Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 15

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

ein nichtkonstanter Morphismus. Zeige, dass die nach Lemma 15.5 induzierte Abbildung

$\varphi _{*}\colon \operatorname {Div} {\left(C\right)}\longrightarrow \operatorname {Div} {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1}\right)}\cong \mathbb {Z} ,\,D\longmapsto \varphi _{*}D,$

einfach die Gradabbildung ist.

Aufgabe

Es sei ${}Y^{2}=X^{3}+aX+b$ die Weierstraßgleichung für eine elliptische Kurve ${}E$ und sei

${}K(X)\subseteq K(E)\,$

die zugehörige quadratische Körpererweiterung. Bestimme die Norm von ${}Y$.

Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve und

$[n]\colon E\longrightarrow E$

die Multiplikation mit ${}n$ auf ${}E$. Beschreibe die zugehörige Vorschubsabbildung der Divisorenklassengruppe

$\operatorname {DKG} {\left(E\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(E\right)},\,D\longmapsto [n]_{*}D.$

Aufgabe *

Zeige mit Satz 15.8, dass der Endomorphismenring einer elliptischen Kurve ${}E$ die Distributivität erfüllt und somit in der Tat ein Ring ist.