Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 10

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Gruppenhomomorphismen

Definition  

Seien und Gruppen. Eine Abbildung

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

für alle gilt.


Beispiel  

Sei fixiert. Die Abbildung

ist ein Gruppenhomomorphismus. Dies folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz. Für ist die Abbildung injektiv und das Bild ist die Untergruppe . Bei liegt die Nullabbildung vor. Bei ist die Abbildung die Identität, bei ist die Abbildung nicht surjektiv.



Beispiel  

Sei . Wir betrachten die Menge

mit der in Aufgabe 1.19 beschriebenen Addition, die damit eine Gruppe ist. Die Abbildung

die eine ganze Zahl auf ihren Rest bei Division durch abbildet, ist ein Gruppenhomomorphismus. Sind nämlich und mit gegeben, so ist

wobei allerdings sein kann. In diesem Fall ist

und das stimmt mit der Addition von und in überein. Diese Abbildungen sind surjektiv, aber nicht injektiv.



Beispiel  

Wir fassen den komplexen Betrag als Abbildung

auf. Dabei liegen links und rechts Gruppen vor, und nach Lemma 3.15  (4) liegt ein Gruppenhomomorphismus vor. Die Abbildung ist surjektiv (da wir eben die positiven reellen Zahlen als Zielbereich gewählt haben), aber nicht injektiv, da beispielsweise der gesamte Einheitskreis auf abgebildet wird.


Die folgenden beiden Lemmata folgen direkt aus der Definition.



Lemma  

Es seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist und für jedes .

Beweis  

Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir

Durch Multiplikation mit folgt .
Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir

Das heißt, dass die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach Fakt ***** eindeutig bestimmt ist, muss gelten.



Lemma

Es seien Gruppen.

Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Die Identität

    ist ein Gruppenhomomorphismus.

  2. Sind und Gruppenhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ein Gruppenhomomorphismus.
  3. Ist eine Untergruppe, so ist die Inklusion ein Gruppenhomomorphismus.
  4. Sei die triviale Gruppe. Dann ist die Abbildung , die auf schickt, ein Gruppenhomomorphismus. Ebenso ist die (konstante) Abbildung ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Siehe Aufgabe 10.1.


Wir charakterisieren nun die Gruppenhomomorphismen von nach .



Lemma  

Sei eine Gruppe.

Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz

Beweis  

Sei fixiert. Dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus durch eindeutig festgelegt, da für positiv und für negativ gelten muss.


Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe nach sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von nach sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl , also



Gruppenisomorphismen

Definition  

Seien und Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie). Die beiden Gruppen heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.


Beispiel  

Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also , und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also . Dann ist die Exponentialabbildung

ein Gruppenisomorphismus. Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung des Exponentialgesetzes

Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz. Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist.




Lemma  

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenisomorphismus.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis  

Dies folgt aus


Isomorphe Gruppen sind bezüglich ihrer gruppentheoretischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst nennt man auch Automorphismen.



Der Kern eines Gruppenhomomorphismus

Definition  

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von , geschrieben



Lemma  

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist der Kern von eine Untergruppe von .

Beweis  

Wegen ist . Seien . Dann ist

und daher ist auch . Der Kern ist also ein Untermonoid. Sei nun und betrachte das inverse Element . Nach Fakt ***** ist

also auch .


Group homomorphism.svg




Lemma  

Seien und Gruppen.

Ein Gruppenhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern von trivial ist.

Beweis  

Wenn injektiv ist, so darf auf jedes Element höchstens ein Element aus gehen. Da auf geschickt wird, darf kein weiteres Element auf gehen, d.h. . Sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass beide auf geschickt werden. Dann ist

und damit ist , also nach Voraussetzung und damit .



Das Bild eines Gruppenhomomorphismus



Lemma  

Seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist das Bild von eine Untergruppe von .

Beweis  

Sei . Dann ist . Seien . Dann gibt es mit und . Damit ist . Ebenso gibt es für ein mit . Somit ist .



Beispiel  

Betrachte die analytische Abbildung

Aufgrund des Exponentialgesetzes (bzw. der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen) ist . Daher liegt ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe in die multiplikative Gruppe vor. Wir bestimmen den Kern und das Bild dieser Abbildung. Für den Kern muss man diejenigen reellen Zahlen bestimmen, für die

ist. Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist dies genau dann der Fall, wenn ein ganzzahliges Vielfaches von ist. Der Kern ist also die Untergruppe . Für einen Bildpunkt gilt , so dass der Bildpunkt auf dem komplexen Einheitskreis liegt. Andererseits durchlaufen die trigonometrischen Funktionen den gesamten Einheitskreis, so dass die Bildgruppe der Einheitskreis mit der komplexen Multiplikation ist.



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