Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 18

Aufgaben

Eine kommutative Gruppe ${}G$ heißt torsionsfrei, wenn für jedes Element ${}x\in G$, ${}x\neq 0$, und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gilt ${}nx\neq 0$.

Aufgabe

Zeige, dass die Torsionsuntergruppe einer kommutativen Gruppe ${}G$ in der Tat eine Untergruppe ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq G$ die Torsionsuntergruppe einer kommutativen Gruppe ${}G$. Zeige, dass die Restklassengruppe ${}G/T$ torsionsfrei ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass zu jedem ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ eine kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow \operatorname {Tor} _{m}{\left(G\right)}\longrightarrow G{\stackrel {\cdot m}{\longrightarrow }}mG\longrightarrow 0$

vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Einheitswurzeln in ${}R$ die Torsionsuntergruppe der Einheitengruppe ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und ${}m\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}m$ ${}\operatorname {Tor} _{m}{\left(G\right)}$ in natürlicher Weise ein ${}\mathbb {Z} /(m)$- Modul ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe mit ${}n^{2}$ Elementen derart, dass für jedes Element ${}x\in G$ die Beziehung ${}nx=0$ gilt. Zeige

${}G\cong \mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)\,,$

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und seien ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$ teilerfremd. Zeige, dass die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}mn$ ${}\operatorname {Tor} _{mn}{\left(G\right)}$ die direkte Summe aus den Torsionsuntergruppen ${}\operatorname {Tor} _{m}{\left(G\right)}$ und ${}\operatorname {Tor} _{n}{\left(G\right)}$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ Elemente gibt, deren Ordnung gleich ${}n$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ unendlich ist und jedes Element eine endliche Ordnung besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass für die Torsionsuntergruppen von ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ die Gleichheit

${}\operatorname {Tor} _{m}{\left(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \right)}=\{[0],[{\frac {1}{m}}],[{\frac {2}{m}}],\ldots ,[{\frac {m-1}{m}}]\}\cong \mathbb {Z} /(m)\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass ein Körper ${}K$ genau dann die Charakteristik ${}0$ besitzt, wenn die additive Gruppe ${}(K,+,0)$ torsionsfrei ist.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und ${}E={\mathbb {C} }/\Gamma$ der zugehörige komplexe Torus. Zeige, dass die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}m$ von ${}E$ in kanonischer Weise isomorph zur Restklassengruppe ${}{\frac {1}{m}}\Gamma /\Gamma$ ist, und das diese wiederum isomorph zu ${}\Gamma /m\Gamma$ ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die elliptische Kurve ${}E$, die durch die affine Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}-X+6\,$

gegeben ist.

1. Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${}2$ für ${}E(\mathbb {R} )$.
2. Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${}2$ für ${}E({\mathbb {C} })$.
3. Parametrisiere den oberen Bogen von ${}E(\mathbb {R} )$ als Funktion über einem geeigneten Definitionsbereich.
4. Bestimme die Koordinaten der Punkte von ${}E(\mathbb {R} )$, wo die Funktion aus (3) lokale Extrema annimmt.
5. Beschreibe eine endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ derart, dass die Punkte aus Teil (4) zu ${}E(K)$ gehören.

Aufgabe

Es sei

${}Y^{2}=X^{3}+aX+b\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und es sei ${}\{{\mathfrak {O}},P_{1},P_{2},P_{3}\}$ die Untergruppe der Elemente der Ordnung ${}\leq 2$. Man beschreibe einen Hauptdivisor, bei dem genau diese vier Punkte nichttrivial vorkommen.

Für die beiden folgenden Aufgaben ziehe man Aufgabe 6.7 und Aufgabe 6.8 heran.

Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform ${}Y^{2}=X^{3}+aX+b$ mit ${}a,b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Das Polynom ${}X^{3}+aX+b$ besitzt in ${}\mathbb {R}$ genau eine Nullstelle.
2. Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$, ${}\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(\mathbb {R} )\right)}$, ist isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(2)$.
3. Es ist ${}E(R)\cong S^{1}$ als reelle Lie-Gruppe.
4. Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}m$, ${}\operatorname {Tor} _{m}{\left(E(\mathbb {R} )\right)}$, ist isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(m)$ für alle ${}m\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform ${}Y^{2}=X^{3}+aX+b$ mit ${}a,b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Das Polynom ${}X^{3}+aX+b$ besitzt in ${}\mathbb {R}$ drei Nullstellen.
2. Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$, ${}\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(\mathbb {R} )\right)}$, ist isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.
3. Es ist ${}E(R)\cong S^{1}\times \mathbb {Z} /(2)$ als reelle Lie-Gruppe.
4. Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}m$, ${}\operatorname {Tor} _{m}{\left(E(\mathbb {R} )\right)}$, ist isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(m)\times \mathbb {Z} /(2)$ für alle geraden ${}m\geq 2$ (und isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(m)$ für ${}m$ ungerade).

Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform und Zerlegungsform ${}Y^{2}=X^{3}+aX+b=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})$ mit ${}a,b\in \mathbb {R}$ und ${}\lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}$. Begünde durch eine Skizze, dass ${}(\lambda _{3},0)$ einen Halbierungspunkt besitzt und dass ${}(\lambda _{1},0)$ und ${}(\lambda _{2},0)$ keinen Halbierungspunkt besitzen.

Aufgabe *

Bestimme für die elliptische Kurve ${}Y^{2}=X^{3}+X$ die reelle und die komplexe Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$.

Aufgabe *

Bestimme für die elliptische Kurve ${}Y^{2}=X^{3}+2$ die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$ für die Körper

1. ${}K=\mathbb {Q} \,,$

2. ${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]\,,$

3. ${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt {-3}}]\,.$

Aufgabe

Bestimme für die durch ${}Y^{2}=X^{3}+7X$ gegebene elliptische Kurve ${}E$ den kleinsten Zahlkörper ${}K$, für den die Torsionsuntergruppe zur Ordnung ${}2$ von ${}E(K)$ isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$, die durch eine affine Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}+aX+b\,$

gegeben sei. Es sei ${}K\subseteq K(t)$ der Funktionenkörper in einer Variablen über ${}K$. Es sei ${}(t,u)$ ein Punkt der Kurve über einem Erweiterungskörper ${}L\supseteq K(t)$. Zeige, dass ${}(t,u)$ in ${}E_{L}$ unendliche Ordnung besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe, sei ${}\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass der Tate-Modul in natürlicher Weise ein ${}{\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }$- Modul ist.

Aufgabe *

Es sei ${}\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass für den Tate-Modul von ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ die Gleichheit

${}T_{\ell }(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )={\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}\ell$ eine Primzahl. Berechne den Tate-Modul ${}T_{\ell }(S^{1})$ zur Kreisgruppe ${}S^{1}$.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und ${}E={\mathbb {C} }/\Gamma$ der zugehörige komplexe Torus. Es sei ${}\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass unter den natürlichen Identifizierungen

${}\Gamma /\ell ^{n}\Gamma \cong \operatorname {Tor} _{\ell ^{n}}{\left(E\right)}\,$

mit ${}[g]\mapsto {\frac {1}{\ell ^{n}}}[g]$ (vergleiche Aufgabe 18.12) die Diagramme

${\begin{matrix}\Gamma /\ell ^{n+1}\Gamma &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma /\ell ^{n}\Gamma &\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Tor} _{\ell ^{n+1}}{\left(E\right)}&{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}&\operatorname {Tor} _{\ell ^{n}}{\left(E\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutieren, wobei oben die natürliche Restklassenabbildung zur Untergruppe ${}\ell ^{n+1}\Gamma \subseteq \ell ^{n}\Gamma$ steht. Man folgere, dass der Tate-Modul ${}T_{\ell }(E)$ kanonisch isomorph zu ${}\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\Gamma /\ell ^{n}\Gamma$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und ${}E={\mathbb {C} }/\Gamma$ der zugehörige komplexe Torus. Es sei ${}\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass ein Isomorphismus ${}\Gamma \cong \mathbb {Z} ^{2}$ einen Isomorphismus

${}T_{\ell }(E)\cong {\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\times {\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\,$

induziert.

Aufgabe

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ Gitter und ${}E_{1}={\mathbb {C} }/\Gamma _{1}$, ${}E_{2}={\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$, die zugehörigen komplexen Tori. Es sei ${}s\in {\mathbb {C} }$, ${}s\neq 0$, mit ${}s\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}$ und es sei

$\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$

die zugehörige Isogenie (vergleiche Lemma 10.7). Es sei ${}\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass der zugehörige Homomorphismus der Tate-Moduln

$\varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(E_{1})\longrightarrow T_{\ell }(E_{2})$

(siehe Satz 18.13) unter den kanonischen Isomorphismen ${}T_{\ell }(E_{1})\cong \varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\Gamma _{1}/\ell ^{n}\Gamma _{1}$ und ${}T_{\ell }(E_{2})\cong \varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\Gamma _{2}/\ell ^{n}\Gamma _{2}$ aus Aufgabe 18.25 mit dem projektiven Limes zu ${}s\colon \Gamma _{1}/\ell ^{n}\Gamma _{1}\rightarrow \Gamma _{2}/\ell ^{n}\Gamma _{2}$ übereinstimmt.

Aufgabe *

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und ${}E={\mathbb {C} }/\Gamma$ der zugehörige komplexe Torus. Es sei ${}s\in {\mathbb {C} }$, ${}s\neq 0$, mit ${}s\Gamma \subseteq \Gamma$ und es sei

$\varphi \colon E\longrightarrow E$

die zugehörige Isogenie. Zeige, dass der Grad von ${}\varphi$ mit der Determinante von

$s\colon \Gamma \longrightarrow \Gamma$

und mit der Determinante des zugehörigen Endomorphismus des Tate-Moduls

$\varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(E)\longrightarrow T_{\ell }(E)$

für jede Primzahl ${}\ell$ übereinstimmt.