Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Das Delische Problem}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Roman_Statue_of_Apollo.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Die Bewohner der Insel Delos befragten während einer Pestepidemie 430 v. Chr. das Orakel von Delphi. Sie wurden aufgefordert, den würfelförmigen Altar des Apollon zu verdoppeln.} }
\bildlizenz { Roman Statue of Apollo.jpg } {} {Stuart Yeates} {flickr} {CC-by-sa-2.0} {}
Wir kommen zur ersten Konsequenz von unserer systematischen Untersuchung der konstruierbaren Zahlen auf die klassischen Konstruktionsprobleme.
\inputfaktbeweis
{Zirkel und Lineal/Würfelverdoppelung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die Würfelverdopplung
\definitionsverweis {mit Zirkel und Lineal}{}{} ist nicht möglich.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten einen Würfel mit der Kantenlänge $1$ und dem Volumen $1$. Die Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen würde bedeuten, dass man die neue Kantenlänge, also
\mathl{2^{1/3}}{} mit Zirkel und Lineal konstruieren könnte. Das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von
\mathl{2^{1/3}}{} ist
\mathl{X^3-2}{,} da dieses offenbar
\mathl{2^{1/3}}{} annulliert und nach
Lemma 6.9
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist, da in $\Q$ keine dritte Wurzel aus $2$ existiert. Nach
Korollar 26.7
ist
\mathl{2^{1/3}}{} nicht konstruierbar, da $3$ keine Zweierpotenz ist.
\zwischenueberschrift{Die Quadratur des Kreises}
\inputfaktbeweis
{Quadratur des Kreises/Unmöglichkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn es ein Konstruktionsverfahren gäbe, so könnte man insbesondere den Einheitskreis mit dem Radius $1$ quadrieren, d.h. man könnte ein Quadrat mit der Seitenlänge $\sqrt{\pi}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren. Nach Korollar 26.6 muss aber eine konstruierbare Zahl \definitionsverweis {algebraisch}{}{} sein. Nach dem Satz von Lindemann ist aber $\pi$ und damit auch $\sqrt{\pi}$ \definitionsverweis {transzendent}{}{.}
Es gibt natürlich einige geometrische Methoden die Zahl $\pi$ zu erhalten, z.B. die Abrollmethode und die Schwimmbadmethode.
\inputbeispiel{}
{
Die einfachste Art, die Zahl $\pi$ geometrisch zu konstruieren, ist die \stichwort {Abrollmethode} {,} bei der man einen Kreis mit Durchmesser $1$ einmal exakt abrollt. Die zurückgeführte Entfernung ist genau der Kreisumfang, also $\pi$.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pi-unrolled-720.gif} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Pi-unrolled-720.gif } {John Reid} {MGTom} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
}
\inputbeispiel{}
{
Man kann die Zahl $\pi$ auch mit Hilfe von Schwimmbecken und einer idealen Flüssigkeit erhalten.
-
Wir starten mit einem Einheitskreis, -
den wir als Grundfläche -
eines Schwimmbeckens der Höhe 1 nehmen. -
Das füllen wir randvoll mit Wasser auf. -
Wir nehmen ein zweites Schwimmbecken mit quadratischer Grundfläche $1 \times 1$ und Höhe 4. -
Der Inhalt des ersten Schwimmbeckens wird -
in das zweite Schwimmbecken gegossen. -
Der Wasserstand im zweiten Schwimmbecken ist exakt $\pi$.
}
\zwischenueberschrift{Einheitswurzeln}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann heißen die Nullstellen des
\definitionsverweis {Polynoms}{}{}
\mathdisp {X^n-1} { }
in $K$ die $n$-ten \definitionswort {Einheitswurzeln}{} in $K$.
}
Die $1$ ist für jedes $n$ eine $n$-te Einheitswurzel, und die $-1$ ist für jedes gerade $n$ eine $n$-te Einheitswurzel. Es gibt maximal $n$ $n$-te Einheitswurzel, da das Polynom
\mathl{X^n-1}{} maximal $n$ Nullstellen besitzt. Die Einheitswurzeln bilden also insbesondere eine endliche Untergruppe
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ x^n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ y^n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ (xy)^n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
usw.} {} {}
der Einheitengruppe des Körpers. Nach einem Satz, den wir nicht bewiesen haben, ist diese Gruppe zyklisch mit einer Ordnung, die $n$ teilt.
\inputdefinition
{}
{
Eine $n$-te \definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{} heißt \definitionswort {primitiv}{,} wenn sie die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ besitzt.
}
Man beachte, dass ein Erzeuger der Gruppe der Einheitswurzeln nur dann primitiv heißt, wenn es $n$ verschiedene Einheitswurzeln gibt. Wenn $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel ist, so sind genau die
\mathbed {\zeta^i} {mit}
{i <n} {}
{} {} {} {}
und $i$ teilerfremd zu $n$ die primitiven Einheitswurzeln. Insbesondere gibt es, wenn es überhaupt primitive Einheitswurzeln gibt, genau
\mathl{{\varphi (n)}}{} primitive Einheitswurzeln, wobei
\mathl{{\varphi (n)}}{} die
\definitionsverweis {eulersche $\varphi$-Funktion}{}{}
bezeichnet. Die komplexen Einheitswurzeln lassen sich einfach beschreiben.
\inputfaktbeweis
{Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Die Nullstellen des Polynoms
\mathl{X^n-1}{} über ${\mathbb C}$ sind
\mathbeddisp {e^{2 \pi { \mathrm i} k / n} = \cos { \frac{ 2 \pi k }{ n } } + { \mathrm i} \sin { \frac{ 2 \pi k }{ n } }} {}
{k=0,1 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {.}}
\faktzusatz {In
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} gilt die Faktorisierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n-1
}
{ =} { (X-1) { \left( X- e^{2 \pi { \mathrm i} / n} \right) } { \cdots } { \left( X- e^{2 \pi { \mathrm i} (n-1) /n} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über die
\definitionsverweis {komplexe Exponentialfunktion}{}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( e^{ 2 \pi { \mathrm i} k /n} \right) }^n
}
{ =} { e^{ 2 \pi { \mathrm i} k }
}
{ =} { { \left( e^{ 2 \pi { \mathrm i} } \right) }^k
}
{ =} {1^k
}
{ =} {1
}
}
{}{}{.}
Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms
\mathl{X^n-1}{.} Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^{2 \pi { \mathrm i} k/n}
}
{ =} { e^{2 \pi { \mathrm i} \ell/n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ k
}
{ \leq }{ \ell
}
{ \leq }{n-1
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sofort, durch Betrachten des Quotienten,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e^{2 \pi { \mathrm i} ( \ell -k )/n}
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt, und daraus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ell - k
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es gibt also $n$ explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der
eulerschen Formel.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {3rd_roots_of_unity.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 3rd roots of unity.svg } {} {Marek Schmidt und Nandhp} {Commons} {PD} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {8th-root-of-unity.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 8th-root-of-unity.jpg } {} {Marek Schmidt} {Commons} {PD} {}
\zwischenueberschrift{Kreisteilungskörper}
\inputdefinition
{}
{
Der $n$-te \definitionswort {Kreisteilungskörper}{} ist der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
des Polynoms
\mathdisp {X^n-1} { }
über $\Q$.
}
Offenbar ist $1$ eine Nullstelle von
\mathl{X^n-1}{.} Daher kann man
\mathl{X^n-1}{} durch
\mathl{X-1}{} teilen und erhält, wie man schnell nachrechnen kann,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n-1
}
{ =} {(X-1) { \left( X^{n-1} +X^{n-2} + \cdots + X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist daher der $n$-te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von
\mathdisp {X^{n-1} +X^{n-2} + \cdots + X+1} { . }
Es gibt auch Kreisteilungskörper über anderen Körpern, da es ja stets Zerfäl\-lungskörper gibt. Wir beschränken uns aber weitgehend auf die Kreisteilungskörper über $\Q$, die wir auch mit
\mathl{K_n}{} bezeichnen. Da
\mathl{X^n-1}{} auf die in
Lemma 27.7
beschriebenen Art über ${\mathbb C}$ in Linearfaktoren zerfällt, kann man $K_n$ als Unterkörper von ${\mathbb C}$ realisieren, und zwar ist $K_n$ der von allen $n$-ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von ${\mathbb C}$. Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt. Wir erwähnen den folgenden Begriff.
\inputdefinition
{}
{
Eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
heißt \definitionswort {einfach}{,} wenn es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} {K (x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
\inputfaktbeweis
{Kreisteilungskörper/Q/Erzeugt durch explizite Nullstellen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann wird der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
über $\Q$}
\faktfolgerung {von
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} /n}}{} erzeugt.}
\faktzusatz {Der $n$-te Kreisteilungskörper ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K_n
}
{ =} {\Q { \left( e^{2 \pi { \mathrm i} /n} \right) }
}
{ =} { \Q[e^{2 \pi { \mathrm i} /n}]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{}
von $\Q$\zusatzfussnote {Dies ist natürlich auch klar aufgrund des Satzes vom primitiven Element} {.} {.}}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $K_n$ der $n$-te Kreisteilungskörper über $\Q$. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( e^{2 \pi { \mathrm i} /n} \right) }^n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q[ e^{2 \pi { \mathrm i} /n}]
}
{ \subseteq }{ K_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{ \left( e^{2 \pi { \mathrm i} /n} \right) }^k
}
{ = }{e^{2 \pi { \mathrm i} k/n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehören auch alle anderen Einheitswurzeln zu
\mathl{\Q[ e^{2 \pi { \mathrm i} /n}]}{,} also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q[ e^{2 \pi { \mathrm i} /n}]
}
{ = }{ K_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Statt
\mathl{e^{ \frac{2 \pi { \mathrm i} } { n } }}{} kann man auch jede andere $n$-te primitive Einheitswurzel aus ${\mathbb C}$ als Erzeuger nehmen.
\inputbeispiel{}
{
Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine $n$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder $2$ ist der Kreisteilungskörper gleich $\Q$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3-1
}
{ =} { (X-1) { \left( X^2+X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der zweite Faktor zerfällt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2+X+1
}
{ =} { { \left( X + { \frac{ 1 }{ 2 } } - { \mathrm i} { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \right) } { \left( X + { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \mathrm i} { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt{-3}
}
{ = }{ \sqrt{3} { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
erzeugte Körper, es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_3
}
{ = }{ \Q[ \sqrt{-3}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
der rationalen Zahlen.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist natürlich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ X^4-1
}
{ =} { { \left( X^2-1 \right) } { \left( X^2+1 \right) }
}
{ =} { (X-1)(X+1) { \left( X^2+1 \right) }
}
{ =} { (X-1)(X+1) (X- { \mathrm i} )(X+ { \mathrm i} )
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Der vierte Kreisteilungskörper ist somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q[ { \mathrm i} ]
}
{ \cong }{ \Q[X]/(X^2+1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von $\Q$.
}
Der Beweis der folgenden wichtigen Aussage beruht auf Überlegungen, die wir nicht entwickelt haben.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Kreisteilungskörper/Q/Prim/Kreisteilungspolynom/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der $p$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
gleich
\mathdisp {\Q[X]/ { \left( X^{ p-1 } + X^{ p - 2} + \cdots + X^1 + 1 \right) }} { . }
}
\faktzusatz {Insbesondere besitzt der $p$-te Kreisteilungskörper den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
\mathl{p-1}{} über $\Q$.}
\faktzusatz {}
}
{
Der $p$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
wird nach
Lemma 27.10
von
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} / p}}{} erzeugt, er ist also isomorph zu
\mathl{\Q[X]/(P)}{,} wobei $P$ das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} / p}}{} bezeichnet. Als Einheitswurzel ist
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} / p}}{} eine Nullstelle von
\mathl{X^p-1}{} und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e^{2 \pi { \mathrm i} / p}
}
{ \neq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} / p}}{} eine Nullstelle von
\mathl{X^{ p-1 } + X^{ p - 2} + \cdots + X^1 + 1}{.} Das Polynom
\mathl{X^{ p-1 } + X^{ p - 2} + \cdots + X^1 + 1}{} ist irreduzibel nach
Aufgabe *****
und daher handelt es sich nach
Lemma 23.2 (2)
um das Minimalpolynom von
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} / p}}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Kreis5Teilung.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Kreis5Teilung.svg } {} {Exxu} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} /5}}{} erzeugt. Er hat aufgrund von
Lemma 27.12
die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K_5
}
{ \cong} { \Q[X]/{ \left( X^4+X^3+X^2+X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Variable $X$ als
\mathl{e^{2 \pi { \mathrm i} /5}}{}
\zusatzklammer {oder eine andere
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}} {} {}
zu interpretieren ist. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ e^{2 \pi { \mathrm i} /5}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und setze
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ x-x^2-x^3+x^4
}
{ = }{ - { \left( 2x^3+2x^2+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{v^2
}
{ =} { 4x^6+4x^4+1+8x^5+4x^3+4x^2
}
{ =} { 4x+4x^4+1+8+4x^3+4x^2
}
{ =} { 5+4 { \left( x^4+x^3+x^2+x+1 \right) }
}
{ =} {5
}
}
{}
{}{.}
Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{\sqrt{5}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {die positive Wurzel} {} {}
und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subset} {\Q[\sqrt{5}]
}
{ \subset} {K_5
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.} Dies zeigt aufgrund von
Satz 26.5,
dass die fünften Einheitswurzeln konstruierbare Zahlen sind.
}