Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 10

Übungsaufgaben

Aufgabe

Beweise Lemma 10.6.

Aufgabe

Es sei $G$ eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass das Potenzieren

$G⟶G,x⟼x^n,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei $G$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Zeige, dass die Negation, also die Abbildung

$G⟶G,x⟼-x,$

ein Gruppenisomorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und

$\phi :G⟶H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass $H$ ebenfalls kommutativ ist.

Aufgabe *

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

$\mathbb{Q}⟶\mathbb{Z},q⟼\lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $h\in R$.  Zeige, dass die Abbildung

$R⟶R,f⟼hf,$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.

Aufgabe

a) Für welche reellen Polynome  $P\in ℝ[X]$  ist die zugehörige polynomiale Abbildung

$(ℝ,0,+)⟶(ℝ,0,+),x⟼P(x),$

ein Gruppenhomomorphismus?

b) Für welche reellen Polynome  $Q\in ℝ[X]$  ist allenfalls $0$ eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung

$({ℝ}^{\times },1,\cdot )⟶({ℝ}^{\times },1,\cdot ),x⟼Q(x),$

ein Gruppenhomomorphismus?

Aufgabe

Es sei  $d\in {\mathbb{N}}_{\ge 2}$.  Wir betrachten

$\mathbb{Z}/(d)=\{0,1,\dots ,d-1\}$

mit der in Aufgabe 1.19 beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung

$\psi :\mathbb{Z}/(d)⟶\mathbb{Z},r⟼r,$

kein Gruppenhomomorphismus ist.

Wir erinnern an den Begriff einer Matrix.

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Unter einer $m\times n$-Matrix (über $R$) versteht man einen Ausdruck der Form

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right),$

wobei die Einträge $a_{ij}$ aus $R$ sind.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$

eine Matrix über $R$. Zeige, dass die Matrix einen Gruppenhomomorphismus

$R^n⟶R^m$

definiert, indem man

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

anwendet, wobei

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sum _{i=1}^n{a}_{1i}{x}_i\\ \sum _{i=1}^n{a}_{2i}{x}_i\\ ⋮\\ \sum _{i=1}^n{a}_{mi}{x}_i\end{array}\right)$

ist.

Aufgabe

In einer Kekspackung befinden sich Schokokekse, Waffelröllchen, Mandelsterne und Nougatringe. Die Kalorien, der Vitamin C-Gehalt und der Anteil an linksdrehenden Fettsäuren werden durch folgende Tabelle (in geeigneten Maßeinheiten) wiedergegeben:

Sorte	Kalorien	Vitamin C	Fett
Schokokeks	10	5	3
Waffelröllchen	8	7	6
Mandelstern	7	3	1
Nougatring	12	0	5

a) Beschreibe mit einer Matrix die Abbildung, die zu einem Verzehrtupel $(x,y,z,w)$ das Aufnahmetupel $(K,V,F)$ berechnet.

b) Heinz isst $100$ Schokokekse. Berechne seine Vitaminaufnahme.

c) Ludmilla isst $10$ Nougatringe und $11$ Waffelröllchen. Berechne ihre Gesamtaufnahme an Nährstoffen.

d) Peter isst $5$ Mandelsterne mehr und $7$ Schokokekse weniger als Fritz. Bestimme die Differenz ihrer Kalorienaufnahme.

Matrizen werden miteinander multipliziert, indem jede Zeile der linken Matrix mit jeder Spalte der rechten Matrix gemäß der Merkregel

$(ZEILE)\left(\begin{array}{c}S\\ P\\ A\\ L\\ T\end{array}\right)=ZS+EP+IA+LL+ET$

multipliziert wird (insbesondere muss die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen) und das Ergebnis an die entsprechende Stelle gesetzt wird.

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

$\left(\begin{array}{ccccc}Z& E& I& L& E\\ R& E& I& H& E\\ H& O& R& I& Z\\ O& N& T& A& L\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}S& E& I\\ P& V& K\\ A& E& A\\ L& R& A\\ T& T& L\end{array}\right).$

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei

$M=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\mid a,b,c,d\in K,ad-bc\ne 0\}$

die Menge aller invertierbaren $2\times 2$-Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass $M$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

$M⟶K^{\times },\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)⟼ad-bc,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine endliche Menge und  $T\subseteq M$  eine Teilmenge, und es seien $\mathrm{Perm}(T)$ und $\mathrm{Perm}(M)$ die zugehörigen Permutationsgruppen (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf $M$, siehe Aufgabe 1.5.) Zeige, dass durch

$\mathrm{\Psi }:\mathrm{Perm}(T)⟶\mathrm{Perm}(M),\phi ⟼\tilde{\phi },$

mit

$\tilde{\phi }(x)=\{\begin{array}{c}\phi (x),\text{falls }x\in T,\\ x\text{ sonst},\end{array}$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben ist.

Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und  $h\in G$.  Zeige, dass die Abbildung

$G⟶G,g⟼hg{h}^{-1},$

ein Gruppenautomorphismus ist.

Die Automorphismen der vorstehenden Aufgabe nennt man auch innere Automorphismen.

Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und sei  $g\in G$  ein Element und sei

$\phi :G⟶G,h⟼hg,$

die Multiplikation mit $g$. Zeige, dass $\phi$ bijektiv ist, und dass $\phi$ genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn  $g=e_G$  ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es seien $G_1,\dots ,G_n$ Gruppen.

a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt

$G_1\times \cdots \times G_n.$

b) Es sei $H$ eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung

$\phi :H⟶G_1\times \cdots \times G_n,x⟼\phi (x)=({\phi }_1(x),\dots ,{\phi }_n(x)),$

genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn alle Komponenten ${\phi }_i$ Gruppenhomomorphismen sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von $(\mathbb{Q},+,0)$ nach $(\mathbb{Z},+,0)$.

Die folgende Aufgabe knüpft an Aufgabe 1.20 an. Zu einer reellen Zahl $x$ bezeichnet $\lfloor x\rfloor$ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten

$M=\{q\in \mathbb{Q}\mid 0\le q<1\}$

mit der in Aufgabe 1.17 definierten Verknüpfung, die nach Aufgabe 1.20 eine Gruppe ist. Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb{Q}⟶M,q⟼q-\lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für jedes  $n\in \mathbb{N}$  den Kern des Potenzierens

${ℝ}^{\times }⟶{ℝ}^{\times },z⟼z^n.$

Wann ist die Abbildung surjektiv?

Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus

$\phi :(ℝ,0,+)⟶G$

in eine Gruppe $G$ mit der Eigenschaft gibt, dass  $r\in ℝ$  genau dann irrational ist, wenn  $\phi (r)=0$  ist.