Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Definitionsabfrage
Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung
Ein Monoid ist eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung
und einem ausgezeichneten Element derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt
für alle .
- ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt
für alle .
Ein Monoid heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem ein mit gibt.
Eine Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also für alle gilt.
Zu einer endlichen Gruppe bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben
Es sei eine Gruppe und ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl mit die Ordnung von . Man schreibt hierfür . Wenn alle positiven Potenzen von vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man .
Es sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.
- .
- Mit ist auch .
- Mit ist auch .
Es sei eine Gruppe und eine Teilmenge. Dann nennt man
die von erzeugte Untergruppe.
Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
Ein Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen und und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
- ist eine abelsche Gruppe.
- ist ein Monoid.
- Es gelten die Distributivgesetze, also und für alle .
Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man
den Binomialkoeffizienten „ über “.
Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Nullteiler, wenn es ein von verschiedenes Element mit gibt. Andernfalls heißt es ein Nichtnullteiler.
Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
Eine Teilmenge eines Ringes nennt man einen Unterring, wenn sowohl eine Untergruppe von als auch ein Untermonoid von ist.
Ein Element in einem Ring heißt Einheit, wenn es ein Element mit
gibt.
Die Einheitengruppe in einem Ring ist die Teilmenge aller Einheiten in . Sie wird mit bezeichnet.
Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.
Es sei ein Körper. Ein Unterring , der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von .
Es sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von und die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.
Die Menge mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch
definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit
bezeichnet.
Zu einer komplexen Zahl
heißt
der Realteil von und
heißt der Imaginärteil von .
Die Abbildung
heißt komplexe Konjugation.
Zu einer komplexen Zahl
ist der Betrag durch
definiert.
Der Polynomring über einem kommutativen Ring besteht aus allen Polynomen
und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
definiert ist.
Der Grad eines von verschiedenen Polynoms
mit ist .
Es sei ein Körper und seien . Eine Funktion
mit
heißt Polynomfunktion.
Es sei ein kommutativer Ring, und Elemente in . Man sagt, dass das Element teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es ein derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .
Zwei Elemente und eines kommutativen Ringes heißen assoziiert, wenn es eine Einheit derart gibt, dass ist.
Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt mit , so teilt einen der Faktoren.
Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- .
- Für alle ist auch .
- Für alle und ist auch .
Zu einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring bezeichnet das von den erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen
wobei eine endliche Teilmenge und ist.
Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form
heißt Hauptideal.
Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring ist der Ring selbst.
Zu Idealen in einem kommutativen Ring nennt man das Ideal
die Summe der Ideale.
Zu zwei Idealen und in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch
definiert.
Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls ist für ein , so ist bereits .
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Dann nennt man die Menge
das Radikal zu . Es wird mit bezeichnet.
Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Primideal, wenn ist und wenn für mit folgt: oder .
Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt maximales Ideal, wenn ist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.
Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.
Es seien Elemente (mit ) eines euklidischen Bereichs mit euklidischer Funktion gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen und und die mittels der Division mit Rest
rekursiv bestimmte Folge die Folge der euklidischen Reste.
Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.
Es sei ein faktorieller Bereich und ein Primelement. Dann heißt zu jedem , , die natürliche Zahl mit aber , der Exponent (oder die Ordnung) von zu . Er wird mit bezeichnet.
Es seien und Gruppen. Eine Abbildung
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
für alle gilt.
Es seien und Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus
nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie). Die beiden Gruppen heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
Es seien und Gruppen und sei
ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von , geschrieben
Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Wir setzen (und sagen, dass und äquivalent sind) wenn .
Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem die Teilmenge
die Linksnebenklasse von in bezüglich . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form
Rechtsnebenklasse (zu ).
Zu einer Untergruppe heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts-)Nebenklassen der Index von in , geschrieben
Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Man nennt einen Normalteiler, wenn
für alle ist, wenn also die Linksnebenklasse zu mit der Rechtsnebenklasse zu übereinstimmt.
Es sei eine Gruppe und ein Normalteiler. Die Quotientenmenge
mit der aufgrund von Satz 12.1 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo . Die Elemente heißen Restklassen. Für eine Restklasse heißt jedes Element mit ein Repräsentant von .
Es seien und Ringe. Eine Abbildung
heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
- .
- .
- .
Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ist die kleinste positive natürliche Zahl mit der Eigenschaft . Die Charakteristik ist , falls keine solche Zahl existiert.
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Zu heißt die Teilmenge
die Nebenklasse von zum Ideal . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu .
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Dann ist der Restklassenring (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.
- Als Menge ist die Menge der Nebenklassen zu .
- Durch
wird eine Addition von Nebenklassen definiert.
- Durch
wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.
- definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
- definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).
Es seien kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt
versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der , .
Ein Element eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn gilt.
Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von . Man nennt die Eulersche Funktion.
Zu einem Integritätsbereich ist der Quotientenkörper als die Menge der formalen Brüche
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die - Vektorraumdimension von den Grad der Körpererweiterung.
Es seien und kommutative Ringe und sei ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man eine -Algebra.
Es seien und kommutative - Algebren über einem kommutativen Grundring . Dann nennt man einen Ringhomomorphismus
einen -Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen und verträglich ist.
Es sei eine -Algebra und sei , , eine Familie von Elementen aus . Dann heißt die kleinste -Unteralgebra von , die alle enthält, die von diesen Elementen erzeugte -Algebra.[[Kategorie:erzeugte -Algebra (MSW)|~]] Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein Körper und eine kommutative - Algebra. Es sei ein Element. Dann heißt algebraisch über , wenn es ein von verschiedenes Polynom mit gibt.
Es sei ein Körper und eine - Algebra. Es sei ein über algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom mit , welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von .
Es sei eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge
den algebraischen Abschluss von in .
Eine komplexe Zahl heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ist. Andernfalls heißt sie transzendent.
Eine endliche Körpererweiterung vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.
Es sei ein Körper, ein Polynom und eine Körpererweiterung, über der in Linearfaktoren zerfällt. Es seien die Nullstellen von . Dann nennt man
einen Zerfällungskörper von .
Es sei eine Teilmenge der Ebene . Eine Gerade heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte , , derart gibt, dass die Verbindungsgerade von und gleich ist. Ein Kreis heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte , , derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt und durch den Punkt gleich ist.
Es sei eine Teilmenge der Ebene . Dann heißt ein Punkt aus in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.
- Es gibt zwei aus elementar konstruierbare Geraden und mit .
- Es gibt eine aus elementar konstruierbare Gerade und einen aus elementar konstruierbaren Kreis derart, dass ein Schnittpunkt von und ist.
- Es gibt zwei aus elementar konstruierbare Kreise und derart, dass ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.
Es sei eine Teilmenge der Ebene . Dann heißt ein Punkt aus konstruierbar (oder mit Zirkel und Lineal konstruierbar), wenn es eine Folge von Punkten
gibt derart, dass jeweils aus in einem Schritt konstruierbar ist.
Eine Zahl heißt konstruierbar oder konstruierbare Zahl, wenn sie aus der Startmenge mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
Es sei . Man sagt, dass das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl
eine konstruierbare Zahl ist.
Eine Primzahl der Form , wobei eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.