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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 5/latex

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\setcounter{section}{5}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das komplexe Quadrieren \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} {z^2 } {,} in keiner \definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{} des Nullpunktes \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb C}^2} {{\mathbb C}^2 } {(x,y)} {(x+y,xy) } {,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C}^2 } { {\mathbb C}^2 } { (w,z)} { ( w^3-wz^2-z,wz-z^2) } {.} \aufzaehlungsechs{Berechne die komplexen \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{.} }{Erstelle die \zusatzklammer {komplexe} {} {} \definitionsverweis {Jacobimatrix}{}{} von $\varphi$ in einem beliebigen Punkt. }{Beschreibe $\varphi$ reell unter Verwendung der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ = }{ u+v { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ x+y { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} festgelegten reellen Koordinaten $u,v,x,y$. }{Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (3). }{Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (1). }{Erstelle die reelle Jacobimatrix. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C}^2 } { {\mathbb C}^2 } { (z,w) } { ( z+w^2 , zw-w^3 ) } {.} Entscheide, ob $\varphi$ im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (0, 0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {lokal umkehrbar}{}{} ist, und bestimme gegebenfalls das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ = }{\varphi(P) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C}^2} {{\mathbb C}^2 } {(z,w)} {( \sin zw ,w e^{z-w}) } {.} Entscheide, ob $\varphi$ im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (1, \pi) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {lokal umkehrbar}{}{} ist, und bestimme gegebenfalls das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ = }{\varphi(P) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{} und sei \maabbdisp {f} {U } { {\mathbb C} } {} \zusatzklammer {stetig} {} {} \definitionsverweis {komplex differenzierbar}{}{} und nicht konstant. Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ nicht auf einer \zusatzklammer {reellen} {} {} Geraden in ${\mathbb C}$ liegt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise Korollar 3.8 mit Hilfe von Korollar 5.3.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} eines \definitionsverweis {offenen Intervalls}{}{} unter einem \definitionsverweis {Polynom}{}{} \maabbdisp {P} {\R} {\R } {} nicht offen sein muss.

}
{} {}


Eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {X} {Y } {} zwischen \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} $X$ und $Y$ heißt \definitionswort {abgeschlossen}{,} wenn Bilder von \definitionsverweis {abgeschlossenen Mengen}{}{} wieder abgeschlossen sind.





\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} \maabbdisp {f} { \R } { \R } {,} die nicht \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{} Funktion \maabbdisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {,} die nicht \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {} eine Funktion, die sowohl \definitionsverweis {offen}{}{} als auch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestätige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } { \left( \sqrt{ \betrag { z } +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \betrag { z }-a } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} der \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ a+b { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestätige die in Beispiel 8.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) angegebene Formel für die \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} einer \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ a+b { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ < }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\varphi$ das komplexe Quadrieren auf dem offenen Quadranten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ = }{ { \left\{ x+y { \mathrm i} \mid x,y>0 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \maabbeledisp {\psi} { {\mathbb H} } { {\mathbb C} } { a+b { \mathrm i} } { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2} } } { \left( \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} -a } \right) } } {,} die Abbildung aus Beispiel 5.7. Zeige, dass \maabbdisp {\varphi \circ \psi} { {\mathbb H} } { {\mathbb H} } {} die Identität auf der oberen offenen Halbebene ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\varphi$ das komplexe Quadrieren auf dem offenen Quadranten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ = }{ { \left\{ x+y { \mathrm i} \mid x,y>0 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \maabbeledisp {\psi} { {\mathbb H} } { {\mathbb C} } { a+b { \mathrm i} } { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2} } } { \left( \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} -a } \right) } } {,} die Abbildung aus Beispiel 5.7. Zeige, dass \maabbdisp {\psi \circ \varphi} { Q } { Q } {} die Identität auf dem offenen Quadranten ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Erstelle für das komplexe Quadrieren \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} {z^2 } {,} die inverse reelle Jacobimatrix zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wie in Bemerkung 5.6 beschrieben und bringe dies mit der expliziten Umkehrabbildung aus Beispiel 5.7 in Verbindung.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U }
{ =} { { \left\{ u+ { \mathrm i} v \mid u \neq 0 \right\} } }
{ \subseteq} { {\mathbb C} }
{ =} { \R^2 }
{ } { }
} {}{}{} \maabbeledisp {\psi} { U } { {\mathbb C} } { u+ { \mathrm i} v} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln \left( u^2+v^2 \right) + { \mathrm i} \arctan { \frac{ v }{ u } } } {.} \aufzaehlungvier{Begründe, dass $\psi$ stetig \definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{} ist. }{Bestimme die \definitionsverweis {Jacobimatrix}{}{} zu $\psi$. }{Zeige, dass $\psi$ die \definitionsverweis {Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen}{}{} erfüllt. }{Zeige, dass $\psi$ lokal eine \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} zur \definitionsverweis {komplexen Exponentialfunktion}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \N_{\geq 2} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es auf keiner \definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{} der
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \in }{ V }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} \maabbdisp {h} {V} { {\mathbb C} } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ h^k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf $V$ gibt.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{8 (1+1+2+2+1+1)}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C}^2 } { {\mathbb C}^2 } { (w,z)} { ( w^2+2wz-3z^2,wz+w-z^3) } {.} \aufzaehlungsechs{Berechne die komplexen \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{.} }{Erstelle die \zusatzklammer {komplexe} {} {} \definitionsverweis {Jacobimatrix}{}{} von $\varphi$ in einem beliebigen Punkt. }{Beschreibe $\varphi$ reell unter Verwendung der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ = }{ u+v { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ x+y { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} festgelegten reellen Koordinaten $u,v,x,y$. }{Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (3). }{Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (1). }{Erstelle die reelle Jacobimatrix. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Funktion derart, dass $f'(x)$ keine Nullstelle besitzt. Zeige, dass $f$ eine \definitionsverweis {offene Abbildung}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ { \left\{ a+b { \mathrm i} \mid b < 0 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \maabbeledisp {\psi} { U} { {\mathbb C} } { a+b { \mathrm i} } { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2} } } { \left( - \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} +a } + { \mathrm i} \sqrt{ \sqrt{a^2 +b^2} -a } \right) } } {.} Zeige, dass diese Abbildung stetig partiell differenzierbar ist und dass die partiellen Ableitungen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Beweise Satz 5.10 direkt mit Korollar 5.3.

}
{} {}