- Übungsaufgaben
Sei
eine
(multiplikativ geschriebene)
kommutative Gruppe
und sei
. Zeige, dass das Potenzieren
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Es sei
eine additiv geschriebene
kommutative Gruppe.
Zeige, dass die Negation, also die Abbildung
-
ein
Gruppenisomorphismus
ist.
Bestimme, ob die durch die
Gaußklammer
gegebene Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist oder nicht.
Es sei
ein
kommutativer Ring
und
. Zeige, dass die Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist. Beschreibe das
Bild
und den
Kern
dieser Abbildung.
a) Für welche reellen Polynome
ist die zugehörige polynomiale Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus?
b) Für welche reellen Polynome
ist allenfalls
eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus?
Sei
. Wir betrachten
-

mit der in
Aufgabe 1.19
beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung
-
kein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Wir erinnern an den Begriff einer Matrix.
Es sei
ein kommutativer Ring und
-
eine
Matrix
über
. Zeige, dass die Matrix einen
Gruppenhomomorphismus
-
definiert, indem man
-
anwendet, wobei
-

ist.
In einer Kekspackung befinden sich Schokokekse, Waffelröllchen, Mandelsterne und Nougatringe. Die Kalorien, der Vitamin C-Gehalt und der Anteil an linksdrehenden Fettsäuren werden durch folgende Tabelle
(in geeigneten Maßeinheiten)
wiedergegeben:
Sorte |
Kalorien |
Vitamin C |
Fett
|
Schokokeks
|
10
|
5
|
3
|
Waffelröllchen
|
8
|
7
|
6
|
Mandelstern
|
7
|
3
|
1
|
Nougatring
|
12
|
0
|
5
|
a) Beschreibe mit einer Matrix die Abbildung, die zu einem Verzehrtupel
das Aufnahmetupel
berechnet.
b) Heinz isst
Schokokekse. Berechne seine Vitaminaufnahme.
c) Ludmilla isst
Nougatringe und
Waffelröllchen. Berechne ihre Gesamtaufnahme an Nährstoffen.
d) Peter isst
Mandelsterne mehr und
Schokokekse weniger als Fritz. Bestimme die Differenz ihrer Kalorienaufnahme.
Matrizen werden miteinander multipliziert, indem jede Zeile der linken Matrix mit jeder Spalte der rechten Matrix gemäß der Merkregel
-

multipliziert wird
(insbesondere muss die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen)
und das Ergebnis an die entsprechende Stelle gesetzt wird.
Berechne das
Matrizenprodukt
-
Es sei
ein
Körper
und sei
-

die Menge aller invertierbaren
-Matrizen.
a) Zeige
(ohne Bezug zur Determinante),
dass
mit der
Matrizenmultiplikation
eine
Gruppe
bildet.
b) Zeige
(ohne Bezug zur Determinante),
dass die Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Es sei
eine
endliche Menge
und
eine Teilmenge, und es seien
und
die zugehörigen
Permutationsgruppen (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf
, siehe
Aufgabe 1.5.)
Zeige, dass durch
-
mit
-

ein
injektiver
Gruppenhomomorphismus
gegeben ist.
Es sei
eine
Gruppe
und
. Zeige, dass die Abbildung
-
eine
Gruppenautomorphismus
ist.
Die Automorphismen der vorstehenden Aufgabe nennt man auch innere Automorphismen.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 (1+2) Punkte)
Es seien
Gruppen.
a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt
-
b) Es sei
eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung
-
genau dann ein
Gruppenhomomorphismus
ist, wenn alle Komponenten
Gruppenhomomorphismen sind.
Bestimme die
Gruppenhomomorphismen
von
nach
.
Die folgende Aufgabe knüpft an
Aufgabe 1.20
an. Zu einer reellen Zahl
bezeichnet
die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich
ist.
Wir betrachten
-

mit der in
Aufgabe 1.17
definierten Verknüpfung, die nach
Aufgabe 1.20
eine
Gruppe
ist. Zeige, dass die Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Bestimme für jedes
den
Kern
des Potenzierens
-