Kurs:Elliptische Kurven/3/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	10	0	0	0	7	0	0	0	0	3	5	0	0	2	0	33

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper ${}K$.
2. Die Glattheit einer ebenen projektiven Kurve ${}C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu einem homogenen Polynom ${}F\in K[X,Y,Z]$.
3. Eine elliptische Kurve in Legendrescher Normalform.
4. Die Streckungsäquivalenz von Gittern ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$.
5. Die Standardbetragsmenge von ${}\mathbb {Q}$.
6. Additive Reduktion einer elliptischen Kurve ${}E=V_{+}(F)$ mit ${}F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]$ modulo einer Primzahl ${}p$.

Lösung Elliptische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Struktur des Quotientenraumes ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter ${}\Gamma \subset {\mathbb {C} }$.
2. Der schwache Satz von Mordell-Weil.
3. Die Zeta-Funktion einer elliptischen Kurve über dem endlichen Körper ${}{\mathbb {F} }_{q}$.

Lösung Elliptische Kurven/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (7 (1+1+1+3+1) Punkte)

Wir betrachten die elliptische Kurve ${}E$, die durch die affine Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}-X+6\,$

gegeben ist.

1. Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${}2$ für ${}E(\mathbb {R} )$.
2. Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${}2$ für ${}E({\mathbb {C} })$.
3. Parametrisiere den oberen Bogen von ${}E(\mathbb {R} )$ als Funktion über einem geeigneten Definitionsbereich.
4. Bestimme die Koordinaten der Punkte von ${}E(\mathbb {R} )$, wo die Funktion aus (3) lokale Extrema annimmt.
5. Beschreibe eine endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ derart, dass die Punkte aus Teil (4) zu ${}E(K)$ gehören.

Lösung

1. Es ist

   ${}X^{3}-X+6=(X+2)(X^{2}-2X+3)\,.$

   Ferner ist

   ${}X^{2}-2X+3=(X-1)^{2}-1+3=(X-1)^{2}+2\,$

   und daher besitzt dieses kubische Polynom keine weitere reelle Nullstelle. Die reelle Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}\leq 2$ ist also ${}\{{\mathfrak {O}},(-2,0)\}$.

2. Über ${}{\mathbb {C} }$ gibt es die zusätzlichen Nullstellen ${}\pm {\sqrt {2}}{\mathrm {i} }+1$, die komplexe Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}\leq 2$ ist also ${}\{{\mathfrak {O}},(-2,0),(1+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} },0),(1-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} },0)\}$.
3. Der obere Bogen wird auf ${}\mathbb {R} _{\geq -2}$ durch die Funktion

   ${}y={\sqrt {x^{3}-x+6}}\,$

   beschrieben.

4. Wegen der strengen Monotonie der Quadratwurzel bestimmen wir die lokalen Extrema von ${}x^{3}-x+6$. Die Ableitung ist ${}3x^{2}-1$, die Nullstellen sind

   ${}x_{1,2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {3}}}\,.$

   Bei ${}(-2,0)$ liegt ein globales Minimum vor, bei ${}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$ ein lokales Maximum mit dem Wert

   ${}{\begin{aligned}{\sqrt {-\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{3}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}&={\sqrt {-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}\\&={\sqrt {{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}\\&={\sqrt {\frac {2{\sqrt {3}}+54}{9}}}\\&={\frac {\sqrt {2{\sqrt {3}}+54}}{3}}\end{aligned}}$

   und bei ${}{\frac {1}{\sqrt {3}}}$ ein lokales Minimum mit dem Wert

   ${}{\begin{aligned}{\sqrt {\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{3}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}&={\sqrt {{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}\\&={\sqrt {-{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}+6}}\\&={\sqrt {\frac {-2{\sqrt {3}}+54}{9}}}\\&={\frac {\sqrt {-2{\sqrt {3}}+54}}{3}}.\end{aligned}}$

5. Die Punkte sind alle über dem Körper

   ${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {2{\sqrt {3}}+54}},{\sqrt {-2{\sqrt {3}}+54}}]\,$

   definiert.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe drei elliptische Kurven über ${}\mathbb {Q}$, für die die ${}2$-Torsionsgruppen wesentlich verschieden sind.

Lösung Elliptische Kurve/Q/2-Torsion/Möglichkeiten/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und

${}E={\mathbb {C} }/\Gamma \,$

der zugehörige komplexe Torus, aufgefasst als elliptische Kurve. Beschreibe, inwiefern das Gitter ${}\Gamma$ mit den Tate-Moduln ${}T_{\ell }(E)$ (${}\ell$ Primzahl) zusammenhängt.

Lösung Gitter/Tate-Modul/Zusammenhang/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige direkt, dass

${\left\{s\in {\mathbb {C} }\mid s\Gamma \subseteq \Gamma \right\}}$

ein Unterring von ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Lösung

Es sei ${}R={\left\{s\in {\mathbb {C} }\mid s\Gamma \subseteq \Gamma \right\}}$. Es ist offenbar ${}0,1\in R$. Mit ${}s,t\in R$ und ${}u\in \Gamma$ ist

${}(s+t)u=su+tu\in \Gamma \,$

und zunächst ${}tu\in \Gamma$ und daher auch ${}(st)u=s(tu)\in \Gamma$, also ist ${}R$ unter der Addition und der Multiplikation abgeschlossen.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung