- Differentialformen
in dieser Vorlesung besprechen wir Differentialformen auf einer elliptischen Kurve. Im komplexen Fall sind das die holomorphen Differentialformen im Sinne der
(komplexen)
Differentialgeometrie, also im Wesentlichen das duale Konzept zu Tangentialbündel und Vektorfelder, im Allgemeinen arbeiten wir mit den rein algebraisch definierten Kähler-Differentialen. Zur Konstruktion siehe den
Kurs zur Singularitätentheorie. Wichtig ist hier, dass es für den Modul der Kähler-Differentiale eine einfache Restklassenkonstruktion gibt.
Auf einer ebenen affinen Kurve
mit dem affinen Ring
ist der
Modul der Kähler-Differentiale
gleich dem
-
Modul
-
es handelt sich also um eine Darstellung als Restklassenmodul eines freien Moduls vom Rang modulo einer Gleichung. Wenn die Kurve glatt ist, so ist in jedem Punkt eine der partiellen Ableitungen eine Einheit und somit ist lokal dieser Modul frei vom Rang . Es handelt sich also um einen invertierbaren Modul. Die Gleichung
-
kann man auch als
-
schreiben, wobei die linke Darstellung für den Ort gilt, wo nicht vercshwindet. Da im glatten Fall die partiellen Ableitungen das Einheitsideal erzeugen, handelt es sich um eine auf ganz definierte nullstellenfreie Differentialform.
Bei einer projektiven Varietät muss man den Modul der Kähler-Differentialformen vergarben. Im Fall von Kurven lässt sich der Grundgedanke dieses Konzeptes einfach beschreiben. Für eine ebene projektive Kurve
mit vom Grad und der Form bilden
und
eine affine Überdeckung der Kurve und für die globalen Funktionen liegt das Diagramm
-
vor. Eine globale Funktion
(links oben)
wird genauer durch ein Paar bestehend aus einer Funktion rechts oben und einer Funktion links unten beschrieben, das die Bedingung erfüllt, dass es rechts unten auf das gleiche Element abbildet. Die Abbildungen sind bei einer integren Kurve injektiv und somit spielt sich alles im Funktionenkörper der Kurve ab.
Ein entsprechendes Diagramm gibt es für den Modul der Kähler-Differentiale, nämlich
-
Im integren Fall sind die Abbildungen wieder injektiv, und das Diagramm stellt die Definition für die globalen Differentialformen
dar. Eine globale Differentialform ist nämlich ein Paar bestehend aus einer Differentialform rechts oben und einer Differentialform links unten, das die Bedingung erfüllt, dass es rechts unten auf die gleiche Differentialform abbildet. Im integren Fall spielt sich alles im Modul dere Kähler-Differentiale des Funktionenkörpers, also in
ab. Für die affinen Ausschnitte haben wir die oben angegebene Restklassendarstellung.
Unmittelbar ist die Differentialform auf der offenen Menge definiert. Man beachte, dass die Quotienten in der Differentialform den Grad haben. Es ist zu zeigen, dass man die Form auch mit anderen Nennern schreiben kann, sodass die zugehörigen offenen Mengen die Kurve überdecken.
Wir betrachten die Differentialform
-
und die entsprechend gebildeten Formen, also ohne den Faktor . Dies ist dann keine Differentialform auf der Kurve
(außer bei
),
sondern auf einer offenen Menge der affinen Varietät zum homogenen Koordinantering . Im Nenner steht die partielle Ableitung nach der Variablen, die im Differential rechts nicht vorkommt, und im Zähler steht das Quadrat der Variablen im Differential rechts im Nenner. Das Vorzeichen wählen wir derart, dass es, wenn hinten oder steht, positiv und bei negativ und dreht sich um, wenn man im Differential Zähler und Nenner vertauscht.
Wir behaupten, dass es sich stets um die gleiche Differentialform handelt. Wegen der Quotientenregel
-
kann man die Zähler und Nenner im Bruch vertauschen. In gilt
(unter Verwendung von
und
Aufgabe 2.8)
woraus sich
-
ergibt. Entsprechend gilt
-
und somit auch
-
Wenn man alles mit multipliziert, ergeben sich entsprechende Darstellungen für die Differentialform der Satzaussage.
Auf besitzt die Form Darstellungen mit und mit im Nenner. Wegen
-
auf folgt für einen Punkt
,
in dem die beiden partiellen Ableitungen, die als Nenner der Form auftreten, verschwinden, dass auch die dritte partielle Ableitung verschwindet. Dies ist aber ein Widerspruch zur Glattheit. D.h. für jeden Punkt gibt es eine Darstellung der Form und die Form ist global definiert.
Mit dieser expliziten Methode erhält man auf einer glatten ebenen projektiven Kurve vom Grad genau globale Differentialformen, die linear unabhängig über sind. In der Tat gibt es keine weiteren.
Auf einer elliptischen Kurve in Weierstraßform werden wir zumeist mit der Form arbeiten, jede andere globale Differentialform ist ein skalares Vielfaches davon.
Man kann auch direkt mit
Beispiel 16.2
argumentieren.
- Differentialformen unter Morphismen
Die Addition
wird gemäß
Satz 6.5
durch
-
mit
beschrieben. Diese Terme kann man als funktionale Ausdrücke auf der affinen offenen Menge bzw. als Ringelemente in
-
bzw. im Tensorprodukt
-
auffassen, bei der letzten Interpretation geht es um den Ringhomomorphismus
-
der durch die Einsetzungen und festgelegt ist. Unter diesem Ringhomomorphismus wird nach
Lemma 18.4 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)) (5)
auf
abgebildet, wobei der nicht angeführte Term vor symmetrisch gebildet ist.
Der Term vor ist
Der Zähler links ist
Der Zähler rechts ist
Wir haben also eine Beschreibung der zurückgezogenen Differentialform der Gestalt
-
mit explizit bestimmten Polynomen
und
in . Für die Differentialform gilt
-
wobei einfach den Rückzug der Funktion bezeichnet, also einfach . In
Aufgabe 6.15
haben wir dies berechnet, es ist
-
mit
-
und
-
Die behauptete Gleichheit
-
ergibt sich somit
(für den -Anteil)
aus
-
Dies folgt nun direkt aus
und
.
Die Abbildung ist die zusammengesetzte Abbildung
-
wir können damit den Rückzug einer Differentialform berechnen, wobei jede Differentialform ein skalares Vielfaches von ist. Nach
Lemma 16.6
ist
-
Wenn die Projektionen bezeichnen, so ergibt sich
Dies folgt aus
Satz 16.7
durch Induktion über .