Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 10/latex

\setcounter{section}{10}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise Lemma 10.6.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \zusatzklammer {multiplikativ geschriebene} {} {} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und sei
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass das Potenzieren \maabbeledisp {} {G} {G } {x} {x^n } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine additiv geschriebene \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass die Negation, also die Abbildung \maabbeledisp {} {G} {G } {x} {-x } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $H$ ebenfalls kommutativ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, ob die durch die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} gegebene Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {\Z } {q} { \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{h \in R}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {R} {R } {f} {hf } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist. Beschreibe das \definitionsverweis {Bild}{}{} und den \definitionsverweis {Kern}{}{} dieser Abbildung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Für welche reellen Polynome
\mathl{P \in \R[X]}{} ist die zugehörige polynomiale Abbildung \maabbeledisp {} {(\R,0,+)} {(\R,0,+) } {x} { P(x) } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{?}

b) Für welche reellen Polynome
\mathl{Q\in \R[X]}{} ist allenfalls $0$ eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung \maabbeledisp {} { (\R^{\times}, 1, \cdot) } {(\R^{\times}, 1, \cdot) } {x} {Q(x) } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{d \in \N_{\geq 2}}{.} Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(d) }
{ =} { \{0,1 , \ldots , d-1\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der in Aufgabe 1.19 beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\psi} { \Z/(d)} { \Z } {r} { r } {,}
\betonung{kein}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

Wir erinnern an den Begriff einer Matrix.

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Unter einer \definitionswortpraemath {m \times n}{ Matrix }{} \zusatzklammer {über $R$} {} {} versteht man einen Ausdruck der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\ a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } & a_{ m 2 } & \ldots & a_{ m n } \end{pmatrix}} { , }
wobei die Einträge
\mathl{a_{ij}}{} aus $R$ sind.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\ a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } & a_{ m 2 } & \ldots & a_{ m n } \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} über $R$. Zeige, dass die Matrix einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {R^n} {R^m } {} definiert, indem man
\mathdisp {\begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ \vdots\\x_n \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\ a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } & a_{ m 2 } & \ldots & a_{ m n } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ \vdots\\x_n \end{pmatrix}} { }
anwendet, wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\ a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } & a_{ m 2 } & \ldots & a_{ m n } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ \vdots\\x_n \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} \sum_{i = 1}^n a_{1 i} x_i \\ \sum_{i = 1}^n a_{2 i} x_i \\ \vdots\\ \sum_{i = 1}^n a_{m i} x_i \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Chocolates.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Chocolates.jpg } {} {Sujit kumar} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

In einer Kekspackung befinden sich Schokokekse, Waffelröllchen, Mandelsterne und Nougatringe. Die Kalorien, der Vitamin C-Gehalt und der Anteil an linksdrehenden Fettsäuren werden durch folgende Tabelle \zusatzklammer {in geeigneten Maßeinheiten} {} {} wiedergegeben: \tabellefuenfvier {\zeileundvier {Sorte} {Kalorien} {Vitamin C} {Fett} }
{\zeileundvier {Schokokeks} {10} {5} {3} }
{\zeileundvier {Waffelröllchen} {8} {7} {6} }
{\zeileundvier {Mandelstern} {7} {3} {1} }
{\zeileundvier {Nougatring} {12} {0} {5} }

a) Beschreibe mit einer Matrix die Abbildung, die zu einem Verzehrtupel
\mathl{(x,y,z,w)}{} das Aufnahmetupel
\mathl{(K,V,F)}{} berechnet.

b) Heinz isst $100$ Schokokekse. Berechne seine Vitaminaufnahme.

c) Ludmilla isst $10$ Nougatringe und $11$ Waffelröllchen. Berechne ihre Gesamtaufnahme an Nährstoffen.

d) Peter isst $5$ Mandelsterne mehr und $7$ Schokokekse weniger als Fritz. Bestimme die Differenz ihrer Kalorienaufnahme.

}
{} {}

Matrizen werden miteinander multipliziert, indem jede Zeile der linken Matrix mit jeder Spalte der rechten Matrix gemäß der Merkregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (Z E I L E) \begin{pmatrix} S \\P\\ A\\L\\ T \end{pmatrix} }
{ =} {ZS+EP+IA+LL+ET }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} multipliziert wird \zusatzklammer {insbesondere muss die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen} {} {} und das Ergebnis an die entsprechende Stelle gesetzt wird.


\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} Z & E & I & L & E \\ R & E & I & H & E \\ H & O & R & I & Z \\ O & N & T & A & L \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} S & E & I \\ P & V & K \\ A & E & A \\ L & R & A \\ T & T & L \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in K , \, ad -bc \neq 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge aller invertierbaren $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}

a) Zeige \zusatzklammer {ohne Bezug zur Determinante} {} {,} dass $M$ mit der \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bildet.

b) Zeige \zusatzklammer {ohne Bezug zur Determinante} {} {,} dass die Abbildung \maabbeledisp {} {M} { K^{\times} } { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} { ad-bc } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {endliche Menge}{}{} und $T \subseteq M$ eine Teilmenge, und es seien \mathkor {} {\operatorname{Perm} \,( T)} {und} {\operatorname{Perm} \,( M)} {} die zugehörigen \definitionsverweis {Permutationsgruppen}{}{ (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf $M$, siehe Aufgabe 1.5.)} Zeige, dass durch \maabbeledisp {\Psi} { \operatorname{Perm} \,( T) } { \operatorname{Perm} \,( M) } {\varphi} { \tilde{\varphi } } {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tilde{\varphi} (x) }
{ =} { \begin{cases} \varphi(x),\, \text{falls } x \in T, \\ x \text{ sonst}, \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {injektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mathl{h \in G}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {G} {G } {g} {hgh^{-1} } {,} eine \definitionsverweis {Gruppenautomorphismus}{}{} ist.

}
{} {} Die Automorphismen der vorstehenden Aufgabe nennt man auch \stichwort {innere Automorphismen} {.}

\inputaufgabe
{}
{

Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und sei
\mathl{g \in G}{} ein Element und sei \maabbeledisp {\varphi} {G} {G } {h} {hg } {,} die Multiplikation mit $g$. Zeige, dass $\varphi$ bijektiv ist, und dass $\varphi$ genau dann ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist, wenn $g=e_G$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3 (1+2)}
{

Es seien $G_1 , \ldots , G_n$ \definitionsverweis {Gruppen}{}{.}

a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt
\mathdisp {G_1 \times \cdots \times G_n} { . }

b) Es sei $H$ eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {H} {G_1 \times \cdots \times G_n } {x} { \varphi(x)= (\varphi_1(x) , \ldots , \varphi_n(x)) } {,} genau dann ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist, wenn alle Komponenten $\varphi_i$ Gruppenhomomorphismen sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} von \mathkor {} {(\Q,+,0)} {nach} {(\Z,+,0)} {.}

}
{} {}

Die folgende Aufgabe knüpft an Aufgabe 1.20 an. Zu einer reellen Zahl $x$ bezeichnet
\mathl{\lfloor x \rfloor}{} die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist.


\inputaufgabe
{3}
{

Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ q \in \Q \mid 0 \leq q < 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der in Aufgabe 1.17 definierten Verknüpfung, die nach Aufgabe 1.20 eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {M } {q} { q - \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme für jedes
\mathl{n \in \N}{} den \definitionsverweis {Kern}{}{} des Potenzierens \maabbeledisp {} {\R^\times} { \R^\times} {z} {z^n } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{1}
{

Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {(\R,0,+)} {G } {} in eine Gruppe $G$ mit der Eigenschaft gibt, dass
\mathl{r \in \R}{} genau dann \definitionsverweis {irrational}{}{} ist, wenn
\mathl{\varphi(r)=0}{} ist.

}
{} {}