Kurs:Funktionentheorie

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.

Kurs enthält Wiki2Reveal Audio-Folien

Bewegung von Bildpunkten einer Funktion $f$. Dabei ist $z$ in blauer Farbe und $f(z)={\frac {1}{z}}$ in roter Farbe markiert. $z$ bewegt sich auf der Spur von $\gamma (t)=t\cdot e^{it}$.

Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion $f(z)={\frac {1}{z}}$

Inhalte

In dem Kurs Funktionentheorie werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem Wikibuch-Link versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. $(\ast )$-Kapitel sind optional.

Funktionentheorie - Teil 1

Grundlagen

• Lernvoraussetzungen aus der Analysis
• Komplexe Zahlen - (Foliensatz)
  • Wikiversity: Definition - Wikibuch
  • Kompaktheitssatz von Heine-Borel
  • geometrische Einführung
  • Operationen und Regeln
  • Riemannsche Zahlenkugel - komplexe Zahlen $\mathbb {C}$ auf einer Kugeloberfläche.
  • stereografische Projektion
  • Komplexe Zahlen als Matrizen
• Potenzen und Wurzeln - (Foliensatz)
• Elementare Funktionen auf den komplexen Zahlen

Topologische Grundlagen

• Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen (Foliensatz)
• Potenzreihe - (Foliensatz)
• Topologische Algebra - (Foliensatz)
• Topologischer Raum - Wikiversity: Definition
• Normen, Metriken, Topologie (Foliensatz)

Komplexe Differenzierbarkeit

• Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie
• Partielle Ableitungen
• Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen (Foliensatz) ,
• Anwendungen CR-DG (Foliensatz) ,
• Wirtinger-Kalkül - (Foliensatz)

Kurven und Wegintegrale

• Kurvenintegral im $\mathbb {R} ^{n}$ - (Foliensatz)
• Kurven - (Foliensatz)
• Kette von Wegen
• rektifizierbare Kurve - (Foliensatz)
  • Wikipedia: Integralrechnung
• Wege - (Foliensatz)
• Wegintegral - (Foliensatz)
  • Wikpedia:Kurvenintegral allgemein
  • Stetigkeit und Grenzwerte,
• Spur - (Foliensatz)

Holomorphie

• Holomorphie - (Foliensatz)
• Kriterien - (Foliensatz)
  • Wikipedia: Holomorphiekriterien
  • Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit
  • konforme Abbildungen$(\ast )$,
• Ungleichungen - (Foliensatz)

• Kurvenintegral - (Foliensatz)

• Integrationsweg - (Foliensatz)

• Lemma von Goursat (Details) - (Foliensatz)

• Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben - (Foliensatz) ,
• Identitätssatz - (Foliensatz)
• Satz von Liouville - (Foliensatz)

Funktionentheorie Teil 2

• Kette von Wegen - (Foliensatz)

• Zyklus (Foliensatz) ,
• Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen, (Foliensatz)
• Cauchyscher Integralsatz für Zyklen (Foliensatz)
• Cauchy Integralformel für Zyklen (Foliensatz)
• Beispielrechnung mit Laurentreihen
• Maximumprinzip (Foliensatz)
• Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue (Foliensatz)

Singularität und Residuen - Teil 3

• Singularitäten, (21.05.2020) (Foliensatz)
• Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität - (Foliensatz)
• Residuen (29.05.2020) (Foliensatz)
• Entwicklung in Laurentreihen,
• isolierte Singularitäten,
• Zerlegungssatz,
• Satz von Casorati-Weierstraß,
• Residuensatz - (Foliensatz)
• Reelle Integrale mit Residuensatz,
• Null- und Polstellen zählendes Integral (Foliensatz) (09.07.2020)
• Satz von Rouché (10.07.2020) (Foliensatz)
• meromorphe Funktionen;

Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen

• Riemannscher Abbildungssatz - (Foliensatz)
  • Lemma von Schwarz
  • $\mathrm {Aut} (\mathbb {D} )$
• analytische und harmonische Funktionen
• Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder)
• Verallgemeinerte analytische Funktionen

Übungen

• Übungen zur Einführung in die Funktionentheorie
• Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie
• Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen

Softwarenutzung

Ferner wird in Anlehnung an den Open Community Approach folgende Open Source verwendet:

• Maxima CAS - ComputerAlgebraSystem
• komplexe Zahlen in Maxima CAS

Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten

Mit PanDocElectron kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann.

Handschriftliche Notitzen

• Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in Videokonferenzen kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben
  • eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder
  • die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen.
  • Mit der OpenSource-Software Xournal können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen (Download GitHub) und
  • für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton einsetzen.

Siehe auch

• Quiz für Vorlesungsinhalte
• Videokonferenz/mündliche Prüfung
• Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen
• Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)