Kurs:Elementare Algebra/T1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 4 4 3 3 4 3 2 4 2 5 4 2 4 4 2 3 12 65




Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Gruppe .
  2. Der Binomialkoeffizient .
  3. Ein Nichtnullteiler in einem kommutativen Ring .
  4. Ein Körper .
  5. Die komplexe Konjugation.
  6. Ein Primelement , in einem kommutativen Ring .
  7. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  8. Ein Ringhomomorphismus

    zwischen Ringen und .


Lösung

  1. Eine Gruppe ist ein Monoid, in dem jedes Element ein inverses Element besitzt.
  2. Der Binomialkoeffizient ist durch

    definiert.

  3. Das Element ist ein Nichtnullteiler, wenn für jedes aus folgt, dass ist.
  4. Ein Körper ist ein kommutativer Ring, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element in ein multiplikatives Inverses besitzt.
  5. Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.

  6. Das Element heißt prim, wenn es eine Nichteinheit ist und wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt  mit , so teilt es einen der Faktoren.
  7. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge , für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
    1. Für alle ist auch .
    2. Für alle und ist auch .
  8. Die Abbildung

    heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

    1. .


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die allgemeine binomische Formel für für Elemente in einem kommutativen Ring .
  2. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  3. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
  4. Der Homomorphiesatz für Ringhomomorphismen.


Lösung

  1. Es ist
  2. Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
  3. Sei ein Hauptidealbereich und . Es seien und teilerfremd und teile das Produkt . Dann teilt den Faktor .
  4. Seien und kommutative Ringe, es sei ein Ringhomomorphismus und ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

    ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

    derart, dass

    ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.


Lösung

Die Multiplikationsabbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus dem Distributivitätsgesetz folgt. Es gilt:

ist ein Nichtnullteiler genau dann, wenn für alle aus folgt . Dies ist genau dann der Fall, wenn der Kern von nur aus besteht, was genau dann gilt, wenn injektiv ist.

ist eine Einheit genau dann, wenn es ein gibt mit , was genau dann der Fall ist, wenn zum Bild von gehört. Dies wiederum ist äquivalent dazu, dass surjektiv ist, denn aus folgt sofort für jedes .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.


Lösung

Sei eine Einheit. Dann gibt es ein mit und die gleiche Identität gilt auch im Polynomring. Also ist

Sei nun

() eine Einheit in . Dann gibt es ein Polynom

() mit

Da ein Integritätsbereich ist, ist und das Produkt hat die Gestalt

Daher ist

und

das Polynom ist also eine konstante Einheit.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.


Lösung

Eine ungerade Zahl besitzt die Form mit einer ganzen Zahl . Somit ist

Die hinten ist ein Vielfaches von . Genau eine der beiden Zahlen und ist gerade, also von der Form . Daher ist ein Vielfaches von und somit ist die gesamte Zahl ein Vielfaches von .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.


Lösung

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über .  Für liegt eine Primzahl vor. Bei ist entweder eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung mit kleineren Zahlen . Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für zusammen. 


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .


Lösung

a) Beide Zahlen liegen in ihrer Primfaktorzerlegung vor, daher ist nach Korollar 9.10 der größte gemeinsame Teiler gleich

b) Es ist

daher lautet die Primfaktorzerlegung der ersten Zahl

und somit ist der größte gemeinsame Teiler gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Finde im Polynomring ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.


Lösung

Wir betrachten das Polynom

Da weder noch eine Nullstelle von sind, besitzt es keinen Linearfaktor. Die einzige verbleibende Faktorzerlegung wäre als ein Produkt von zwei irreduziblen Polynomen vom Grad zwei. Das einzige irreduzible Polynom vom Grad zwei ist . Wegen

ist irreduzibel.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Elemente in einem kommutativen Ring . Welche der folgenden Formulierungen sind zu

äquivalent.

  1. teilt .
  2. wird von geteilt.
  3. wird von geteilt.
  4. ist ein Vielfaches von .
  5. ist ein Vielfaches von .
  6. teilt .
  7. .
  8. Jedes Vielfache von ist auch ein Vielfaches von .
  9. Jeder Teiler von ist auch ein Teiler von .
  10. Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.


Lösung

Richtig sind .


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Körper und der Polynomring über . Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass ein Hauptidealbereich ist.


Lösung

Sei ein von verschiedenes Ideal in . Betrachte die nicht-leere Menge

Diese Menge hat ein Minimum , das von einem Element , , herrührt, sagen wir . Wir behaupten, dass ist. Die Inklusion ist klar. Zum Beweis von sei gegeben. Aufgrund von Satz 5.3 gilt

Wegen und der Minimalität von kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist und ist ein Vielfaches von .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme sämtliche Teiler von im Ring , wobei ein Körper ist.


Lösung

Die Teiler von sind genau die Elemente der Form

Solche Elemente sind Teiler, da ja

gilt. Wenn umgekehrt mit ein Teiler von ist, so gibt es ein mit entsprechend und mit

Dabei seien die angeführten Koeffizienten . Das Produkt ist daher von der Form

Dies kann nur dann gleich sein, wenn

ist, was nur bei möglich ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen .


Lösung

Wir betrachten die Abbildung

Für ist dabei

Für ist oder , so dass der Betrag positiv ist. Nach Lemma 3.15  (4) gilt

daher liegt ein Gruppenhomomorphismus vor. Eine positive reelle Zahl wird auf selbst abgebildet, daher ist die Abbildung surjektiv.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe zu einer Menge mit Elementen.

a) Zeige, dass es in Elemente der Ordnung gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ist.


Lösung

Die Menge sei .

a) Die zyklische Permutation

hat offenbar die Ordnung , da zu jedem Element die Potenzen für die Elemente von durchlaufen.

b) Sei und betrachte die Permutation

Die Zahlen und sind wieder an ihrer Stelle, wenn man eine Potenz von mit einem geraden Exponenten anwendet, und die Zahlen und sind wieder an ihrer Stelle, wenn der Exponent ein Vielfaches von ist. Die Ordnung ist also .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von mit dem minimalen übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

gibt, in dessen Bild das Element liegt.


Lösung

Wenn im Bild eines Gruppenhomomorphismus

liegt, so liegt insbesondere in einer Untergruppe einer Ordnung und nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung von ebenfalls . Die Ordnung ist also höchstens gleich dem Minimum der natürlichen Zahlen , für die es einen solchen Gruppenhomomorphismus gibt.

Sei umgekehrt die Ordnung von . Der kanonische Gruppenhomomorphismus

besitzt den Kern . Aufgrund des Satzes vom induzierten Homomorphismus induziert dieser Gruppenhomomorphismus einen Gruppenhomomorphismus

und gehört dabei zum Bild.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.


Lösung

Die Gaußklammer definiert keinen Gruppenhomomorphismus, da ist und damit

aber

ist.


Aufgabe (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Lösung

(a) : Alle Vielfachen von haben modulo und modulo den Rest . Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. hat modulo den Rest , somit hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .

: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .

: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .

(b) Man schreibt (in )

Die Lösung ist dann

Die minimale Lösung ist dann .


Aufgabe (12 (3+5+3+1) Punkte)

Es seien kommutative Ringe und sei

der Produktring.

  1. Es seien

    Ideale. Zeige, dass die Produktmenge

    ein Ideal in ist.

  2. Zeige, dass jedes Ideal die Form

    mit Idealen besitzt.

  3. Sei

    ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche Hauptideale sind.

  4. Zeige, dass genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle Hauptidealringe sind.


Lösung

  1. Wegen

    ist nicht leer. Für zwei Elemente und aus ist jeweils . Daher ist stets und somit gehört

    zum Ideal. Für

    und

    ist jeweils und daher . Somit gehört

    zu .

  2. Zu einem Ideal

    setzen wir

    Hierbei steht an der -ten Stelle. Dies ist jeweils ein Ideal in : Es ist ; wenn

    ist auch

    Wenn und ist, so ist

    und somit ist

    also . Wir behaupten

    Wenn

    ist, so ist auch (mit der an der -ten Stelle)

    also . Also ist . Wenn umgekehrt ist, so ist , also

    Wegen

    ist somit .

  3. Es seien zunächst die Hauptideale in . Für jedes Element ist dann mit einem . Damit ist

    also ist ein Erzeuger von und es liegt ein Hauptideal vor. Wenn umgekehrt ein Hauptideal ist, so sei ein Erzeuger davon. Zu jedem gehört zu und somit gibt es ein mit

    Also ist

    und daher ist ein Erzeuger von .

  4. Dies folgt unmittelbar aus (3).