Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 16

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung. Zeige ${}\Omega _{L{|}K}=0$ .

Zeige, dass es auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ außer der Nullform keine globalen Differentialformen gibt.

Wie betrachten die Kurve

{}C=V_{+}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,

über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 3$ . Zeige, dass die Differentialformen

{\frac {X^{2}}{Y^{2}}}d{\frac {Z}{X}}{\text{ auf }}D_{+}(XY),\,{\frac {Y^{2}}{Z^{2}}}d{\frac {X}{Y}}{\text{ auf }}D_{+}(YZ){\text{ und }}{\frac {Z^{2}}{X^{2}}}d{\frac {Y}{Z}}{\text{ auf }}D_{+}(XZ),\,

auf den Durchschnitten übereinstimmen und daher eine nichttriviale Differentialform auf der Kurve ${}C$ definieren.

{}V_{+}{\left(X^{4}+Y^{4}+Z^{4}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,

mit Lemma 16.1 über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ .

{}V_{+}{\left(X^{3}-Y^{2}Z\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,.

Bestimme den Rückzug der Differentialform ${}dx$ unter der Additionsabbildung

{\mathbb {A} }_{K}^{2}\cong {\mathbb {A} }_{K}^{1}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(x_{1},x_{2})\longmapsto x_{1}+x_{2}.

Bestimme den Rückzug der Differentialform ${}dx$ unter der Multiplikationsabbildung

{\left({\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\right)}\times {\left({\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\right)}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\},\,(x_{1},x_{2})\longmapsto x_{1}\cdot x_{2}.