Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 15

Aufgaben

Aufgabe

Es sei $C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei

$\phi :C⟶{\mathbb{P}}_K^1$

ein nichtkonstanter Morphismus. Zeige, dass die nach Lemma 15.5 induzierte Abbildung

${\phi }_{\ast }:\mathrm{Div}\left(C\right)⟶\mathrm{Div}\left({\mathbb{P}}_K^1\right)\cong \mathbb{Z},D⟼{\phi }_{\ast }D,$

einfach die Gradabbildung ist.

Aufgabe

Es sei  $Y^2=X^3+aX+b$  die Weierstraßgleichung für eine elliptische Kurve $E$ und sei

$K(X)\subseteq K(E)$

die zugehörige quadratische Körpererweiterung. Bestimme die Norm von $Y$.

Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve und

$[n]:E⟶E$

die Multiplikation mit $n$ auf $E$. Beschreibe die zugehörige Vorschubsabbildung der Divisorenklassengruppe

$\mathrm{DKG}\left(E\right)⟶\mathrm{DKG}\left(E\right),D⟼[n{]}_{\ast }D.$

Aufgabe *

Zeige mit Satz 15.8, dass der Endomorphismenring einer elliptischen Kurve $E$ die Distributivität erfüllt und somit in der Tat ein Ring ist.