
\mathdisp {0= (0,0 , \ldots , 0) \in I} { }
ist $I$ nicht leer. Für zwei Elemente
\mathkor {} {a=(a_1,a_2 , \ldots , a_n)} {und} {b=(b_1,b_2 , \ldots , b_n)} {}
aus $I$ ist jeweils
\mathl{a_j, b_j \in I_j}{.} Daher ist stets
\mathl{a_j +b_j \in I}{} und somit gehört
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b
}
{ =} {(a_1,a_2 , \ldots , a_n) + (b_1,b_2 , \ldots , b_n)
}
{ =} {(a_1+b_1,a_2+b_2 , \ldots , a_n + b_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zum Ideal. Für
\mathdisp {a=(a_1,a_2 , \ldots , a_n) \in I} { }
und
\mathdisp {r= (r_1,r_2 , \ldots , r_n) \in R} { }
ist jeweils
\mathl{a_j \in I_j}{} und daher
\mathl{r_ja_j \in I_j}{.} Somit gehört
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ra
}
{ =} {(r_1,r_2 , \ldots , r_n) (a_1,a_2 , \ldots , a_n)
}
{ =} { (r_1a_1,r_2 a_2 , \ldots , r_na_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu $I$.
}{Zu einem Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq} {R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_j
}
{ =} { { \left\{ x \in R_j \mid (0 , \ldots , 0, x ,0 , \ldots , 0) \in I \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Hierbei steht $x$ an der $j$-ten Stelle. Dies ist jeweils ein Ideal in $R_j$
- Es ist
\mathl{0 \in I_j}{;} wenn
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, x ,0 , \ldots , 0) , (0 , \ldots , 0, y ,0 , \ldots , 0) \in I} { }
ist auch
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, x +y,0 , \ldots , 0) \in I} { ; }
Wenn
\mathl{x \in I_j}{} und
\mathl{r \in R_j}{} ist, so ist
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, x ,0 , \ldots , 0) \in I} { }
und somit ist
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, r ,0 , \ldots , 0) (0 , \ldots , 0, x ,0 , \ldots , 0) = (0 , \ldots , 0, rx ,0 , \ldots , 0)\in I} { , }
also
\mathl{rx \in I_j}{.} Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mathdisp {(a_1,a_2 , \ldots , a_n) \in I} { }
ist, so ist auch
\zusatzklammer {mit der $1$ an der $j$-ten Stelle} {} {}
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, 1 ,0 , \ldots , 0) \cdot (a_1,a_2 , \ldots , a_n) = (0 , \ldots , 0, a_j ,0 , \ldots , 0) \in I} { , }
also
\mathl{a_j \in I_j}{.} Also ist
\mathl{(a_1,a_2 , \ldots , a_n) \in I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n}{.} Wenn umgekehrt
\mathl{a=(a_1,a_2 , \ldots , a_n) \in I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n}{} ist, so ist
\mathl{a_j \in I_j}{,} also
\mathdisp {(0 , \ldots , 0, a_j ,0 , \ldots , 0) \in I} { . }
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a_1,a_2 , \ldots , a_n)
}
{ =} { (a_1,0 , \ldots , 0) + (0,a_2,0 , \ldots , 0) + \cdots + (0,0 , \ldots , a_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist somit
\mathl{a \in I}{.}
}{Es seien zunächst die
\mathl{I_j=(f_j)}{} Hauptideale in $R_j$. Für jedes Element
\mathl{a=(a_1,a_2 , \ldots , a_n) \in I}{} ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_j
}
{ = }{ r_jf_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mathl{r_j \in R_j}{.} Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {(a_1,a_2 , \ldots , a_n)
}
{ =} {(r_1f_1,r_2f_2 , \ldots , r_n f_n)
}
{ =} { (r_1,r_2 , \ldots , r_n ) (f_1,f_2 , \ldots , f_n)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mathl{(f_1,f_2 , \ldots , f_n)}{} ein Erzeuger von
\mathl{I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n}{} und es liegt ein Hauptideal vor. Wenn umgekehrt
\mathl{I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n}{} ein Hauptideal ist, so sei
\mathl{(f_1,f_2 , \ldots , f_n)}{} ein Erzeuger davon. Zu jedem $a_j \in I_j$ gehört
\mathl{(0 , \ldots , 0, a_j ,0 , \ldots , 0)}{} zu $I$ und somit gibt es ein
\mathl{r \in R}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (0 , \ldots , 0, a_j ,0 , \ldots , 0)
}
{ =} { (r_1,r_2 , \ldots , r_n) (f_1,f_2 , \ldots , f_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_j
}
{ =} { r_jf_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist $f_j$ ein Erzeuger von $I_j$.
}{Dies folgt unmittelbar aus (3).
}
}