Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 16

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve

Zu einem Gitter ist die zugehörige elliptische Kurve eine Gruppe, die als topologische Gruppe isomorph zu . Auf dieser Ebene sind also alle elliptischen Kurven über untereinander gleich. Die Gruppenstruktur kann man insbesondere dadurch verstehen, dass man

versteht. Eine reelle Zahl definiert in genau dann das Nullelement, wenn ist. Eine reelle Zahl definiert in genau dann ein Torsionselement, wenn ist. Wenn eine gekürzte Darstellung ist, dann ist die Ordnung von in . Wenn die Darstellung nicht notwendigerweise gekürzt ist, so ist ein Vielfaches der Ordnung. Insbesondere sind zu gegebenem die verschiedenen Elemente diejenigen Elemente, deren Ordnung ein Vielfaches von ist. Diese bilden eine Untergruppe der Kreisgruppe, die aus Elementen besteht, und isomorph zur zyklischen Gruppe ist.



Lemma  

Es sei ein Gitter.

Dann ist die Torsionsuntergruppe zur Ordnung des komplexen Torus isomorph zu und besteht aus Elementen.

Beweis  

Dies folgt direkt aus .


Bei

kann man die Torsionsuntergruppe explizit als , , angeben.

Wenn eine elliptische Kurve über einem beliebigen Körper definiert ist, so ist die Menge der -Punkte eine kommutative Gruppe. Wenn ein Erweiterungskörper ist, so ist auch die Menge der -Punkte der Kurve eine kommutative Gruppe, die typischerweise aus mehr Elementen besteht, also

Es gibt im Allgemeinen auch mehr Torsionselement über als über .



Lemma  

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper der Charakteristik mit der affinen Gleichung mit einem kubischen Polynom ohne mehrfache Nullstelle.

Dann sind die Punkte der Ordnung die Punkte , wobei die Nullstellen von durchläuft. Insbesondere ist

Bei algebraisch abgeschlossen ist .

Beweis  

Die Bedingung

bedeutet, dass die Tangente durch durch verläuft. Die Geraden durch sind neben der unendlich fernen Geraden durch die affinen Gleichungen gegeben. Die Tangente zu sind als Kern von gegeben, also durch die Gleichung . Übereinstimmung gibt es bei

was wegen der Kurvengleichung erfordert, dass eine Nullstelle von ist.




Satz  

Es sei eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Es sei teilerfremd zur Charakteristik von .

Dann gilt für die Torsionsuntergruppen zur Ordnung die Isomorphie

Ohne die Voraussetzung der Teilerfremdheit gilt

Beweis  

Die Abbildung

ist eine Isogenie und besitzt nach Satz 14.2 den Grad . Daher besteht ihr Kern als eine Faser maximal aus Elementen. Unter der numerischen Bedingung ist die Isogenie separabel und daher besteht ihr Kern nach Korollar 14.9 aus Elementen. Da der Kern eine kommutative -Torsionsgruppe ist, muss es sich um handeln.




Korollar  

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper .

Dann gilt für die Torsionsuntergruppen zur Ordnung die Abschätzung

Beweis  

Dies folgt aus Satz 16.3, indem man die elliptische Kurve über betrachtet.


Wenn über einem Körper definiert, so muss man zwischen den über und den über definierten Torsionspunkten unterscheiden. Wir bezeichnen die in einem algebraischen Abschluss gewonnen -Torsionspunkte mit , also


Beispiel  

Das reelle Bild der Kurve .

Auf der durch gegebenen elliptischen Kurve gibt es über nur die vier Punkte , die Torsionspunkte sind. Wenn man die Gleichung über dem Erweiterungskörper betrachtet, erhält man neue Punkte. So ist ein weiterer Punkt, es ist ja

Ferner ergibt sich der Punkt , und zwei weitere Punkte, da man durch ersetzen kann.



Definition  

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper . Dann nennt man den Rang der kommutativen Gruppe den Rang von .


Beispiel  

Auf der durch gegebenen elliptischen Kurve gibt es über die zwei Torsionspunkte . Daneben gibt es noch den Punkt , dieser ist kein Torsionspunkt.


Die beiden folgenden elliptische Kurven über besitzen eine vergleichsweise große Torsionsgruppe.


Beispiel  

Auf der durch gegebenen elliptischen Kurve gibt es über die sechs Torsionspunkte .



Beispiel  

Auf der durch gegebenen elliptischen Kurve gibt es über die vier Torsionspunkte .




Der Tate-Modul

Es sei eine kommutative Gruppe und eine Primzahl. Die Torsionsuntergruppen zur Ordnung stehen zueinander in der Beziehung

da ja aus

folgt, dass ein Element der Ordnung unter Multiplikation mit auf ein Element der Ordnung abgebildet wird. Es liegt somit ein gerichtetes System

vor. Über dieses System kann man den projektiven Limes bilden. Er besteht aus Folgen mit und mit . Diese Konstruktion ergibt eigentlich nur dann Sinn, wenn es zu jedem auch Torsionselemente gibt.


Definition  

Es sei eine kommutative Gruppe und eine Primzahl. Unter dem -adischen Tate-Modul von versteht man die Gruppe

wobei die Torsionsuntergruppe der Ordnung bezeichnet.



Lemma  

Es seien und kommutative Gruppen und sei eine Primzahl. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. Ein Gruppenhomomorphismus induziert einen Homomorphismus

    der zugehörigen -adischen Tate-Moduln.

  2. Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

    vor.

  3. Die Abbildung

    ist ein Ringhomomorphismus des Endomorphismenringes von in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.

Beweis  

Zu jedem liegt ein Gruppenhomomorphismus

vor. Dabei liegt ein kommutatives Diagramm

vor. Dies überträgt sich auf die projektiven Limiten.

Für eine elliptische Kurve über einem Körper betrachten wir stets den Tate-Modul zur elliptischen Kurve über dem algebraischen Abschluss von .


Definition  

Zu einer elliptischen Kurve über einem Körper und einer Primzahl versteht man unter dem -adischen Tate-Modul den projektiven Limes

Man bezeichnet hier die Primzahl mit , da sie zumeist verschieden von der Charakteristik des Körpers gewählt wird. Wenn nicht die Charakteristik ist, so ist

nach Satz 16.3. Unter den natürlichen Abbildungen

wird ein Erzeugerpaar auf ein Erzeugerpaar abgebildet. Man kann also die gerichtete Familie identifizieren mit der direkten Summe der Restklassenfamilie

wobei die Homomorphismen einfach die Restklassenringhomomorphismen sind. Der zugehörige projektive Limes ist nach Definition die -adische Komplettierung des lokalen Ringes am maximalen Ideal . Diese wird mit bezeichnet. Daher gibt es eine nichtkanonische Isomorphie



Satz  

Es seien und elliptische Kurven über einem Körper und sei eine Primzahl. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Eine Isogenie

    definiert einen Gruppenhomomorphismus

  2. Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

    vor.

  3. Die Abbildung

    ist ein Ringhomomorphismus des Endomorphismenringes einer elliptischen Kurve in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.

Beweis  

Dies folgt direkt aus Lemma 16.11.

Die Multiplikation mit auf der elliptischen Kurve definiert die Multiplikation mit auf

Wenn ein Vielfaches von ist, so handelt es sich um die Nullabbildung. Für hinreichend groß ist dies aber ausgeschlossen und somit induziert die Multiplikation auf dem Tate-Modul die Multiplikation mit . Deren Determinante ist und stimmt mit dem Grad der Multiplikation überein. Dieser Sachverhalt gilt für sämtliche Isogenien, was wir ohne Beweis mitteilen.


Satz

Es sei eine elliptische Kurve über dem Körper , es sei

eine Isogenie und es sei eine von der Charakteristik von verschiedene Primzahl. Es sei

die induzierte -lineare Abbildung auf dem -adischen Tate-Modul. Dann gelten die folgenden Aussagen.

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Das charakteristische Polynom von ist

Es ist zu betonen, dass die Daten der linearen Algebra unabhängig von sind und dass sie in liegen.



Satz  

Es sei ein Körper, ein algebraischer Abschluss von und eine elliptische Kurve über . Es sei die absolute Galoisgruppe von und sei eine Primzahl.

Dann gibt es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

Beweis  

Es sei ein Element der absoluten Galoisgruppe, also ein -Algebraautomorphismus. Dieser induziert einen Automorphismus

wobei einfach auf abgebildet wird. Dieser Automorphismus ist mit der Addition auf der elliptischen Kurve verträglich, da die Addition durch Polynome aus definiert ist, und somit induziert einen Gruppenautomorphismus auf . Dabei liegen kommutative Diagramme

vor und somit führt dies zu einem Automorphismus auf dem Tate-Modul. Die Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus, da ja jeweils die Automorphismen hintereinandergeschaltet werden.



<< | Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)