Kurs:Funktionentheorie/Spur

Einleitung

In dieser Lerneinheit wird der Begriff der Spur eines Weges definiert und vom Begriff des Graphen eines Weges abgegrenzt.

Definition - Spur Weg

Ein Weg in $ℂ$ ist eine stetige Abbildung $\gamma :[a,b]\to ℂ$. Die Bildmenge

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(\gamma ):=\{\gamma (t):t\in [a,b]\}$

heißt Spur der Kurve.

Eigenschaften von Kurven

• Eine Weg $\gamma :[a,b]\to ℂ$ heißt differenzierbar, wenn $\gamma {}^{\prime }(t)$ für alle $t\in [a,b]$ existiert
• Eine für die Theorie der Kurvenintegrale besonders wichtige Eigenschaft ist die Rektifizierbarkeit einer Kurve. Rektifizierbare Kurven besitzen eine endliche Länge und man kann das Wegintegral darüber berechnen (Gegenbeispiel: Koch-Kurve, die keine endliche Länge besitzt, aber einen endlichen Flächeninhalt einschließt als geschlossener Weg).

Definition - Spur eine Kette

Die Spur einer Kette $\mathrm{\Gamma }$ ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven ${\gamma }_i$, also

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(\mathrm{\Gamma }):=\bigcup _{i=1}^n\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}({\gamma }_i)$

Definition: Graph eines Weges

Die Spur eines Weges $\gamma :[a,b]\to U$ in $U\subset ℂ$ ist das Bild der Funktion $\gamma$.

$\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{h}(\gamma ):=\{(t,z)\in [a,b]\times ℂ|z=\gamma (t)\}$

Bemerkung - Graph eines Weges

Der Graph eine Weges kann man als Teilmenge von ${ℝ}^3$ plotten:

${\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{h}}_{ℝ}(\gamma ):=\{(t,x,y)\in [a,b]\times ℂ|x+iy=\gamma (t)\}$

Definition - Graph einer Kette

Der Graph einer Kette $\mathrm{\Gamma }$ ist die Vereinigung der Graphen von den einzelnen Wegen ${\gamma }_i$, also

$\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{h}(\mathrm{\Gamma }):=\bigcup _{i=1}^n\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{h}({\gamma }_i)$

Aufgabe - Plotten des Graphen und der Spur

• Plotten Sie mit Maxima oder CAS4Wiki die Spur des Weges im ${ℝ}^2$:

$\begin{array}{cccc}\gamma :& [0,6\pi ]& \to & ℂ\\ & t& \mapsto & \gamma (t)=r\cdot e^{i\cdot t}\end{array}$

• Plotten Sie mit Maxima oder CAS4Wiki die den Graph des Weges im ${ℝ}^3$.

Siehe auch

• Kette / Zyklus

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