Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 18

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei ein Vektorraum über einem Körper der Charakteristik . Zeige .


Aufgabe

Es sei ein Vektorraum über einem Körper der Charakteristik . Zeige .


Aufgabe

Es sei eine zyklische Gruppe. Bestimme .


Aufgabe

Es sei die (multiplikative) Untergruppe der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei die zugehörige Äquivalenzrelation auf . Zeige, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist (die erfülle diese Eigenschaft).


Aufgabe

Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen und nicht isomorph sind.


Aufgabe

Bestimme die Restklassengruppe .


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper der Charakteristik . Zeige


Aufgabe

Es sei ein Zahlkörper. Zeige, dass die Restklassengruppe unendlich ist.


Aufgabe *

Es seien Elemente in einem Körper . Zeige, dass

und

die Gleichung erfüllen.


Aufgabe *

Es sei

die Gleichung einer elliptischen Kurve in Zerlegungsform über einem Körper mit . Es gelte . Zeige, dass mit

und

die Verdoppelungsgleichung gilt.


Aufgabe *

Wir betrachten die durch

gegebene elliptische Kurve über . Zeige, dass der Punkt nach der Körpererweiterung einen Halbierungspunkt bekommt. Bestimme die Koordinaten (über ) eines solchen Halbierungspunktes.


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