Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 18

Aufgaben

Eine kommutative Gruppe $G$ heißt torsionsfrei, wenn für jedes Element $x\in G$, $x\ne 0$, und  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  gilt  $nx\ne 0$. 

Aufgabe

Zeige, dass die Torsionsuntergruppe einer kommutativen Gruppe $G$ in der Tat eine Untergruppe ist.

Aufgabe

Es sei  $T\subseteq G$  die Torsionsuntergruppe einer kommutativen Gruppe $G$. Zeige, dass die Restklassengruppe $G/T$ torsionsfrei ist.

Aufgabe

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass zu jedem  $m\in {\mathbb{N}}_{+}$  eine kurze exakte Sequenz

$0⟶{\mathrm{Tor}}_m\left(G\right)⟶G\stackrel{\cdot m}{⟶}mG⟶0$

vorliegt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Einheitswurzeln in $R$ die Torsionsuntergruppe der Einheitengruppe ist.

Aufgabe

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und  $m\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige, dass die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $m$ ${\mathrm{Tor}}_m\left(G\right)$ in natürlicher Weise ein $\mathbb{Z}/(m)$-Modul ist.

Aufgabe

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe mit $n^2$ Elementen derart, dass für jedes Element  $x\in G$  die Beziehung  $nx=0$  gilt. Zeige

$G\cong \mathbb{Z}/(n)\times \mathbb{Z}/(n),$

Aufgabe

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und seien  $m,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  teilerfremd. Zeige, dass die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $mn$ ${\mathrm{Tor}}_{mn}\left(G\right)$ die direkte Summe aus den Torsionsuntergruppen ${\mathrm{Tor}}_m\left(G\right)$ und ${\mathrm{Tor}}_n\left(G\right)$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ zu jedem  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  Elemente gibt, deren Ordnung gleich $n$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Restklassengruppe $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ unendlich ist und jedes Element eine endliche Ordnung besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass für die Torsionsuntergruppen von $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ die Gleichheit

${\mathrm{Tor}}_m(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})=\{[0],[\frac{1}{m}],[\frac{2}{m}],\dots ,[\frac{m-1}{m}]\}\cong \mathbb{Z}/(m)$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass ein Körper $K$ genau dann die Charakteristik $0$ besitzt, wenn die additive Gruppe $(K,+,0)$ torsionsfrei ist.

Aufgabe

Es sei  $\Gamma \subseteq ℂ$  ein Gitter und  $E=ℂ/\Gamma$  der zugehörige komplexe Torus. Zeige, dass die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $m$ von $E$ in kanonischer Weise isomorph zur Restklassengruppe $\frac{1}{m}\Gamma /\Gamma$ ist, und das diese wiederum isomorph zu $\Gamma /m\Gamma$ ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die elliptische Kurve $E$, die durch die affine Gleichung

$Y^2=X^3-X+6$

gegeben ist.

1. Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung $2$ für $E(ℝ)$.
2. Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung $2$ für $E(ℂ)$.
3. Parametrisiere den oberen Bogen von $E(ℝ)$ als Funktion über einem geeigneten Definitionsbereich.
4. Bestimme die Koordinaten der Punkte von $E(ℝ)$, wo die Funktion aus (3) lokale Extrema annimmt.
5. Beschreibe eine endliche Körpererweiterung  $\mathbb{Q}\subseteq K$  derart, dass die Punkte aus Teil (4) zu $E(K)$ gehören.

Aufgabe

Es sei

$Y^2=X^3+aX+b$

die Gleichung einer elliptischen Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und es sei $\{𝔒,P_1,P_2,P_3\}$ die Untergruppe der Elemente der Ordnung $\le 2$. Man beschreibe einen Hauptdivisor, bei dem genau diese vier Punkte nichttrivial vorkommen.

Für die beiden folgenden Aufgaben ziehe man Aufgabe 6.7 und Aufgabe 6.8 heran.

Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $ℝ$, gegeben in kurzer Weierstraßform  $Y^2=X^3+aX+b$  mit  $a,b\in ℝ$.  Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. Das Polynom $X^3+aX+b$ besitzt in $ℝ$ genau eine Nullstelle.
2. Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$, ${\mathrm{Tor}}_2(E(ℝ))$, ist isomorph zu $\mathbb{Z}/(2)$.
3. Es ist  $E(R)\cong S^1$  als reelle Lie-Gruppe.
4. Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $m$, ${\mathrm{Tor}}_m(E(ℝ))$, ist isomorph zu $\mathbb{Z}/(m)$ für alle  $m\in {\mathbb{N}}_{+}$. 

Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $ℝ$, gegeben in kurzer Weierstraßform  $Y^2=X^3+aX+b$  mit  $a,b\in ℝ$.  Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. Das Polynom $X^3+aX+b$ besitzt in $ℝ$ drei Nullstellen.
2. Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$, ${\mathrm{Tor}}_2(E(ℝ))$, ist isomorph zu $\mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(2)$.
3. Es ist  $E(R)\cong S^1\times \mathbb{Z}/(2)$  als reelle Lie-Gruppe.
4. Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $m$, ${\mathrm{Tor}}_m(E(ℝ))$, ist isomorph zu $\mathbb{Z}/(m)\times \mathbb{Z}/(2)$ für alle geraden  $m\ge 2$  (und isomorph zu $\mathbb{Z}/(m)$ für $m$ ungerade).

Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $ℝ$, gegeben in kurzer Weierstraßform und Zerlegungsform  $Y^2=X^3+aX+b=(X-{\lambda }_1)(X-{\lambda }_2)(X-{\lambda }_3)$  mit  $a,b\in ℝ$  und  ${\lambda }_1<{\lambda }_2<{\lambda }_3$.  Begünde durch eine Skizze, dass $({\lambda }_3,0)$ einen Halbierungspunkt besitzt und dass $({\lambda }_1,0)$ und $({\lambda }_2,0)$ keinen Halbierungspunkt besitzen.

Aufgabe *

Bestimme für die elliptische Kurve  $Y^2=X^3+X$  die reelle und die komplexe Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$.

Aufgabe *

Bestimme für die elliptische Kurve  $Y^2=X^3+2$  die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ für die Körper

1. $K=\mathbb{Q},$

2. $K=\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}],$

3. $K=\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2},\sqrt{-3}].$

Aufgabe

Bestimme für die durch  $Y^2=X^3+7X$  gegebene elliptische Kurve $E$ den kleinsten Zahlkörper $K$, für den die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ von $E(K)$ isomorph zu $\mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(2)$ ist.

Aufgabe *

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$, die durch eine affine Gleichung

$Y^2=X^3+aX+b$

gegeben sei. Es sei  $K\subseteq K(t)$  der Funktionenkörper in einer Variablen über $K$. Es sei $(t,u)$ ein Punkt der Kurve über einem Erweiterungskörper  $L\supseteq K(t)$.  Zeige, dass $(t,u)$ in $E_L$ unendliche Ordnung besitzt.

Aufgabe

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe, sei $\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass der Tate-Modul in natürlicher Weise ein ${\hat{\mathbb{Z}}}_{\ell }$-Modul ist.

Aufgabe *

Es sei $\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass für den Tate-Modul von $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ die Gleichheit

$T_{\ell }(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})={\hat{\mathbb{Z}}}_{\ell }$

gilt.

Aufgabe

Es sei $\ell$ eine Primzahl. Berechne den Tate-Modul $T_{\ell }(S^1)$ zur Kreisgruppe $S^1$.

Aufgabe

Es sei  $\Gamma \subseteq ℂ$  ein Gitter und  $E=ℂ/\Gamma$  der zugehörige komplexe Torus. Es sei $\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass unter den natürlichen Identifizierungen

$\Gamma /{\ell }^n\Gamma \cong {\mathrm{Tor}}_{{\ell }^n}\left(E\right)$

mit $[g]\mapsto \frac{1}{{\ell }^n}[g]$ (vergleiche Aufgabe 18.12) die Diagramme

$\begin{array}{cccc}\Gamma /{\ell }^{n+1}\Gamma & \stackrel{}{⟶}& \Gamma /{\ell }^n\Gamma & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ {\mathrm{Tor}}_{{\ell }^{n+1}}\left(E\right)& \stackrel{\cdot \ell }{⟶}& {\mathrm{Tor}}_{{\ell }^n}\left(E\right)& \end{array}$

kommutieren, wobei oben die natürliche Restklassenabbildung zur Untergruppe  ${\ell }^{n+1}\Gamma \subseteq {\ell }^n\Gamma$  steht. Man folgere, dass der Tate-Modul $T_{\ell }(E)$ kanonisch isomorph zu $\underset{n\in \mathbb{N}}{\underleftarrow{\lim }}\Gamma /{\ell }^n\Gamma$ ist.

Aufgabe *

Es sei  $\Gamma \subseteq ℂ$  ein Gitter und  $E=ℂ/\Gamma$  der zugehörige komplexe Torus. Es sei $\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass ein Isomorphismus  $\Gamma \cong {\mathbb{Z}}^2$  einen Isomorphismus

$T_{\ell }(E)\cong {\hat{\mathbb{Z}}}_{\ell }\times {\hat{\mathbb{Z}}}_{\ell }$

induziert.

Aufgabe

Es seien  ${\Gamma }_1,{\Gamma }_2\subseteq ℂ$  Gitter und  $E_1=ℂ/{\Gamma }_1$,   $E_2=ℂ/{\Gamma }_2$,  die zugehörigen komplexen Tori. Es sei  $s\in ℂ$,   $s\ne 0$,  mit  $s{\Gamma }_1\subseteq {\Gamma }_2$  und es sei

$\phi :E_1⟶E_2$

die zugehörige Isogenie (vergleiche Lemma 10.7). Es sei $\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass der zugehörige Homomorphismus der Tate-Moduln

${\phi }_{\ell }:T_{\ell }(E_1)⟶T_{\ell }(E_2)$

(siehe Satz 18.13) unter den kanonischen Isomorphismen  $T_{\ell }(E_1)\cong \underset{n\in \mathbb{N}}{\underleftarrow{\lim }}{\Gamma }_1/{\ell }^n{\Gamma }_1$  und  $T_{\ell }(E_2)\cong \underset{n\in \mathbb{N}}{\underleftarrow{\lim }}{\Gamma }_2/{\ell }^n{\Gamma }_2$  aus Aufgabe 18.25 mit dem projektiven Limes zu $s:{\Gamma }_1/{\ell }^n{\Gamma }_1\to {\Gamma }_2/{\ell }^n{\Gamma }_2$ übereinstimmt.

Aufgabe *

Es sei  $\Gamma \subseteq ℂ$  ein Gitter und  $E=ℂ/\Gamma$  der zugehörige komplexe Torus. Es sei  $s\in ℂ$,   $s\ne 0$,  mit  $s\Gamma \subseteq \Gamma$  und es sei

$\phi :E⟶E$

die zugehörige Isogenie. Zeige, dass der Grad von $\phi$ mit der Determinante von

$s:\Gamma ⟶\Gamma$

und mit der Determinante des zugehörigen Endomorphismus des Tate-Moduls

${\phi }_{\ell }:T_{\ell }(E)⟶T_{\ell }(E)$

für jede Primzahl $\ell$ übereinstimmt.