Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 10

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Beweise Lemma 10.6.


Aufgabe

Sei eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei . Zeige, dass das Potenzieren

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Zeige, dass die Negation, also die Abbildung

ein Gruppenisomorphismus ist.


Aufgabe *

Es sei eine kommutative Gruppe und

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.


Aufgabe *

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und . Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.


Aufgabe

a) Für welche reellen Polynome ist die zugehörige polynomiale Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus?

b) Für welche reellen Polynome ist allenfalls eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus?


Aufgabe

Sei . Wir betrachten

mit der in Aufgabe 1.19 beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung

kein Gruppenhomomorphismus ist.


Wir erinnern an den Begriff einer Matrix.


Sei ein kommutativer Ring. Unter einer -Matrix (über ) versteht man einen Ausdruck der Form

wobei die Einträge aus sind.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und

eine Matrix über . Zeige, dass die Matrix einen Gruppenhomomorphismus

definiert, indem man

anwendet, wobei

ist.


Chocolates.jpg

Aufgabe

In einer Kekspackung befinden sich Schokokekse, Waffelröllchen, Mandelsterne und Nougatringe. Die Kalorien, der Vitamin C-Gehalt und der Anteil an linksdrehenden Fettsäuren werden durch folgende Tabelle (in geeigneten Maßeinheiten) wiedergegeben:

Sorte Kalorien Vitamin C Fett
Schokokeks 10 5 3
Waffelröllchen 8 7 6
Mandelstern 7 3 1
Nougatring 12 0 5

a) Beschreibe mit einer Matrix die Abbildung, die zu einem Verzehrtupel das Aufnahmetupel berechnet.

b) Heinz isst Schokokekse. Berechne seine Vitaminaufnahme.

c) Ludmilla isst Nougatringe und Waffelröllchen. Berechne ihre Gesamtaufnahme an Nährstoffen.

d) Peter isst Mandelsterne mehr und Schokokekse weniger als Fritz. Bestimme die Differenz ihrer Kalorienaufnahme.


Matrizen werden miteinander multipliziert, indem jede Zeile der linken Matrix mit jeder Spalte der rechten Matrix gemäß der Merkregel

multipliziert wird (insbesondere muss die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen) und das Ergebnis an die entsprechende Stelle gesetzt wird.

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei

die Menge aller invertierbaren -Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Menge und eine Teilmenge, und es seien und die zugehörigen Permutationsgruppen (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf , siehe Aufgabe 1.5.) Zeige, dass durch

mit

ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben ist.


Aufgabe

Es sei eine Gruppe und . Zeige, dass die Abbildung

eine Gruppenautomorphismus ist.

Die Automorphismen der vorstehenden Aufgabe nennt man auch innere Automorphismen.

Aufgabe

Sei eine Gruppe und sei ein Element und sei

die Multiplikation mit . Zeige, dass bijektiv ist, und dass genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es seien Gruppen.

a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt

b) Es sei eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung

genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn alle Komponenten Gruppenhomomorphismen sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von nach .


Die folgende Aufgabe knüpft an Aufgabe 1.20 an. Zu einer reellen Zahl bezeichnet die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten

mit der in Aufgabe 1.17 definierten Verknüpfung, die nach Aufgabe 1.20 eine Gruppe ist. Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für jedes den Kern des Potenzierens


Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus

in eine Gruppe mit der Eigenschaft gibt, dass genau dann irrational ist, wenn ist.



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