Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 5

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das komplexe Quadrieren

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

in keiner offenen Umgebung des Nullpunktes injektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy),$

surjektiv ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(w,z)\longmapsto (w^{3}-wz^{2}-z,wz-z^{2}).$

1. Berechne die komplexen partiellen Ableitungen.
2. Erstelle die (komplexe) Jacobimatrix von ${}\varphi$ in einem beliebigen Punkt.
3. Beschreibe ${}\varphi$ reell unter Verwendung der durch ${}w=u+v{\mathrm {i} }$ und ${}z=x+y{\mathrm {i} }$ festgelegten reellen Koordinaten ${}u,v,x,y$.
4. Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (3).
5. Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (1).
6. Erstelle die reelle Jacobimatrix.

Aufgabe

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(z,w)\longmapsto (z+w^{2},zw-w^{3}).$

Entscheide, ob ${}\varphi$ im Punkt ${}P=(0,0)$ lokal umkehrbar ist, und bestimme gegebenfalls das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt ${}Q=\varphi (P)$.

Aufgabe

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(z,w)\longmapsto (\sin zw,we^{z-w}).$

Entscheide, ob ${}\varphi$ im Punkt ${}P=(1,\pi )$ lokal umkehrbar ist, und bestimme gegebenfalls das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt ${}Q=\varphi (P)$.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

(stetig) komplex differenzierbar und nicht konstant. Zeige, dass das Bild von ${}f$ nicht auf einer (reellen) Geraden in ${}{\mathbb {C} }$ liegt.

Aufgabe

Beweise Korollar 3.8 mit Hilfe von Korollar 5.3.

Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines offenen Intervalls unter einem Polynom

$P\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

nicht offen sein muss.

Eine stetige Abbildung

$f\colon X\longrightarrow Y$

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt abgeschlossen, wenn Bilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine rationale Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

die nicht abgeschlossen ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine komplex differenzierbare Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },$

die nicht abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion, die sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Zeige, dass ${}f$ surjektiv ist.

Aufgabe *

Bestätige, dass bei ${}b\geq 0$ die Zahl

${}u={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\,$

eine Quadratwurzel der komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ ist.

Aufgabe

Bestätige die in Beispiel 8.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) angegebene Formel für die Quadratwurzel einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ im Fall ${}b<0$.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi$ das komplexe Quadrieren auf dem offenen Quadranten ${}Q={\left\{x+y{\mathrm {i} }\mid x,y>0\right\}}$ und

$\psi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}\right)},$

die Abbildung aus Beispiel 5.7. Zeige, dass

$\varphi \circ \psi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {H} }$

die Identität auf der oberen offenen Halbebene ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi$ das komplexe Quadrieren auf dem offenen Quadranten ${}Q={\left\{x+y{\mathrm {i} }\mid x,y>0\right\}}$ und

$\psi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}\right)},$

die Abbildung aus Beispiel 5.7. Zeige, dass

$\psi \circ \varphi \colon Q\longrightarrow Q$

die Identität auf dem offenen Quadranten ist.

Aufgabe

Erstelle für das komplexe Quadrieren

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

die inverse reelle Jacobimatrix zu einem Punkt ${}P\neq 0$ wie in Bemerkung 5.6 beschrieben und bringe dies mit der expliziten Umkehrabbildung aus Beispiel 5.7 in Verbindung.

Aufgabe

Wir betrachten die auf

${}U={\left\{u+{\mathrm {i} }v\mid u\neq 0\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}\,$

$\psi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },\,u+{\mathrm {i} }v\longmapsto {\frac {1}{2}}\ln \left(u^{2}+v^{2}\right)+{\mathrm {i} }\arctan {\frac {v}{u}}.$

1. Begründe, dass ${}\psi$ stetig partiell differenzierbar ist.
2. Bestimme die Jacobimatrix zu ${}\psi$.
3. Zeige, dass ${}\psi$ die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt.
4. Zeige, dass ${}\psi$ lokal eine Umkehrabbildung zur komplexen Exponentialfunktion ist.

Aufgabe

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Zeige, dass es auf keiner offenen Umgebung der ${}0\in V\subseteq {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion

$h\colon V\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit ${}z=h^{k}$ auf ${}V$ gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (8 (1+1+2+2+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(w,z)\longmapsto (w^{2}+2wz-3z^{2},wz+w-z^{3}).$

1. Berechne die komplexen partiellen Ableitungen.
2. Erstelle die (komplexe) Jacobimatrix von ${}\varphi$ in einem beliebigen Punkt.
3. Beschreibe ${}\varphi$ reell unter Verwendung der durch ${}w=u+v{\mathrm {i} }$ und ${}z=x+y{\mathrm {i} }$ festgelegten reellen Koordinaten ${}u,v,x,y$.
4. Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (3).
5. Berechne die reellen partiellen Ableitungen aus (1).
6. Erstelle die reelle Jacobimatrix.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion derart, dass ${}f'(x)$ keine Nullstelle besitzt. Zeige, dass ${}f$ eine offene Abbildung ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}U={\left\{a+b{\mathrm {i} }\mid b<0\right\}}$ und

$\psi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },\,a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(-{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}\right)}.$

Zeige, dass diese Abbildung stetig partiell differenzierbar ist und dass die partiellen Ableitungen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise Satz 5.10 direkt mit Korollar 5.3.